vektorski skupovi (zadatak)

[tomi365]

HELP PLEASE!!!


Nadopuni do baze za R5 za slijedece vektorske skupove:

a)

s1={(1,2-6,7,2), (0,3,7,-2,-2)}

b)

s2={(3,4,-2,1,9),(3,-6,7,8,2),(1,0,5,6,7)}

Nekima je ovo pljuga , a meni nocna mora

[Luuka]

Do kud si došao? Što si probao?

Evo ja ti dam uputu:

s1={(1,2-6,7,2), (0,3,7,-2,-2)}.
To je linearno nezavisan skup, pa ga možemo proširiti do baze.
Dodajemo vektore (1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0) itd. (jednog po jednog), i to tako da kad dodamo neki vektor skup ostane linearno nezavisan.
Kad smo na taj način dodali tri vektora (dakle s1 proširili na peteročlani skup, koliko je dimenzija prostora), dobili smo bazu.

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[tomi365]

Došao sam do toga da niš ne kužim...

Vektori su linearno nezavisni ako iz jednakosti alfa*x1,...alfa*xn = - v
slijedi da ej alfa_1=alfa_2=...=alfa_n=0

Kak to misliš dodajemo vektore , zbrajam?

S1=(1+1,2+0,-6+0,7+0,2+0)=(2,2,-6,7,2)
S1=(1+0,2+1,-6+0,7+0,2+0)=(1,3,-6,7,2)
S1=(1+0,2+0,-6+1,7+0,2+0)=(1,2,-5,7,2)
S1=(1+0,2+0,-6+0,7+1,2+0)=(1,2,-6,8,2)
S1=(1+0,2+0,-6+0,7+1,2+1)=(1,2,-6,7,3)

jel to to?

a šta s ovim drugim vektorom (0,3,7,-2,-2)?

[Luuka]

[tomi365]

a kojom provjerom najlakše znam da li je skup nezavisan? a kojom da je zavisan? ne kužim baš te matematičke izraze iz teorije znanja , lakše mi ide sa bukvalnim laičkim objašnjenjem - ukratko...

ako dođem do toga da je skup zavisan, onda radim što?

Sorry kaj gnjavim i ne kužim "osnove"

[Luuka]

Dobro si napiso gore, skup vektora je linearno nezavisan ako i samo ako

samo za trivijalan izbor skalara alfa.

Za svoje vektore, napišeš kaj imaš, i onda ćeš rjeavat sustav sa nepoznanicama alfa1,..., alfa_n, i ako je jedino rješenje tog sustava alfa_i=0, za svaki i, onda je skup lin nezavisan. Ako postoji neko drugo rješenje osim nula, onda je skup linearno zavisan.

I nije to neko znanje, to su fakat osnove, pohvataj osnovne pojmove čim prije

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[tomi365]

Da, to je teorija, a ja ne kužim praksu prelit iz te teorije...

Šta je meni alfa, šta je meni i, koje množim s kojim, kad nigdje nemam riješeni primjer takvog slučaja, a ne mogu niti naći...

Ti si u početku rekao da je sustav S1 linearno nezavisan...

Kako si to odoka, nabrzaka provjerio?

s1 = (1,2-6,7,2), (0,3,7,-2,-2)

Riješio si ovako npr. s1=(1*0+2*3+7*(-6)+7*(-2)+2*(-2)=0+6-42-14-4=-44

Ne ispada tako 0, pa je linearno nezavisan...

a ako ubacimo vektor

(1,2-6,7,2), (0,3,7,-2,-2),(1,0,0,0,0)


onda kako računamo linearnu nezavisnost, opet (1*0*1+i dalje je sve 0 pošto se množi s trećim vektorom koji iznosi 0... i ispada 0, i tako nastavim dalje...?

[Luuka]

Nisi ni blizu

alfa1,alfa2, ..., alfan su brojevi (iliti skalari).

Napravit ću kako se provjeri da je s1 lin nezavisan pa istu stvar napravi kad dodaš e1 unutra.




neka su i proizvoljni. Gledamo jednadžbu


nakon što uvrstimo a1 i a2, to izgleda:


vektore množimo sa brojem tako da pomnožimo svaku komponentu, vektore zbrajamo tako da im zbrojimo pripadne komponente. Imajući to u vidu, dobijemo:



Vektori su jednaki ako su im jednake sve komponente. Pa čitamo 5 jednadžbi s 5 nepoznanica:







Očito je rješenje tog sustava samo , .

Dakle, dobili smo da je ispunjeno samo ako su afa1=0 i alfa2=0, što je upravo definicija linearne nezavisnosti vektora a1 i a2.


Sad trebaš dodat vektor (1,0,0,0,0) uskup s1, i onda provjerit linearnu nezavisnost skupa {a1,a2,e1} na isti način kao što sm ja gore.. Jedina je razlika kaj ćeš sad imat alfa1, alfa2 i alfa3 jer imaš 3 vektora.

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[tomi365]

e, to sam čekao , sad govoriš mojim jezikom, hvala, hvala, sad imam materijal i početak s kojim mogu raditi...

Samo mi je trebalo reći , imaš kruške i jabuke i kruške, koje se ne smiju miješati

bacam se na to pa ću ubacit rješenje gore ak ne zapne nigdje...

Added after 21 minutes:

eto, dobio sam 5 jednadžba s 5 nepoznanica, od kojih se ništa ne razlikuje od onoga što si ti napisao, osim što je prva jednadžba:

alfa1+alfa3 = 0
...
...
...
...

a ostale su iste

sad bih iz toga trebao dobiti alfa 1, alfa 2 i alfa 3...

hm...

[Luuka]

npr iz zadnje dvije slijedi da je alfa_1 =0, pa iz prve da je alfa_3=0, a onda i da je alfa_2=0

i btw imaš 5 jednadžbi sa 3 nepoznanice

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[tomi365]

dalje dobivam slične sustave, jako me zanima kako si dobio 0 iz "iz zadnje dvije slijedi da je alfa_1 =0"?

jesi proizvoljno uvrstio alfu ili...?

Added after 41 minutes:

...

[Luuka]

Zadnje dvije jednadžbe čine najobičniji sustav 2 jednadžbe s dvije nepoznanice, gradivo osnovne škole rekao bih (ili 1.r srednje maximalno). A dal se nepoznanice zovu alfa1 i alfa2 ili x i y tak svejedno.

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[tomi365]

Eh, da...

Meni se čini da ću tako dobiti do proširenja peteročlanog skupa alfu 1 i alfu 2 i alfu 3 = 0, alfa 4=0 i alfa 5= 0

... i kako se onda završava zadatak ako su linearno zavisni do baze 5?

Kako bi izgledalo konačno riješenje?

napišem kolke su alfe ili...?

Added after 7 minutes:

jel mi je konačno računanje do alfa 5 ili alfa 7?

[Luuka]

Meni se čini da ti uopće ne kužiš što radiš.

Ovo je zadatak kada se neki skup nadopunjava do baze nekog prostora (u ovom slučaju R^5, a skup koji nadopunjavammo je skup VEKTORA, elemenata vektorskog prostora R^5).
Svaka baza ima 5 elemenata, jer je dimenzija od R^5 = 5.

U prvom slučaju imaš dvočlan skup vektora, za koji sam ja dokazao da je linearno NEZAVISAN. Neki teorem kaže da se svaki linearno nezavisan skup može proširiti do baze.

Pa idemo proširivat.
Najprije probamo u taj skup ubacit vektor e1=(1,0,0,0,0). Skup sa tim dodanim vektorom će biti dobar za naš zadatak ako je i dalje linearno nezavisan.
Biti će linerano nezavisan ako je jednadžba

zadovoljena samo za alfa1=alfa2=alfa3=0.

Ako postoje neki drugi alfa1,alfa2,alfa3 t.d. je jednadžba zadovoljena, onda je skup linearno zavisan, i vektor koji smo ubacili nije dobar, pa ga ne ostavljamo u skupu.

Skalari alfa1,alfa2,.. nam ne predstavljaju baš ništa, samo s njima provjeravamo linearnu nezavisnost.

U nekom trenutku, ubacit ćemo još 3 vektora u polazni skup s1, dobiti skup od 5 vektora (VEKTORI SU NAM BITNI), i ako je taj skup linearno nezavisan, onda je to baza i zadatak je gotov.

Daj si fakat raščisti osnovne pojmove, dalje bez ovoga nikako neće ići.

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[tomi365]

Mislim da napokon kužim, ali ću prespavati to, pa će jutro biti pametnije od večeri...

Ako sam dobro skužio moj zadatak je dokazati taj teorem o proširenju skupa linearno nezavisnih vektora do baze...

A pošto je to dokazivanje, ne smijem, valjda odmah ubaciti vektore, tih još 3 te kad se to sredi dobijem jednadžbe i odmah vidim koja je izjednačena s nulom a koja nije, tj. do kuda se može proširiti skup...

[Luuka]

Opet ne.

Tvoj zadatak je primjeniti taj teorem. Dokazati ga bi bilo nešto dosta drugačije.

Tvoj zadatak je naći još neka 3 vektora (radimo sa e1,e2,... jer su oni najjednostavniji) koji će sa ona 2 činiti bazu prostora R^5.
Ta 3 vekora koja dodaš moraju skupa sa ona 2 činiti LINEARNO NEZAVISAN SKUP VEKTORA, tu idu provjere s alfama.

Kad nađeš ta 3 vektora, gotov si, jer si našao 5 linearno nezavisna vektora u prostoru dimenzije 5, pa je taj skup vektora baza.

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[Gost]

1. Nadopunite do baze za R5 za sljedeće vektorske skupove:
a) S1={(1,2,-6,7,2), (0,3,7,-2,-2)}

b) S2={(3,4,-2,1,9),(3,-6,7,8,2),(1,0,5,6,7)}

a1=(1,2,-6,7,2)
a2=(0,3,7,-2,-2)

α1 a1+ α2 a2=0
α1(1,2,-6,7,2)+ α2(0,3,7,-2,-2)=(0,0,0,0,0)
(α1,2 α1+3 α2,-6 α1+7 α2,7 α1-2 α2,2 α1-2 α2)= (0,0,0,0,0)

α1=0
2 α1+3 α2=0
-6 α1+7 α2=0
7 α1-2 α2=0
2 α1-2 α2=0

Iz tih jednadžbi proizlazi da je α1=0 i α2=0 te je skup vektora linearno nezavisan. Proširujemo skup.

a1=(1,2,-6,7,2)
a2=(0,3,7,-2,-2)
a3=(1,0,0,0,0)

α1 a1+ α2 a2+α3 a3=0
α1(1,2,-6,7,2)+ α2(0,3,7,-2,-2)+ α3(1,0,0,0,0) =(0,0,0,0,0)
(α1+ α3,2 α1+3 α2,-6 α1+7 α2,7 α1-2 α2,2 α1-2 α2)= (0,0,0,0,0)

α1+ α3=0
2 α1+3 α2=0
-6 α1+7 α2=0
7 α1-2 α2=0
2 α1-2 α2=0

Iz tih jednadžbi proizlazi da je α1=0, α2=0 i α3=0, te je skup vektora linearno nezavisan. Proširujemo dalje skup prema bazi.

a1=(1,2,-6,7,2)
a2=(0,3,7,-2,-2)
a3=(1,0,0,0,0)
a4=(0,1,0,0,0)

α1 a1+ α2 a2+α3 a3+ α4 a4=0
α1(1,2,-6,7,2)+ α2(0,3,7,-2,-2)+ α3(1,0,0,0,0) + α4 (0,1,0,0,0)=(0,0,0,0,0)
(α1+ α3,2 α1+3 α2+ α4,-6 α1+7 α2,7 α1-2 α2,2 α1-2 α2)= (0,0,0,0,0)

α1+ α3=0
2 α1+3 α2+ α4=0
-6 α1+7 α2=0
7 α1-2 α2=0
2 α1-2 α2=0

Opet iz druge ili treće jednadžbe proizlazi da je α1=0 i α2=0 te su α3=0 i α4=0
Proširujemo dalje skup.

a1=(1,2,-6,7,2)
a2=(0,3,7,-2,-2)
a3=(1,0,0,0,0)
a4=(0,1,0,0,0)
a5=(0,0,1,0,0)

α1 a1+ α2 a2+α3 a3+ α4 a4+ α5 a5=0
α1(1,2,-6,7,2)+ α2(0,3,7,-2,-2)+ α3(1,0,0,0,0) + α4 (0,1,0,0,0)+ α5 (0,0,1,0,0)=(0,0,0,0,0)
(α1+ α3,2 α1+3 α2+ α4,-6 α1+7 α2+ α5,7 α1-2 α2,2 α1-2 α2)= (0,0,0,0,0)

α1+ α3=0
2 α1+3 α2+ α4=0
-6 α1+7 α2=0
7 α1-2 α2+ α5=0
2 α1-2 α2=0

Opet iz druge ili treće jednadžbe proizlazi da je α1=0 i α2=0 te su α3=0, α4=0 i α5=0, te smo time proširili skup do baze R5 koje glasi:
(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0)
Eto, jel to gotovo i točno?

b)

a1=(3,4,-2,1,9)
a2=(3,-6,7,8,2)
a3=(1,0,5,6,7)

α1 a1+ α2 a2+α3 a3=0
α1 (3,4,-2,1,9)+ α2 (3,-6,7,8,2)+ α3 (1,0,5,6,7)=(0,0,0,0,0)
(3 α1+3 α2+ α3,4 α1-6 α2,-2 α1+7 α2+5 α3, α1+8 α2+6 α3,9 α1+2 α2+7 α3)=(0,0,0,0,0)

3 α1+3 α2+ α3=0
4 α1-6 α2=0
-2 α1+7 α2+5 α3=0
α1+8 α2+6 α3=0
9 α1+2 α2+7 α3=0

Sad imam 5 jednadžba s 3 nepoznanice, na neki način ispada da je α1 =0,α2=0 i α3=0
Samo što ja to ne vidim gdje...al idemo dalje... To se može i matrično riješiti, al to budem kasnije... Sada proširujem vektorski skup.

a1=(3,4,-2,1,9)
a2=(3,-6,7,8,2)
a3=(1,0,5,6,7)
a4=(1,0,0,0,0)

α1 a1+ α2 a2+α3 a3+ α4 a4=0
α1 (3,4,-2,1,9)+ α2 (3,-6,7,8,2)+ α3 (1,0,5,6,7)+α4(1,0,0,0,0)=(0,0,0,0,0)

(3 α1+3 α2+ α3+ α4,4 α1-6 α2,-2 α1+7 α2+5 α3, α1+8 α2+6 α3,9 α1+2 α2+7 α3)=(0,0,0,0,0)

3 α1+3 α2+ α3+ α4=0
4 α1-6 α2=0
-2 α1+7 α2+5 α3=0
α1+8 α2+6 α3=0
9 α1+2 α2+7 α3=0

Opet su α1 =0,α2=0, α3=0 i α4=0 , negdje tu... pa idem dalje.

a1=(3,4,-2,1,9)
a2=(3,-6,7,8,2)
a3=(1,0,5,6,7)
a4=(1,0,0,0,0)
a5=(0,1,0,0,0)

α1 a1+ α2 a2+α3 a3+ α4 a4+ α5 a5=0
α1 (3,4,-2,1,9)+ α2 (3,-6,7,8,2)+ α3 (1,0,5,6,7)+ α4(1,0,0,0,0)+ α5(0,1,0,0,0)=(0,0,0,0,0)
(3 α1+3 α2+ α3+ α4,4 α1-6 α2+ α5,-2 α1+7 α2+5 α3, α1+8 α2+6 α3,9 α1+2 α2+7 α3)=(0,0,0,0,0)

3 α1+3 α2+ α3+ α4=0
4 α1-6 α2+ α5=0
-2 α1+7 α2+5 α3=0
α1+8 α2+6 α3=0
9 α1+2 α2+7 α3=0

Sad mi u ovim nejednadžbama ništa više nije jednostavno, i ne mogu ih izračunati, jel su mi alfe 0 ili ne, ako nisu ubacujem drugi vektor (0,0,1,0,0). A ako jesu onda je zadatak gotov i baza je
(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0).

Šta mi kažeš? Jesam napredovao šta?
Nadam se da imaju dovoljno mem

[tomi365]

ok, recimo da je zadatak pod a gotov...

sad preostaje pod b...

odmah se nametnuo problem kod ispitivanja linearne neazavisne početnih vektora (3)... a ja bih ih trebao naći još 2 do baze R5

3 α1+3 α2+ α3=0
4 α1-6 α2=0
-2 α1+7 α2+5 α3=0
α1+8 α2+6 α3=0
9 α1+2 α2+7 α3=0

muče me te jednadžbe - pronađi vrijednosti alfi

kad njih riješim, tj. provjerim, mogu dalje.. ako je nula super, ako ne, idem dalje, a ovo pada u vodu...

nastavak, opet pronaći alfe

3 α1+3 α2+ α3+ α4=0
4 α1-6 α2=0
-2 α1+7 α2+5 α3=0
α1+8 α2+6 α3=0
9 α1+2 α2+7 α3=0


i naposlijetku


3 α1+3 α2+ α3+ α4=0
4 α1-6 α2+ α5=0
-2 α1+7 α2+5 α3=0
α1+8 α2+6 α3=0
9 α1+2 α2+7 α3=0


opet kolike su alfe?

[tomi563]

POzdrav,

onaj zadatak sam skužio o linearno nezavisnim vektorima..

Sad me zanim akko primijeniti to na ovakvom zadatku...


Ispitaj pomoću kordinata koliko max vektora mogu uzeti iz skupa

{(1,2,-7,8,4), (4,2,3,-8,1),(-21,-14, 10, 32,15),(1,1,2,8,1)

smijemo uzeti da oni budu lin. nez.

Da li to riješavam npr. maknem prvi vektor, pa izračunam preostale vektore s alfama i dobijem sustav, pa ako alfe iznose 0 štima, a ako ne, sve pada u vodu, pa probam maknut 2. vektor...??