| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
 Postano: 21:03 pet, 6. 2. 2004 Naslov: Beskonačno trčanje |
    |
|
|
Kao i svi,učim MATAN I i imam pitanje:
-Teorem kaže:''Ako je niz rastući i odozgo ograničen onda je on i konvergentan.
Niz je rastući,dakle on ostvaruje pomake,odnosno,niz se ''giba'',recimo udesno po brojevnom pravcu.
E sad,postoji ograda dakle broj L kojega on ne premašuje,ne prelazi,to znači da naš niz konvergira tome broju L.
Moja pitanja su:
takav niz može postojati samo na realnom pravcu jer je on dovoljno ''gust''(na njemu živi neizrecivo velika gomila brojeva)da niz ''beskonačno dugo trči'' prema broju L.Jesam li u pravu ?
Dali bi takav niz mogao ''živjeti'' i na racionalnom pravcu ?
Na prirodnom pravcu nebi mogao jer je L ipak konkretan broj pa bi ga niz uvijek preskočio ?
Jesam li što krivo rekao :roll:
Kao i svi,učim MATAN I i imam pitanje:
-Teorem kaže:''Ako je niz rastući i odozgo ograničen onda je on i konvergentan.
Niz je rastući,dakle on ostvaruje pomake,odnosno,niz se ''giba'',recimo udesno po brojevnom pravcu.
E sad,postoji ograda dakle broj L kojega on ne premašuje,ne prelazi,to znači da naš niz konvergira tome broju L.
Moja pitanja su:
takav niz može postojati samo na realnom pravcu jer je on dovoljno ''gust''(na njemu živi neizrecivo velika gomila brojeva)da niz ''beskonačno dugo trči'' prema broju L.Jesam li u pravu ?
Dali bi takav niz mogao ''živjeti'' i na racionalnom pravcu ?
Na prirodnom pravcu nebi mogao jer je L ipak konkretan broj pa bi ga niz uvijek preskočio ?
Jesam li što krivo rekao 
|
|
| [Vrh] |
|
glenda_north
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 11. 2003. (21:13:31)
Postovi: (2F)16
Lokacija: NORTH
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 22:22 pet, 6. 2. 2004 Naslov: Re: Beskonačno trčanje |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Kao i svi,[/quote]
(-: Ah što volim generalizacije... :-)
[quote]učim MATAN I i imam pitanje:
-Teorem kaže:''Ako je niz rastući i odozgo ograničen onda je on i konvergentan.[/quote]
Što se tiče glendinog donjeg shvaćanja intencije tvog posta: defaultni univerzalni skup u MA1 je |R , skup realnih brojeva. Tako da, svi nizovi, skupovi, elementi, i kompliciranije strukture promatraju se nad |R ako se ne kaže drugačije. Dakle, puna formulacija je
(a_n)_n: |N->|R & (An@|N)(a_(n+1)>=a_n) & (EM@|R)(An@|N)(a_n<=M) => (EL@|R)(lim_n a_n=L) .
[quote]Niz je rastući,dakle on ostvaruje pomake,odnosno,niz se ''giba'',recimo udesno po brojevnom pravcu.[/quote]
Whatever. Niz je (kao i svi ostali math-objekti) statička tvorevina, potpuno neovisna o protoku vremena i samim time van gibanja. Vrijeme nije bitna kategorija u mathu.
No moguće je, ako te baš veseli, promatrati domenu niza (|N) kao diskretizirano vrijeme, i onda "na indeksu n" zvati "u trenutku n". Na tu foru, zaista se brojevi "gibaju" (mijenjaju u vremenu), ali još uvijek ne bih rekao da se _niz_ giba, kao što ni u fizici vjerojatno ne govoriš da se trajektorija giba (već se tijelo giba po njoj).
[quote]E sad,postoji ograda dakle broj L kojega on ne premašuje,ne prelazi,to znači da naš niz konvergira tome broju L.[/quote]
Naravno da ne znači. Ako ne premašuje L a rastući je, onda sigurno ne premašuje ni L+1 , pa ipak ne može konvergirati i jednom i drugom.
Naravno, stvar je u tome da ako je L gornja međa, onda je i svaki broj veći od L također gornja međa (za sliku tog niza). Dakle, velike gornje međe nisu zanimljive. Zanimljive su male... manje... najmanje.;-)
Najmanja gornja međa zove se supremum. I _to_ je ono čemu naš niz teži. Pročitaj dokaz pažljivije...
[quote]Moja pitanja su:
takav niz može postojati samo na realnom pravcu jer je on dovoljno ''gust''(na njemu živi neizrecivo velika gomila brojeva)da niz ''beskonačno dugo trči'' prema broju L.
Jesam li u pravu ?[/quote]
Nisi. Kao prvo, "samo na realnom pravcu" je skoro uvijek preveliko ograničenje. Inače, ima i "gušćih" (mnogobrojnijih, topološki zbijenijih, potpunih u širem smislu, kako god hoćeš) skupova od |R .
Kao drugo, "neizrecivo velika gomila" je sintagma koja je možda palila prije Cantora, no danas matematičari operiraju s beskonačnošću sasvim normalno i "izrecivo". Konkretno, to se zove kontinuum. Na realnom pravcu ima kontinuum točaka (ie, brojeva).
Za "beskonačno dugo trčanje" (injektivno) niza dovoljno je imati kodomenu ne manjeg kardinalnog broja od domene, što je u ovom slučaju card |N=alef_0 , prilično mršavo u odnosu na kontinuum. Svaki beskonačni skup (uz pretpostavku aksioma izbora) će poslužiti, što se tiče injektivnog beskonačnog trčanja.
Što se tiče _rastućeg_ trčanja, poslužit će bilo koji totalno uređen skup bez najvećeg elementa - već |Z je sasvim ok.
A što se tiče rastućeg ograničenog trčanja, poslužit će bilo kakav svuda gust skup, npr. |Q .[/quote]
[quote]Dali bi takav niz mogao ''živjeti'' i na racionalnom pravcu ?[/quote]
Da. a_n:=1-1/n . Svaki a_n je racionalan broj, niz raste, ograničen je odozgo (npr. s 2 ), i konvergira k racionalnom broju 1 .
Ono što je poanta gornjeg teorema (kao i mnogih drugih math-tvrdnji) je da je univerzalan - ne da "bi mogao", već _mora_. U |R, _svaki_ niz koji je ograničen odozgo i rastući, konvergira. I to je potpunost od |R - potpunost, ne gustoća, jer i |Q je gust.
Za domaću zadaću, nađi kontraprimjer, odnosno dokaži da niz _može_ živjeti na |Q , biti rastući i ograničen odozgo, a ipak ne konvergirati k nečem racionalnom.
(hint: 1,14/10,141/100,....)
[quote]Na prirodnom pravcu nebi mogao jer je L ipak konkretan broj pa bi ga niz uvijek preskočio ?[/quote]
L je konkretan broj uvijek. I racionalni i realni brojevi su jednako konkretni kao i prirodni. No nije bitno kakav je L , bitno je kakva je struktura "ispod" L u skupu o kojem se radi (ovdje |N ). |N ima svojstvo da je svaki njegov odrezak (ono ispod L , ovdje) konačan (ima ~L elemenata). I sad je jasno da niz ne može beskonačno injektivno trčati po konačnom skupu.
[quote]Jesam li što krivo rekao :roll:[/quote]
Hrpu toga. :shock:
Možda sam negdje bio prestrog, ali mislim da je sporedno hoćeš li se naljutiti na mene. Puno je važnije da usvojiš terminologiju i izgradiš u glavi sliku koja će ti pomagati, ne odmagati u kasnijim proučavanjima.
HTH,
| Anonymous (napisa): | | Kao i svi, |
(-: Ah što volim generalizacije... 
| Citat: | učim MATAN I i imam pitanje:
-Teorem kaže:''Ako je niz rastući i odozgo ograničen onda je on i konvergentan. |
Što se tiče glendinog donjeg shvaćanja intencije tvog posta: defaultni univerzalni skup u MA1 je |R , skup realnih brojeva. Tako da, svi nizovi, skupovi, elementi, i kompliciranije strukture promatraju se nad |R ako se ne kaže drugačije. Dakle, puna formulacija je
(a_n)_n: |N→|R & (An@|N)(a_(n+1)>=a_n) & (EM@|R)(An@|N)(a_n⇐M) ⇒ (EL@|R)(lim_n a_n=L) .
| Citat: | | Niz je rastući,dakle on ostvaruje pomake,odnosno,niz se ''giba'',recimo udesno po brojevnom pravcu. |
Whatever. Niz je (kao i svi ostali math-objekti) statička tvorevina, potpuno neovisna o protoku vremena i samim time van gibanja. Vrijeme nije bitna kategorija u mathu.
No moguće je, ako te baš veseli, promatrati domenu niza (|N) kao diskretizirano vrijeme, i onda "na indeksu n" zvati "u trenutku n". Na tu foru, zaista se brojevi "gibaju" (mijenjaju u vremenu), ali još uvijek ne bih rekao da se _niz_ giba, kao što ni u fizici vjerojatno ne govoriš da se trajektorija giba (već se tijelo giba po njoj).
| Citat: | | E sad,postoji ograda dakle broj L kojega on ne premašuje,ne prelazi,to znači da naš niz konvergira tome broju L. |
Naravno da ne znači. Ako ne premašuje L a rastući je, onda sigurno ne premašuje ni L+1 , pa ipak ne može konvergirati i jednom i drugom.
Naravno, stvar je u tome da ako je L gornja međa, onda je i svaki broj veći od L također gornja međa (za sliku tog niza). Dakle, velike gornje međe nisu zanimljive. Zanimljive su male... manje... najmanje.
Najmanja gornja međa zove se supremum. I _to_ je ono čemu naš niz teži. Pročitaj dokaz pažljivije...
| Citat: | Moja pitanja su:
takav niz može postojati samo na realnom pravcu jer je on dovoljno ''gust''(na njemu živi neizrecivo velika gomila brojeva)da niz ''beskonačno dugo trči'' prema broju L.
Jesam li u pravu ? |
Nisi. Kao prvo, "samo na realnom pravcu" je skoro uvijek preveliko ograničenje. Inače, ima i "gušćih" (mnogobrojnijih, topološki zbijenijih, potpunih u širem smislu, kako god hoćeš) skupova od |R .
Kao drugo, "neizrecivo velika gomila" je sintagma koja je možda palila prije Cantora, no danas matematičari operiraju s beskonačnošću sasvim normalno i "izrecivo". Konkretno, to se zove kontinuum. Na realnom pravcu ima kontinuum točaka (ie, brojeva).
Za "beskonačno dugo trčanje" (injektivno) niza dovoljno je imati kodomenu ne manjeg kardinalnog broja od domene, što je u ovom slučaju card |N=alef_0 , prilično mršavo u odnosu na kontinuum. Svaki beskonačni skup (uz pretpostavku aksioma izbora) će poslužiti, što se tiče injektivnog beskonačnog trčanja.
Što se tiče _rastućeg_ trčanja, poslužit će bilo koji totalno uređen skup bez najvećeg elementa - već |Z je sasvim ok.
A što se tiče rastućeg ograničenog trčanja, poslužit će bilo kakav svuda gust skup, npr. |Q .[/quote]
| Citat: | | Dali bi takav niz mogao ''živjeti'' i na racionalnom pravcu ? |
Da. a_n:=1-1/n . Svaki a_n je racionalan broj, niz raste, ograničen je odozgo (npr. s 2 ), i konvergira k racionalnom broju 1 .
Ono što je poanta gornjeg teorema (kao i mnogih drugih math-tvrdnji) je da je univerzalan - ne da "bi mogao", već _mora_. U |R, _svaki_ niz koji je ograničen odozgo i rastući, konvergira. I to je potpunost od |R - potpunost, ne gustoća, jer i |Q je gust.
Za domaću zadaću, nađi kontraprimjer, odnosno dokaži da niz _može_ živjeti na |Q , biti rastući i ograničen odozgo, a ipak ne konvergirati k nečem racionalnom.
(hint: 1,14/10,141/100,....)
| Citat: | | Na prirodnom pravcu nebi mogao jer je L ipak konkretan broj pa bi ga niz uvijek preskočio ? |
L je konkretan broj uvijek. I racionalni i realni brojevi su jednako konkretni kao i prirodni. No nije bitno kakav je L , bitno je kakva je struktura "ispod" L u skupu o kojem se radi (ovdje |N ). |N ima svojstvo da je svaki njegov odrezak (ono ispod L , ovdje) konačan (ima ~L elemenata). I sad je jasno da niz ne može beskonačno injektivno trčati po konačnom skupu.
| Citat: | | Jesam li što krivo rekao |
Hrpu toga. 
Možda sam negdje bio prestrog, ali mislim da je sporedno hoćeš li se naljutiti na mene. Puno je važnije da usvojiš terminologiju i izgradiš u glavi sliku koja će ti pomagati, ne odmagati u kasnijim proučavanjima.
HTH,
|
|
| [Vrh] |
|
krcko
Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59)
Postovi: (18B3)16
|
| Postano: 0:18 sub, 7. 2. 2004 Naslov: Re: Beskonačno trčanje |
|
|
|
[quote="veky"](a_n)_n: |N->|R & (An@|N)(a_(n+1)>=a_n) & (EM@|R)(An@|N)(a_n<=M) => (EL@|R)(lim_n a_n=L)[/quote]
:shock:
Evo i prijevoda s vekyjevog jezika.
[quote="Anonymous"]Moja pitanja su:
takav niz može postojati samo na realnom pravcu jer je on dovoljno ''gust''(na njemu živi neizrecivo velika gomila brojeva)da niz ''beskonačno dugo trči'' prema broju L.Jesam li u pravu ?[/quote]
Jesi, u pravu si. Samo taj teorem ne ovisi o "neizrecivo velikoj gomili" (mislis na neprebrojivost skupa [b]R[/b], "gustoca" je nesto drugo). Teorem je posljedica (zapravo ekvivalent) onog sto se zove [i]potpunost[/i] skupa [b]R[/b]. Laicki receno, to znaci da [b]R[/b] nema rupa. Precizniju definiciju cut ces na MA3, Metrickim prostorima i raznim topologijama. Mozes imati skup koji je takodjer neprebrojiv, ali nije potpun. Recimo, teorem ne bi vrijedio u [b]R[/b]\{0}. Niz (-1/n) je strogo rastuci, ogranicen odozgo, ali ne konvergira u tom skupu (jer smo nulu izbacili van).
To da [b]R[/b] nema rupa je osnovno svojstvo realnog pravca, zapravo jedan od aksioma (aksiom A-16 u Kurepinoj knjizi).
[quote="Anonymous"]Dali bi takav niz mogao ''živjeti'' i na racionalnom pravcu ?[/quote]
Tocno, [b]Q[/b] je prepun rupa. "Nedostaju" svi iracionalni brojevi, a svakog mozes po volji tocno aproksimirati racionalnim. Zato imas gomilu nizova koji rastu, ograniceni su i ne konvergiraju.
[quote="Anonymous"]Na prirodnom pravcu nebi mogao jer je L ipak konkretan broj pa bi ga niz uvijek preskočio ?[/quote]
U [b]N[/b] je situacija malo drugacija. Pretpostavimo da imas istu definiciju konvergencije. Onda teorem vrijedi! Stvar je u tome da monoton ogranicen niz u [b]N[/b] od nekog mjesta nadalje mora biti konstantan, pa ce konvergirati. Znaci [b]N[/b] nema rupa, ali to je samo zato sto je zapravo unija izoliranih tockica. Takve stvari nisu jako zanimljive sa stanovista analize - pricekaj kombinatoriku iduci semestar :)
[quote="Anonymous"]Jesam li što krivo rekao :roll:[/quote]
Jedino ono da je L limes. Ostalo je stvar terminologije. Veky ne voli pjesnicko izrazavanje, ali meni se svidja razmisljati o matematickim objektima kao pokretnim i zivim stvarima :D
| veky (napisa): | | (a_n)_n: |N→|R & (An@|N)(a_(n+1)>=a_n) & (EM@|R)(An@|N)(a_n⇐M) ⇒ (EL@|R)(lim_n a_n=L) |
Evo i prijevoda s vekyjevog jezika.
| Anonymous (napisa): | Moja pitanja su:
takav niz može postojati samo na realnom pravcu jer je on dovoljno ''gust''(na njemu živi neizrecivo velika gomila brojeva)da niz ''beskonačno dugo trči'' prema broju L.Jesam li u pravu ? |
Jesi, u pravu si. Samo taj teorem ne ovisi o "neizrecivo velikoj gomili" (mislis na neprebrojivost skupa R, "gustoca" je nesto drugo). Teorem je posljedica (zapravo ekvivalent) onog sto se zove potpunost skupa R. Laicki receno, to znaci da R nema rupa. Precizniju definiciju cut ces na MA3, Metrickim prostorima i raznim topologijama. Mozes imati skup koji je takodjer neprebrojiv, ali nije potpun. Recimo, teorem ne bi vrijedio u R\{0}. Niz (-1/n) je strogo rastuci, ogranicen odozgo, ali ne konvergira u tom skupu (jer smo nulu izbacili van).
To da R nema rupa je osnovno svojstvo realnog pravca, zapravo jedan od aksioma (aksiom A-16 u Kurepinoj knjizi).
| Anonymous (napisa): | | Dali bi takav niz mogao ''živjeti'' i na racionalnom pravcu ? |
Tocno, Q je prepun rupa. "Nedostaju" svi iracionalni brojevi, a svakog mozes po volji tocno aproksimirati racionalnim. Zato imas gomilu nizova koji rastu, ograniceni su i ne konvergiraju.
| Anonymous (napisa): | | Na prirodnom pravcu nebi mogao jer je L ipak konkretan broj pa bi ga niz uvijek preskočio ? |
U N je situacija malo drugacija. Pretpostavimo da imas istu definiciju konvergencije. Onda teorem vrijedi! Stvar je u tome da monoton ogranicen niz u N od nekog mjesta nadalje mora biti konstantan, pa ce konvergirati. Znaci N nema rupa, ali to je samo zato sto je zapravo unija izoliranih tockica. Takve stvari nisu jako zanimljive sa stanovista analize - pricekaj kombinatoriku iduci semestar
| Anonymous (napisa): | | Jesam li što krivo rekao |
Jedino ono da je L limes. Ostalo je stvar terminologije. Veky ne voli pjesnicko izrazavanje, ali meni se svidja razmisljati o matematickim objektima kao pokretnim i zivim stvarima 
_________________
Vedran Krcadinac
Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 12:09 sub, 7. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
Hvala obojici na odgovoru,(makar i vekijevu klingonskom zapisu ali na kraju sam skužio tu simboliku),mada moram reći da me komentar krcka ''vinuo u nebesa'' 8) 8)
-------------------------------
Tocno, Q je prepun rupa. "Nedostaju" svi iracionalni brojevi, a svakog mozes po volji tocno aproksimirati racionalnim. Zato imas gomilu nizova koji rastu, ograniceni su i ne konvergiraju.
--------------------------------
Dakle,ako sam dobro shvatio,sve te silne aproksimacije(primjerice prema korijenu iz dva ako ''prilazimo'' slijeva) su zapravo monotoni nizovi odnosno možemo ih takvima definirati,jednostavno kažem: 1.41 ću pridružiti 1,pa će mi to biti a_1,1.414 ću pridružitit 2,pa mi je to član a_2 itd.
Dakle,problem nastaje zato što broj kojemu teže članovi(to je broj recimo-korijen iz dva) moga niza nije na racionalnom pravcu pa stoga uopće nije u ''svijetu kojemu živimo''(racionalni pravac)zato ne mogu govoriti o konvergentnosti nečemu jer uopće neznam čemu mi članovi niza teže !!!I stoga kao posljedicu imamo gomilu nizova koji su ograničeni i monotoni,a ne konvergiraju,jednostavno zato što brojevi kojima teže nemaju ''identifikaciju''(osobnu,domovnicu :lol: ,veky će poludit kad vidi da brojevima pridajem i osobne dokumente :lol: ) u skupu IQ.
Jesam li u pravu ?
Hvala obojici na odgovoru,(makar i vekijevu klingonskom zapisu ali na kraju sam skužio tu simboliku),mada moram reći da me komentar krcka ''vinuo u nebesa'' 
-------------------------------
Tocno, Q je prepun rupa. "Nedostaju" svi iracionalni brojevi, a svakog mozes po volji tocno aproksimirati racionalnim. Zato imas gomilu nizova koji rastu, ograniceni su i ne konvergiraju.
--------------------------------
Dakle,ako sam dobro shvatio,sve te silne aproksimacije(primjerice prema korijenu iz dva ako ''prilazimo'' slijeva) su zapravo monotoni nizovi odnosno možemo ih takvima definirati,jednostavno kažem: 1.41 ću pridružiti 1,pa će mi to biti a_1,1.414 ću pridružitit 2,pa mi je to član a_2 itd.
Dakle,problem nastaje zato što broj kojemu teže članovi(to je broj recimo-korijen iz dva) moga niza nije na racionalnom pravcu pa stoga uopće nije u ''svijetu kojemu živimo''(racionalni pravac)zato ne mogu govoriti o konvergentnosti nečemu jer uopće neznam čemu mi članovi niza teže !!!I stoga kao posljedicu imamo gomilu nizova koji su ograničeni i monotoni,a ne konvergiraju,jednostavno zato što brojevi kojima teže nemaju ''identifikaciju''(osobnu,domovnicu  ,veky će poludit kad vidi da brojevima pridajem i osobne dokumente ) u skupu IQ.
Jesam li u pravu ?
|
|
| [Vrh] |
|
krcko
Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59)
Postovi: (18B3)16
|
| Postano: 13:41 sub, 7. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Dakle,problem nastaje zato što broj kojemu teže članovi(to je broj recimo-korijen iz dva) moga niza nije na racionalnom pravcu pa stoga uopće nije u ''svijetu kojemu živimo''(racionalni pravac)zato ne mogu govoriti o konvergentnosti nečemu jer uopće neznam čemu mi članovi niza teže !!!I stoga kao posljedicu imamo gomilu nizova koji su ograničeni i monotoni,a ne konvergiraju,jednostavno zato što brojevi kojima teže nemaju ''identifikaciju''(osobnu,domovnicu :lol: ,veky će poludit kad vidi da brojevima pridajem i osobne dokumente :lol: ) u skupu IQ.
Jesam li u pravu ?[/quote]
Tak je. A pravi razlog zasto teorem vrijedi u [b]R[/b] je to sto realni brojevi nemaju rupa. Zapravo, skup [b]R[/b] se [i]definira[/i] kao upotpunjenje od [b]Q[/b] (to znaci da se zakrpaju sve rupe). Samo se na MA1&2 ne radi ta definicija, nego se [b]R[/b] uvede aksiomatski ili se poziva na bijektivnost s "intuitivnim" pravcem.
Stare Grke (i neke forumase :wink: ) prilicno je zbunilo kad su skuzili rupe u racionalnim brojevima. O tome smo vec pricali [url=http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=935]ovdje[/url].
| Anonymous (napisa): | Dakle,problem nastaje zato što broj kojemu teže članovi(to je broj recimo-korijen iz dva) moga niza nije na racionalnom pravcu pa stoga uopće nije u ''svijetu kojemu živimo''(racionalni pravac)zato ne mogu govoriti o konvergentnosti nečemu jer uopće neznam čemu mi članovi niza teže !!!I stoga kao posljedicu imamo gomilu nizova koji su ograničeni i monotoni,a ne konvergiraju,jednostavno zato što brojevi kojima teže nemaju ''identifikaciju''(osobnu,domovnicu ,veky će poludit kad vidi da brojevima pridajem i osobne dokumente ) u skupu IQ.
Jesam li u pravu ? |
Tak je. A pravi razlog zasto teorem vrijedi u R je to sto realni brojevi nemaju rupa. Zapravo, skup R se definira kao upotpunjenje od Q (to znaci da se zakrpaju sve rupe). Samo se na MA1&2 ne radi ta definicija, nego se R uvede aksiomatski ili se poziva na bijektivnost s "intuitivnim" pravcem.
Stare Grke (i neke forumase ) prilicno je zbunilo kad su skuzili rupe u racionalnim brojevima. O tome smo vec pricali ovdje.
_________________
Vedran Krcadinac
Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 14:58 sub, 7. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
evo mog sljedećeg pitanja:
--------------------------
Definicija niza kaže:
Ako je S neprazan skup onda svako preslikavanje f : IN -> S nazivamo nizom u S.
---------------------------
Dakle,skup može biti jednočlan i ''prikeljim'' tome članu 1 imam niz,jel'tak ?
Zapravo,koliko sam primjetio funkcija može raditi na dva načina:
-imam skup sa gomilom vrijednosti.Uporabom funkcije na neki način ''žigosam''(deklariram) svaku vrijednost skupa prirodnim brojem i onda tako prebrojen skup zovem nizom.
-funkcija može istovremeno ''žigosati'' i generirati vrijednosti skupa,onda je ona zadana pravilom pridruživanja,pr. a_n=(-1)^n ,prvi član(pod ''rednim brojem'' 1 ima vrijednost -1 itd.
evo mog sljedećeg pitanja:
--------------------------
Definicija niza kaže:
Ako je S neprazan skup onda svako preslikavanje f : IN -> S nazivamo nizom u S.
---------------------------
Dakle,skup može biti jednočlan i ''prikeljim'' tome članu 1 imam niz,jel'tak ?
Zapravo,koliko sam primjetio funkcija može raditi na dva načina:
-imam skup sa gomilom vrijednosti.Uporabom funkcije na neki način ''žigosam''(deklariram) svaku vrijednost skupa prirodnim brojem i onda tako prebrojen skup zovem nizom.
-funkcija može istovremeno ''žigosati'' i generirati vrijednosti skupa,onda je ona zadana pravilom pridruživanja,pr. a_n=(-1)^n ,prvi član(pod ''rednim brojem'' 1 ima vrijednost -1 itd.
|
|
| [Vrh] |
|
krcko
Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59)
Postovi: (18B3)16
|
| Postano: 18:34 sub, 7. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Dakle,skup može biti jednočlan i ''prikeljim'' tome članu 1 imam niz,jel'tak ?[/quote]
Niz je funkcija sa [b]N[/b] u S. Prirodnim brojevima se pridruzuju elementi skupa S, ne obrnuto. Naravno da S moze biti jednoclan. Tada se taj jedan element "prikelji" :silly: svakom prirodnom broju.
[quote="Anonymous"]Zapravo,koliko sam primjetio funkcija može raditi na dva načina:[/quote]
Ovdje vise nisam skuzio sto si htio reci. Niz moze biti definiran na jako puno nacina. Neke se moze zadati formulom, druge ne moze, ali to za analizu nije bitno. Glavno pitanje na analizi je konvergencija.
| Anonymous (napisa): | | Dakle,skup može biti jednočlan i ''prikeljim'' tome članu 1 imam niz,jel'tak ? |
Niz je funkcija sa N u S. Prirodnim brojevima se pridruzuju elementi skupa S, ne obrnuto. Naravno da S moze biti jednoclan. Tada se taj jedan element "prikelji"  svakom prirodnom broju.
| Anonymous (napisa): | | Zapravo,koliko sam primjetio funkcija može raditi na dva načina: |
Ovdje vise nisam skuzio sto si htio reci. Niz moze biti definiran na jako puno nacina. Neke se moze zadati formulom, druge ne moze, ali to za analizu nije bitno. Glavno pitanje na analizi je konvergencija.
_________________
Vedran Krcadinac
Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 21:01 sub, 7. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
imam skup sa gomilom vrijednosti.Uporabom funkcije na neki način ''žigosam''(deklariram) svaku vrijednost skupa prirodnim brojem i onda tako prebrojen skup zovem nizom.
-----------------------------------------
imam skup sa gomilom vrijednosti,funkcijom pridružujem svaki element skupa prirodnom broju,zapravo time kao da prebrojavam skup,odnosno njegove elemente.
Dakle kao da ''lijepim etikete'' na svaki broj iz skupa,svaki element skupa ima prirodan broj kojemu je element skupa pridružen.
Dakle u ovom slučaju je funkcija već postojećim vrijednostima pridruživala prirodne brojeve pa sam ja onda rekao da je ''žigosala'' vrijednosti.
Pr.1
Imam neprazan skup:
{23,545,564,12}
taj skup ima neke vrijednosti,ukoliko napravim funkciju sa IN u S dobivam :
1-ci pridružujem 23 (moj prvi član niza je 23)
2-ci pridružujem 545 (moj drugi član niza je 545)
3-ci pridružujem 564 (moj treći član niza je 564)
4-ci pridružujem 12 (moj četvrti član niza je 12)
U ovom primjeru funkcija nije proizvela vrijednosti,mislim nema pravila pridruživanja u kojem su ono klasične računske operacije.
Mogu li ja tako?Uzeti nekakav postojeći skup čije vrijednosti nije proizvela funkcija i od njega napraviti niz ?
Jeli nužno da cijeli IN moram preslikati ili mogu samo neke prirodne brojeve ?
---------------------------------------
funkcija može istovremeno ''žigosati'' i generirati vrijednosti skupa,onda je ona zadana pravilom pridruživanja,pr. a_n=(-1)^n ,prvi član(pod ''rednim brojem'' 1 ima vrijednost -1 itd.
------------------------------------------------
U ovom slučaju nemam skup kojemu pridružujem prirodne brojeve,već pravilom pridruživanja stvaram/proizvodim vrijednosti.
Pr.2
a_n=(-1)^n*1/n
1-ci pridružujem -1
2-ci pridružujem ½
3-ci pridružujem -1/3
4-ci pridružujem ¼
imam skup sa gomilom vrijednosti.Uporabom funkcije na neki način ''žigosam''(deklariram) svaku vrijednost skupa prirodnim brojem i onda tako prebrojen skup zovem nizom.
-----------------------------------------
imam skup sa gomilom vrijednosti,funkcijom pridružujem svaki element skupa prirodnom broju,zapravo time kao da prebrojavam skup,odnosno njegove elemente.
Dakle kao da ''lijepim etikete'' na svaki broj iz skupa,svaki element skupa ima prirodan broj kojemu je element skupa pridružen.
Dakle u ovom slučaju je funkcija već postojećim vrijednostima pridruživala prirodne brojeve pa sam ja onda rekao da je ''žigosala'' vrijednosti.
Pr.1
Imam neprazan skup:
{23,545,564,12}
taj skup ima neke vrijednosti,ukoliko napravim funkciju sa IN u S dobivam :
1-ci pridružujem 23 (moj prvi član niza je 23)
2-ci pridružujem 545 (moj drugi član niza je 545)
3-ci pridružujem 564 (moj treći član niza je 564)
4-ci pridružujem 12 (moj četvrti član niza je 12)
U ovom primjeru funkcija nije proizvela vrijednosti,mislim nema pravila pridruživanja u kojem su ono klasične računske operacije.
Mogu li ja tako?Uzeti nekakav postojeći skup čije vrijednosti nije proizvela funkcija i od njega napraviti niz ?
Jeli nužno da cijeli IN moram preslikati ili mogu samo neke prirodne brojeve ?
---------------------------------------
funkcija može istovremeno ''žigosati'' i generirati vrijednosti skupa,onda je ona zadana pravilom pridruživanja,pr. a_n=(-1)^n ,prvi član(pod ''rednim brojem'' 1 ima vrijednost -1 itd.
------------------------------------------------
U ovom slučaju nemam skup kojemu pridružujem prirodne brojeve,već pravilom pridruživanja stvaram/proizvodim vrijednosti.
Pr.2
a_n=(-1)^n*1/n
1-ci pridružujem -1
2-ci pridružujem ½
3-ci pridružujem -1/3
4-ci pridružujem ¼
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 21:44 sub, 7. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Hvala obojici na odgovoru,(makar i vekijevu klingonskom zapisu ali na kraju sam skužio tu simboliku),mada moram reći da me komentar krcka ''vinuo u nebesa'' 8) 8) [/quote]
Krcko i ja smo rekli jednu te istu stvar. Svaki na svom jeziku. I očito se kužimo. To je samo dokaz kako jezik nije toliko bitan jednom kad počneš math-misliti... :-)
[quote]Dakle,ako sam dobro shvatio,sve te silne aproksimacije(primjerice prema korijenu iz dva ako ''prilazimo'' slijeva) su zapravo monotoni nizovi odnosno možemo ih takvima definirati,jednostavno kažem: 1.41 ću pridružiti 1,pa će mi to biti a_1,1.414 ću pridružitit 2,pa mi je to član a_2 itd.[/quote]
Da. Samo mala ispravka: mislim da će ti biti lakše i više u skladu sa standardnom terminologijom ako ovo transponiraš, odnosno broju 1 pridružiš 1.41 , broju 2 pridružiš 1.414 itd. Pridruživanje je ipak sa |N u |Q , ne obrnuto (jer ne želiš jednom broju pridružiti više indeksâ, što bi morao kod neinjektivnog niza u tvom slučaju).
[quote]Dakle,problem nastaje zato što broj kojemu teže članovi(to je broj recimo-korijen iz dva) moga niza nije na racionalnom pravcu pa stoga uopće nije u ''svijetu kojemu živimo''(racionalni pravac)zato ne mogu govoriti o konvergentnosti nečemu jer uopće neznam čemu mi članovi niza teže !!![/quote]
Hm. Jednom kad okusiš sa stabla spoznaje, pa znaš da postoje realni brojevi, specijalno postoji sqrt(2) , onda možeš to nazvati "problemom" (kao gore). Da kojim slučajem konvergenciju definiraš u |Q (što se može... kvantifikacija (Aeps@|Q^+) je sasvim ok), gore spomenuti niz jednostavno ne bi konvergirao. Baš kao ni 1,2,3,4,5,.... npr. Ok, bio bi _Cauchyjev_, ali to je već druga priča.
[quote]monotoni,a ne konvergiraju,jednostavno zato što brojevi kojima teže nemaju ''identifikaciju''(osobnu,domovnicu :lol: ,veky će poludit kad vidi da brojevima pridajem i osobne dokumente :lol: )[/quote]
Neću poludjeti.
Prvo, vidjeh i puno gora masakriranja math-terminologije.
Drugo, samo redefinirajući (kao gore |N -> vrijeme) identifikaciju kao jedan logički pojam koji čak i logičari često zovu "ime" (u rijetkim trenutcima kad ih ufati samilost pa žele biti razumljivi), tvoja izjava postaje sasvim smislena i točna.
A treće, već sam dovoljno lud. :shock: :lol:
| Anonymous (napisa): | | Hvala obojici na odgovoru,(makar i vekijevu klingonskom zapisu ali na kraju sam skužio tu simboliku),mada moram reći da me komentar krcka ''vinuo u nebesa'' |
Krcko i ja smo rekli jednu te istu stvar. Svaki na svom jeziku. I očito se kužimo. To je samo dokaz kako jezik nije toliko bitan jednom kad počneš math-misliti...
| Citat: | | Dakle,ako sam dobro shvatio,sve te silne aproksimacije(primjerice prema korijenu iz dva ako ''prilazimo'' slijeva) su zapravo monotoni nizovi odnosno možemo ih takvima definirati,jednostavno kažem: 1.41 ću pridružiti 1,pa će mi to biti a_1,1.414 ću pridružitit 2,pa mi je to član a_2 itd. |
Da. Samo mala ispravka: mislim da će ti biti lakše i više u skladu sa standardnom terminologijom ako ovo transponiraš, odnosno broju 1 pridružiš 1.41 , broju 2 pridružiš 1.414 itd. Pridruživanje je ipak sa |N u |Q , ne obrnuto (jer ne želiš jednom broju pridružiti više indeksâ, što bi morao kod neinjektivnog niza u tvom slučaju).
| Citat: | | Dakle,problem nastaje zato što broj kojemu teže članovi(to je broj recimo-korijen iz dva) moga niza nije na racionalnom pravcu pa stoga uopće nije u ''svijetu kojemu živimo''(racionalni pravac)zato ne mogu govoriti o konvergentnosti nečemu jer uopće neznam čemu mi članovi niza teže !!! |
Hm. Jednom kad okusiš sa stabla spoznaje, pa znaš da postoje realni brojevi, specijalno postoji sqrt(2) , onda možeš to nazvati "problemom" (kao gore). Da kojim slučajem konvergenciju definiraš u |Q (što se može... kvantifikacija (Aeps@|Q^+) je sasvim ok), gore spomenuti niz jednostavno ne bi konvergirao. Baš kao ni 1,2,3,4,5,.... npr. Ok, bio bi _Cauchyjev_, ali to je već druga priča.
| Citat: | | monotoni,a ne konvergiraju,jednostavno zato što brojevi kojima teže nemaju ''identifikaciju''(osobnu,domovnicu ,veky će poludit kad vidi da brojevima pridajem i osobne dokumente ) |
Neću poludjeti.
Prvo, vidjeh i puno gora masakriranja math-terminologije.
Drugo, samo redefinirajući (kao gore |N → vrijeme) identifikaciju kao jedan logički pojam koji čak i logičari često zovu "ime" (u rijetkim trenutcima kad ih ufati samilost pa žele biti razumljivi), tvoja izjava postaje sasvim smislena i točna.
A treće, već sam dovoljno lud.
|
|
| [Vrh] |
|
krcko
Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59)
Postovi: (18B3)16
|
| Postano: 23:04 sub, 7. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]imam skup sa gomilom vrijednosti,funkcijom pridružujem svaki element skupa prirodnom broju,zapravo time kao da prebrojavam skup,odnosno njegove elemente.
Dakle kao da ''lijepim etikete'' na svaki broj iz skupa,svaki element skupa ima prirodan broj kojemu je element skupa pridružen... <cut>[/quote]
Mislim da ne razumijes pojam funkcije. Evo ti opisna definicija. Funkcija se sastoji od dva skupa, domene D i kodomene K, i pravila koje [b]svakom[/b] elementu iz D pridruzuje tocno jedan element iz K. Znaci, kod niza ne smije biti prirodnih brojeva kojima se nista ne pridruzuje.
Drugo pitanje je zadavanje nizova sa ili bez formule. Odgovor je da ne moras imati formulu za opci clan niza. Ono "pravilo" iz opisne definicije funkcije treba tumaciti na najsiri moguci nacin. Prava definicija funkcije je ovo. Funkcija f je podskup kartezijevog produkta DxK sa svojstvom da za svaki x iz D postoji jedinstveni par (x,y) iz f. Nigdje se ne spominje formula, a po ovoj definiciji funkcija ima previse da bismo ih mogli sve zadati formulama (nek veky nabaci komentar o Turingovim stojevima i izracunljivosti ako misli da je potrebno :wink: ).
| Anonymous (napisa): | imam skup sa gomilom vrijednosti,funkcijom pridružujem svaki element skupa prirodnom broju,zapravo time kao da prebrojavam skup,odnosno njegove elemente.
Dakle kao da ''lijepim etikete'' na svaki broj iz skupa,svaki element skupa ima prirodan broj kojemu je element skupa pridružen... <cut> |
Mislim da ne razumijes pojam funkcije. Evo ti opisna definicija. Funkcija se sastoji od dva skupa, domene D i kodomene K, i pravila koje svakom elementu iz D pridruzuje tocno jedan element iz K. Znaci, kod niza ne smije biti prirodnih brojeva kojima se nista ne pridruzuje.
Drugo pitanje je zadavanje nizova sa ili bez formule. Odgovor je da ne moras imati formulu za opci clan niza. Ono "pravilo" iz opisne definicije funkcije treba tumaciti na najsiri moguci nacin. Prava definicija funkcije je ovo. Funkcija f je podskup kartezijevog produkta DxK sa svojstvom da za svaki x iz D postoji jedinstveni par (x,y) iz f. Nigdje se ne spominje formula, a po ovoj definiciji funkcija ima previse da bismo ih mogli sve zadati formulama (nek veky nabaci komentar o Turingovim stojevima i izracunljivosti ako misli da je potrebno ).
_________________
Vedran Krcadinac
Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
|
