Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Svojstvene vrijednosti i potprostori (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 2. godine -> Linearna algebra 2 (smjer nastavnički)
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
tomi365
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 11. 2009. (18:07:47)
Postovi: (25)16
Sarma = la pohva - posuda
-2 = 0 - 2

PostPostano: 22:15 uto, 8. 12. 2009    Naslov: Svojstvene vrijednosti i potprostori Citirajte i odgovorite

zadatak glasi ovako..

Imamo matricu tipa 4x4

B={1 1 2 2;0 3 3 4; 0 0 5 5; 0 0 0 6)

treba pronaći svojstvene vrijednosti i svojstvene potprostore,
te još izraziti B^-1 pomoću potecija B matrice...

Pljuga, zar ne, al ja sam zapeo na samome startu..

prvo bi trebalo odrediti lamdu, mislim...
zadatak glasi ovako..

Imamo matricu tipa 4x4

B={1 1 2 2;0 3 3 4; 0 0 5 5; 0 0 0 6)

treba pronaći svojstvene vrijednosti i svojstvene potprostore,
te još izraziti B^-1 pomoću potecija B matrice...

Pljuga, zar ne, al ja sam zapeo na samome startu..

prvo bi trebalo odrediti lamdu, mislim...


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Luuka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
188 = 301 - 113
Lokacija: Hakuna Matata

PostPostano: 23:25 uto, 8. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ovo je trokutasta matrica, i vidi iz aviona se vide svojstvene vrijednosti... daj si pročitaj malo predavanja i ostalo... ne znam kak ćeš ovo ako provjera linearnog operatora nije jasna...
Ovo je trokutasta matrica, i vidi iz aviona se vide svojstvene vrijednosti... daj si pročitaj malo predavanja i ostalo... ne znam kak ćeš ovo ako provjera linearnog operatora nije jasna...



_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy Very Happy
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
tomi365
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 11. 2009. (18:07:47)
Postovi: (25)16
Sarma = la pohva - posuda
-2 = 0 - 2

PostPostano: 0:07 sri, 9. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ah...

Ispada da je to gornje torkutasta matrica, te treba pronaći karakt. polinom te njegove nultočke (lamde) koje čine vrijednosti svojstvene matrice...

Prema svojstvima determinante matrice - ispada da ako sadrži nule ispod ili iznad glavne dijagnale da je rješenje produkt dijagonale i po tome mi ispada veeeliko rješenje
LAMDA = L
k_A =(lamda-1)( L-3)(L -5)(L -6)=(L^ 2-3L -L +3)(L^ 2-6L -5L +30)=
=(L^2-4L +3)(L^ 2-11L +30)= L^4-11L^ 3+30L^2-4L^3+44L^2-120L+3L^2-33L +90=
=L^4-15L^3+77L^2-153L+90=


I sad bi se to trebalo rastaviti i dobiti lamdu 1, 2, 3, 4

ili ako ćemo rješavati po trokut. matrici

onda je malo drugačije...

Hm...

Imam to gradivo na doslovno 3 str. te se snalazim kako mogu...

Upijam kolko stignem i mogu...
Teško je...
Ah...

Ispada da je to gornje torkutasta matrica, te treba pronaći karakt. polinom te njegove nultočke (lamde) koje čine vrijednosti svojstvene matrice...

Prema svojstvima determinante matrice - ispada da ako sadrži nule ispod ili iznad glavne dijagnale da je rješenje produkt dijagonale i po tome mi ispada veeeliko rješenje
LAMDA = L
k_A =(lamda-1)( L-3)(L -5)(L -6)=(L^ 2-3L -L +3)(L^ 2-6L -5L +30)=
=(L^2-4L +3)(L^ 2-11L +30)= L^4-11L^ 3+30L^2-4L^3+44L^2-120L+3L^2-33L +90=
=L^4-15L^3+77L^2-153L+90=


I sad bi se to trebalo rastaviti i dobiti lamdu 1, 2, 3, 4

ili ako ćemo rješavati po trokut. matrici

onda je malo drugačije...

Hm...

Imam to gradivo na doslovno 3 str. te se snalazim kako mogu...

Upijam kolko stignem i mogu...
Teško je...


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3560)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init

PostPostano: 1:31 sri, 9. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ako imas
[latex]a \cdot b \cdot c \cdot d = 0[/latex],
onda je valjda jasno da mora biti
[latex]a = 0[/latex] ili [latex]b = 0[/latex] ili [latex]c = 0[/latex] ili [latex]d = 0[/latex].
E, a ti umjesto
[latex]a \cdot b \cdot c \cdot d = 0[/latex],
imas
[latex](\lambda - 1)(\lambda - 3)(\lambda - 5)(\lambda - 6) = 0[/latex]
Sad jasnije?
Ako imas
,
onda je valjda jasno da mora biti
ili ili ili .
E, a ti umjesto
,
imas

Sad jasnije?



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.
Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
tomi365
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 11. 2009. (18:07:47)
Postovi: (25)16
Sarma = la pohva - posuda
-2 = 0 - 2

PostPostano: 12:38 sri, 9. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Jel to neko trik pitanje?

To treba izmnožit nekako ili...?

Ili je sve nula :P
Jel to neko trik pitanje?

To treba izmnožit nekako ili...?

Ili je sve nula Razz


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Luuka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
188 = 301 - 113
Lokacija: Hakuna Matata

PostPostano: 14:33 sri, 9. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Nisu tebi ni nultočke polinoma sjele kolko ja vidim ;)

Ako imaš polinom [latex](x-x_1)(x-x_2)..(x-x_n)=0[/latex]
i tražiš njegove nultočke onda su to x_1, x_2, ..., x_n

Jel sad jasnije?
Nisu tebi ni nultočke polinoma sjele kolko ja vidim Wink

Ako imaš polinom
i tražiš njegove nultočke onda su to x_1, x_2, ..., x_n

Jel sad jasnije?



_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy Very Happy
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
tomi365
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 11. 2009. (18:07:47)
Postovi: (25)16
Sarma = la pohva - posuda
-2 = 0 - 2

PostPostano: 15:00 sri, 9. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Onda bi treba kao svaku nultočku izjednači s nulom

te ispada da je lamda_1 - 1= 0 => lamda_1 =1

lamda_2 = 3
lamda_3 = 5

lamda_4= 6

Ne, ne bi trebalo biti tako...

Trabam izraziti lamde, koje će mi završitit s potencijama, te kad se to sredi dobijem sređene lamde u zagradama i tamo mi ispadnu nultočke....

Npr. imam matricu A={0 5 8;5 0 8;8 5 0} koja je slična mojoj, ali opet drugačija. Kod nje se računa kark. polinom i to tako:

k(lamda)=det(lamda* I-A) = (lamde dođu na dijagonala, a ostali brojevi promijene predznaki to je = lamda^3 - 129 lamda - 520

iz toga su nultočke lamda1=-8, l2= -5, l3=13

E sad , to treb aprimijenit kod mog slučaja.. veća je matrica i k tome trokutasta...
Onda bi treba kao svaku nultočku izjednači s nulom

te ispada da je lamda_1 - 1= 0 => lamda_1 =1

lamda_2 = 3
lamda_3 = 5

lamda_4= 6

Ne, ne bi trebalo biti tako...

Trabam izraziti lamde, koje će mi završitit s potencijama, te kad se to sredi dobijem sređene lamde u zagradama i tamo mi ispadnu nultočke....

Npr. imam matricu A={0 5 8;5 0 8;8 5 0} koja je slična mojoj, ali opet drugačija. Kod nje se računa kark. polinom i to tako:

k(lamda)=det(lamda* I-A) = (lamde dođu na dijagonala, a ostali brojevi promijene predznaki to je = lamda^3 - 129 lamda - 520

iz toga su nultočke lamda1=-8, l2= -5, l3=13

E sad , to treb aprimijenit kod mog slučaja.. veća je matrica i k tome trokutasta...


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
tomi365
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 11. 2009. (18:07:47)
Postovi: (25)16
Sarma = la pohva - posuda
-2 = 0 - 2

PostPostano: 23:38 sri, 9. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ajmo ljudi, tko zna zna, tko ne zna 2... :D
Ajmo ljudi, tko zna zna, tko ne zna 2... Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Gogs
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 10. 2002. (22:28:12)
Postovi: (155)16
Sarma = la pohva - posuda
= 14 - 11
Lokacija: Zagreb

PostPostano: 23:57 sri, 9. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Sve su ti kolege u gornjim postovima objasnile.

Ti samo nepotrebno pokušavaš komplicirati, ti iz faktoriziranog oblika polinoma dođeš do nefaktoriziranog i onda se pitaš kako izgleda faktorizacija.
Faktorizacija ti je pisala na samom početku, dakle rješenja, odnosno svojstvene vrijednosti očitaš na trivijalan način iz faktoriziranog oblika karakterističnog polinoma.
Sve su ti kolege u gornjim postovima objasnile.

Ti samo nepotrebno pokušavaš komplicirati, ti iz faktoriziranog oblika polinoma dođeš do nefaktoriziranog i onda se pitaš kako izgleda faktorizacija.
Faktorizacija ti je pisala na samom početku, dakle rješenja, odnosno svojstvene vrijednosti očitaš na trivijalan način iz faktoriziranog oblika karakterističnog polinoma.



_________________
Dvije stvari su beskonacne, svemir i ljudska glupost, ali sto se svemira tice nisam posve siguran.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
tomi365
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 11. 2009. (18:07:47)
Postovi: (25)16
Sarma = la pohva - posuda
-2 = 0 - 2

PostPostano: 0:22 čet, 10. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Hoćeš ti da mi odigramo šah?

:lol:
Hoćeš ti da mi odigramo šah?

Laughing


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
behemont
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 02. 2008. (21:21:19)
Postovi: (124)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-8 = 53 - 61

PostPostano: 12:52 čet, 10. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

e4
e4


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Gost






PostPostano: 13:45 čet, 10. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Budemo poslije igrali šah, sad treba ovaj zadatak riješiti...

Hvala
Budemo poslije igrali šah, sad treba ovaj zadatak riješiti...

Hvala


[Vrh]
tomi365
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 11. 2009. (18:07:47)
Postovi: (25)16
Sarma = la pohva - posuda
-2 = 0 - 2

PostPostano: 15:18 pet, 11. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Anybody home?
Anybody home?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Luuka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
188 = 301 - 113
Lokacija: Hakuna Matata

PostPostano: 16:26 pet, 11. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Sve ti je već gore napisano, samo to treba znat pročitat... ko što sam reko, puuuuno ti rupa imaš, iz najjednostavnijih osnova, tako da ti forum ne može pomoć, samo instrukcije ili demonstature, di će ti netko to moć objasnit
Sve ti je već gore napisano, samo to treba znat pročitat... ko što sam reko, puuuuno ti rupa imaš, iz najjednostavnijih osnova, tako da ti forum ne može pomoć, samo instrukcije ili demonstature, di će ti netko to moć objasnit



_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy Very Happy
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
tomi365
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 11. 2009. (18:07:47)
Postovi: (25)16
Sarma = la pohva - posuda
-2 = 0 - 2

PostPostano: 17:20 pet, 11. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Da, imam sve ispisano...

MOje pretpostavke, od kojih mi ni jednu nije nitko ni potvrdio,a niti opovrguo, te odgovore forumaša , svatko svoj i kako da onda znam gdje je ključan dio rješenja moga problema zadatka...

Lamde, rješenja su

1, 3, 5 i 6? ili su to nultočke polinoma?
Da, imam sve ispisano...

MOje pretpostavke, od kojih mi ni jednu nije nitko ni potvrdio,a niti opovrguo, te odgovore forumaša , svatko svoj i kako da onda znam gdje je ključan dio rješenja moga problema zadatka...

Lamde, rješenja su

1, 3, 5 i 6? ili su to nultočke polinoma?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Luuka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
188 = 301 - 113
Lokacija: Hakuna Matata

PostPostano: 17:24 pet, 11. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="tomi365"]

Lamde, rješenja su

1, 3, 5 i 6? ili su to nultočke polinoma?[/quote]

Po ovome se vidi na nemaš pojma o čemu pričaš, da ti je sve nejasno :D

Evo još samo da ti ovo odgovorim:
Svaka svojstvena vrijednost matrice je nultočka karakterističnog polinoma i tako ju računamo. Dakle, da, tvoje svojstvene vrijednosti su 1,3,5,6 jer su nultočke karakterističnog polinoma.
tomi365 (napisa):


Lamde, rješenja su

1, 3, 5 i 6? ili su to nultočke polinoma?


Po ovome se vidi na nemaš pojma o čemu pričaš, da ti je sve nejasno Very Happy

Evo još samo da ti ovo odgovorim:
Svaka svojstvena vrijednost matrice je nultočka karakterističnog polinoma i tako ju računamo. Dakle, da, tvoje svojstvene vrijednosti su 1,3,5,6 jer su nultočke karakterističnog polinoma.



_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy Very Happy
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
tomi365
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 11. 2009. (18:07:47)
Postovi: (25)16
Sarma = la pohva - posuda
-2 = 0 - 2

PostPostano: 18:16 pet, 11. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ok, lamde = nultočke k. polinoma = svojstvene vrij. matrice

To sad stoji...

[size=9][color=#999999]Added after 32 minutes:[/color][/size]

Sad još samo nek sjedne potprostor te mat. i B^-1 pomoću potencija B mat.

ok, kužim b^-1, al pomoć potencija b mat, to ne kužim...

nemam potencije, tj. ja ih ne vidim...
Ok, lamde = nultočke k. polinoma = svojstvene vrij. matrice

To sad stoji...

Added after 32 minutes:

Sad još samo nek sjedne potprostor te mat. i B^-1 pomoću potencija B mat.

ok, kužim b^-1, al pomoć potencija b mat, to ne kužim...

nemam potencije, tj. ja ih ne vidim...


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Luuka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
188 = 301 - 113
Lokacija: Hakuna Matata

PostPostano: 20:11 pet, 11. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ovako, iz Hamilton-Cayleyevog tm slijedi da matrica poništava svoj karakteristični polinom, tj da je k(A)=0.

Dakle, samo raspiši onaj svoj polinom di je lambda, umjesto lambda uvrsti A, prebaci ono di je I na jednu stranu, ostalo na drugu i onda pomnoži sa A^-1. I eto polinoma u A koji daje A^-1 :D

A sv potprostore ti neću tu objašnjavat, predug bi to bio post :D
Ovako, iz Hamilton-Cayleyevog tm slijedi da matrica poništava svoj karakteristični polinom, tj da je k(A)=0.

Dakle, samo raspiši onaj svoj polinom di je lambda, umjesto lambda uvrsti A, prebaci ono di je I na jednu stranu, ostalo na drugu i onda pomnoži sa A^-1. I eto polinoma u A koji daje A^-1 Very Happy

A sv potprostore ti neću tu objašnjavat, predug bi to bio post Very Happy



_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy Very Happy
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
tomi365
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 11. 2009. (18:07:47)
Postovi: (25)16
Sarma = la pohva - posuda
-2 = 0 - 2

PostPostano: 21:44 pet, 11. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Dobar vic, nema šta :D
Da li koristim pritom onaj umnožak koji sam prije izračunao (l-1)(l-3),...
a iznosi lamda^4 ,... te tamo zamijenim lamde u A - (koji A?) kao što si rekao te
izračunam...
Primio sam se potprostora, i ima ih veelikih 4 slučaja

za lamdu 1, 3, 5, 6

te sam krenuo od

A-I=

te idem

A-3I=
A-5I=
A-6I=
da svedem matricu onim nekim pravilima na 1 ili 2 retka pa dobijem x-eve 1 i 2 te
da dobijem dim S(1)=1

a što se tiće B^-1, može se riješiti na 2 načina koja poznam,

a zovu se - pomoću min.polinoma i bez direktnog invertiranja...

Pa koji je ovaj pomoću potenc. ?
Dobar vic, nema šta Very Happy
Da li koristim pritom onaj umnožak koji sam prije izračunao (l-1)(l-3),...
a iznosi lamda^4 ,... te tamo zamijenim lamde u A - (koji A?) kao što si rekao te
izračunam...
Primio sam se potprostora, i ima ih veelikih 4 slučaja

za lamdu 1, 3, 5, 6

te sam krenuo od

A-I=

te idem

A-3I=
A-5I=
A-6I=
da svedem matricu onim nekim pravilima na 1 ili 2 retka pa dobijem x-eve 1 i 2 te
da dobijem dim S(1)=1

a što se tiće B^-1, može se riješiti na 2 načina koja poznam,

a zovu se - pomoću min.polinoma i bez direktnog invertiranja...

Pa koji je ovaj pomoću potenc. ?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Luuka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
188 = 301 - 113
Lokacija: Hakuna Matata

PostPostano: 22:32 pet, 11. 12. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Za ovu matricu je minimalni polinom jednak karakterističnom ;)

A ovako nekako se ide, pisat ću primjer bezveze, ne da mi se isčitavat točni koeficijenti. Neka je k(x) karakteristični polinom od A:
[latex]k(x)=x^4+3x^3-17x^2-5x + 9[/latex]

Hamilton-Cayleyev tm kaže da matrica poništava svoj karakt polinom, dakle
[latex]k(A)=0[/latex], tj
[latex]A^4+3A^3-17A^2-5A + 9I = 0[/latex]

iz toga slijedi da je
[latex]-\frac{1}{9}A^4-\frac{1}{3}A^3+\frac{17}{9}A^2+\frac{5}{9}A = I[/latex] , pa množenjem sa A^-1 dobivamo:

[latex]-\frac{1}{9}A^3-\frac{1}{3}A^2+\frac{17}{9}A+\frac{5}{9}I = A^{-1}[/latex]

Isti je postupak iz minimalnog polinoma.
Za ovu matricu je minimalni polinom jednak karakterističnom Wink

A ovako nekako se ide, pisat ću primjer bezveze, ne da mi se isčitavat točni koeficijenti. Neka je k(x) karakteristični polinom od A:


Hamilton-Cayleyev tm kaže da matrica poništava svoj karakt polinom, dakle
, tj


iz toga slijedi da je
, pa množenjem sa A^-1 dobivamo:



Isti je postupak iz minimalnog polinoma.



_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy Very Happy
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 2. godine -> Linearna algebra 2 (smjer nastavnički) Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan