Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Matrica kao potencija (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Vektorski prostori
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
HijenA
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2004. (16:46:04)
Postovi: (3D2)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-26 = 44 - 70
Lokacija: Prazan skup ;-)
PostPostano: 15:17 pon, 19. 1. 2009    Naslov: Matrica kao potencija Citirajte i odgovorite
Ovako, imam za rijesiti zadacu do srijede, a buduci da nisam bio na dobrom dijelu predavanja iz Vektorskih prostora za fizicare (jer mi se satnica preklapala sa Klasicnom mehanikom 1), ne znam rijesiti vama vjerojatno jednostavne zadatke. Pa molim pomoc jer mi o tome kako ovo rijesim ovisi ocjena iz kolegija :-)

1) Dana je matrica [latex]A=\begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 0 && 1 && 2 \\ 0 && 0 && 2 \end{pmatrix}[/latex]. Treba izracunati [latex]e^{tA}[/latex].

2) Rijesiti sustav [latex]\dot{Y}=A\cdot Y[/latex], gdje je [latex]\dot{Y}(t)=\begin{pmatrix} y_1'(t) \\ y_2'(t) \\ y_3'(t) \end{pmatrix}[/latex] matrica prvih derivacija matrice Y. Pocetni uvjet: [latex]Y(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/latex]

eto, ako bi netko bio dovoljno dobar pa mi to rijesio, ili barem uputio kako se rjesava, bio bi mu jako zahvalan :-)
Ovako, imam za rijesiti zadacu do srijede, a buduci da nisam bio na dobrom dijelu predavanja iz Vektorskih prostora za fizicare (jer mi se satnica preklapala sa Klasicnom mehanikom 1), ne znam rijesiti vama vjerojatno jednostavne zadatke. Pa molim pomoc jer mi o tome kako ovo rijesim ovisi ocjena iz kolegija Smile

1) Dana je matrica . Treba izracunati .

2) Rijesiti sustav , gdje je matrica prvih derivacija matrice Y. Pocetni uvjet:

eto, ako bi netko bio dovoljno dobar pa mi to rijesio, ili barem uputio kako se rjesava, bio bi mu jako zahvalan Smile



_________________
Chuck Norris can divide by zero.

I bow before you Veliki Limun, on je kiseo i zut Bow to the left

[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
alen
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
Sarma = la pohva - posuda
132 = 230 - 98
PostPostano: 17:11 pon, 19. 1. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite
Za karakteristični polinom od [latex]A[/latex] imamo [latex]k_A \left( \lambda \right) = \left| {A - \lambda I} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}c}
{1 - \lambda } & 2 & 3 \\
0 & {1 - \lambda } & 2 \\
0 & 0 & {2 - \lambda } \\

\end{array} } \right| = \left( {2 - \lambda } \right)\left( {1 - \lambda } \right)^2 \Rightarrow \sigma \left( A \right) = \left\{ {1,2} \right\}[/latex] i 1 je algebarske kratnosti 2, a 2 je algebarske kratnosti 1. Dalje, [latex]\ker \left( {A - I} \right) = \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
{x_2 } \\
{x_3 } \\

\end{array} } \right]:\left[ {\begin{array}{*{20}c}
0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 \\

\end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
{x_2 } \\
{x_3 } \\

\end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
0 \\

\end{array} } \right]} \right\} =[/latex][latex]\left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
{x_2 } \\
{x_3 } \\

\end{array} } \right]:\left[ {\begin{array}{*{20}c}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
{x_2 } \\
{x_3 } \\

\end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
0 \\

\end{array} } \right]} \right\} = \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
0 \\
0 \\

\end{array} } \right]:x_1 \in \mathbb{R}} \right\} = \left\{ {x_1 \left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
0 \\
0 \\

\end{array} } \right]:x_1 \in \mathbb{R}} \right\}[/latex][latex]= \left\langle {\left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
0 \\
0 \\

\end{array} } \right]} \right\rangle[/latex]. [latex]\ker \left( {A - 2I} \right) = \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
{x_2 } \\
{x_3 } \\

\end{array} } \right]:\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{ - 1} & 2 & 3 \\
0 & { - 1} & 2 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
{x_2 } \\
{x_3 } \\

\end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
0 \\

\end{array} } \right]} \right\} =[/latex][latex]\left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
{x_2 } \\
{x_3 } \\

\end{array} } \right]:\left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & { - 7} \\
0 & 1 & { - 2} \\
0 & 0 & 0 \\

\end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
{x_2 } \\
{x_3 } \\

\end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
0 \\

\end{array} } \right]} \right\} = \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{7x_3 } \\
{2x_3 } \\
{x_3 } \\

\end{array} } \right]:x_1 \in \mathbb{R}} \right\} = \left\langle {\left[ {\begin{array}{*{20}c}
7 \\
2 \\
1 \\

\end{array} } \right]} \right\rangle[/latex].

Znači geometrijske kratnosti svojstvenih vrijednosti 1 i 2 su 1. Znači da [latex]A[/latex] nije dijagonalizabilna. Znamo (svaka matrica ima jordanovu dekompoziciju) da postoji [latex]T[/latex] regularna matrica i [latex]J[/latex] blok dijagonalna, gornjetrokutasta takva da je [latex]A = TJT^{ - 1}[/latex]. Jer su geometrijske kratnosti od obje svojstvene vrijenosti jednake 1, zaključujemo da svakoj pripada 1 blok u jordanovoj formi. Algebarske kratnosti tada određuju dimenzije blokova pa je [latex]J = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\

\end{array} } \right][/latex]. Nadalje [latex]A = TJT^{ - 1} \Leftrightarrow AT = TJ[/latex] odakle, ako i-ti stupac od [latex]T[/latex] označimo sa [latex]t^{\left( i \right)}[/latex], dobivamo [latex]At^{\left( 1 \right)} = 2t^{\left( 1 \right)} ,At^{\left( 2 \right)} = t^{\left( 2 \right)} ,At^{\left( 3 \right)} = t^{\left( 2 \right)} + t^{\left( 3 \right)}[/latex] pa je [latex]T = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
7 & 1 & 0 \\
2 & 0 & {1/2} \\
1 & 0 & 0 \\

\end{array} } \right],T^{ - 1} = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & { - 7} \\
0 & 2 & { - 4} \\

\end{array} } \right][/latex].

Po definiciji je [latex]e^{tA} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( {tA} \right)^n }}
{{n!}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{t^n \left( {TJT^{ - 1} } \right)^n }}
{{n!}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{t^n TJ^n T^{ - 1} }}
{{n!}}} = T\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{t^n J^n }}
{{n!}}} } \right)T^{ - 1} = Te^{tJ} T^{ - 1}[/latex], a za jordanovu formu smo definirali djelovanje funkcije [latex]e^{tJ} = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{e^{2t} } & 0 & 0 \\
0 & {e^t } & {te^t } \\
0 & 0 & {e^t } \\

\end{array} } \right][/latex]. Sad još sve izmožimo i dobivamo [latex]e^{tA} = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{e^t } & {2te^t } & { - 7e^t + 7e^{2t} - 4te^t } \\
0 & {e^t } & { - 2e^t + 2e^{2t} } \\
0 & 0 & {e^{2t} } \\

\end{array} } \right][/latex]

Za drugi dio zatatka koristimo [latex]{\mathbf{\dot Y}} = A{\mathbf{Y}}[/latex] ima rješenje [latex]e^{tA} {\mathbf{Y}}\left( 0 \right)[/latex] što je kad se izračuna [latex]{\mathbf{Y}}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{ - 7e^t + 7e^{2t} - 4te^t } \\
{ - 2e^t + 2e^{2t} } \\
{e^{2t} } \\

\end{array} } \right][/latex]
Za karakteristični polinom od imamo i 1 je algebarske kratnosti 2, a 2 je algebarske kratnosti 1. Dalje, . .

Znači geometrijske kratnosti svojstvenih vrijednosti 1 i 2 su 1. Znači da nije dijagonalizabilna. Znamo (svaka matrica ima jordanovu dekompoziciju) da postoji regularna matrica i blok dijagonalna, gornjetrokutasta takva da je . Jer su geometrijske kratnosti od obje svojstvene vrijenosti jednake 1, zaključujemo da svakoj pripada 1 blok u jordanovoj formi. Algebarske kratnosti tada određuju dimenzije blokova pa je . Nadalje odakle, ako i-ti stupac od označimo sa , dobivamo pa je .

Po definiciji je , a za jordanovu formu smo definirali djelovanje funkcije . Sad još sve izmožimo i dobivamo

Za drugi dio zatatka koristimo ima rješenje što je kad se izračuna



_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
HijenA
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2004. (16:46:04)
Postovi: (3D2)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-26 = 44 - 70
Lokacija: Prazan skup ;-)
PostPostano: 19:06 pon, 19. 1. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite
hvala, hvala :-D i meni se cinilo da se matrica ne moze dijagonalizirati i saznao sam da mi treba Jordanova forma no buduci da nisam trazio svojstvene vektore vec cirka 4-5 godina, iako sam izracunao svojstvene vrijednosti, nikako se nisam mogao sjetiti kako ih izracunati :-? bas bez veze...ajd mi, ako ti se da, jos objasni kako si dobio prvi i drugi svojstveni vektor? sto si radio u drugom koraku, kako si dobio matricu [latex]\begin{bmatrix} 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 0 && 0 \end{bmatrix}[/latex] i otkud onda slijedi sljedeci korak? stvarno sam davno to radio, pa se moram podsjetiti...hvala unaprijed :-)
hvala, hvala Very Happy i meni se cinilo da se matrica ne moze dijagonalizirati i saznao sam da mi treba Jordanova forma no buduci da nisam trazio svojstvene vektore vec cirka 4-5 godina, iako sam izracunao svojstvene vrijednosti, nikako se nisam mogao sjetiti kako ih izracunati Confused bas bez veze...ajd mi, ako ti se da, jos objasni kako si dobio prvi i drugi svojstveni vektor? sto si radio u drugom koraku, kako si dobio matricu i otkud onda slijedi sljedeci korak? stvarno sam davno to radio, pa se moram podsjetiti...hvala unaprijed Smile



_________________
Chuck Norris can divide by zero.

I bow before you Veliki Limun, on je kiseo i zut Bow to the left

[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
alen
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
Sarma = la pohva - posuda
132 = 230 - 98
PostPostano: 19:13 pon, 19. 1. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite
Gaussove eliminacije, [url]http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination[/url], to su rečane transformacije, primjenjene na desnu stranu na kojoj je 0 baš ne mjenjaju puno tog, tak da se možeš ponašat ko da ih radiš sam na lijevoj strani. Sljedeći korak slijedi tak da izmnožiš matricu i vektor, dobiješ [latex]x_2=x_3=0[/latex] i nema ograničenja na [latex]x_1[/latex]
Gaussove eliminacije, http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination, to su rečane transformacije, primjenjene na desnu stranu na kojoj je 0 baš ne mjenjaju puno tog, tak da se možeš ponašat ko da ih radiš sam na lijevoj strani. Sljedeći korak slijedi tak da izmnožiš matricu i vektor, dobiješ i nema ograničenja na



_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Vektorski prostori Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan