Zadatak iz kolokvija,2006.god

[patlidzan]

Jel bi mogao netko riješit ovaj zadatak:

Funkciju f: <0,1> U <1,besk> --> R zadanu formulom

f(x)=lnxcos(1/x-1)

dodefinirajte u točki 1 tako da dobivena funkcija bude neprekidna u 1. Da li je tako dodefinirana funkcija klase C1(<0,besk>)? Sve tvrdnje obrazložite.


Hvala

[pmli]

NeonBlack je već pitala (blizu dna stranice).

[amimoza]

Moze pomoc prvi zadatak prve grupe
http://web.math.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0506-kol1.pdf!
kad prvi put deriviram uocim dif. tj
f'(x)= 2x/(1+tg^2x)-f(x) 2sinx/ cos^3x

kako da se rjesim cos tj sinusa ???

[pbakic]

Odmah na pocetku dodje korisno ako napises 1+tg^2 kao 1/cos^2

[amimoza]

taj prvi zadatak...
kad po leibnz. raspisem bla bal... sto da radim sad kad sam dosao do toga da moram uvrstit nulu u n-tu derivaciju od (cos^2x), to nisam kako sto?!?!

moze pomoc i oko drugog , spetljam kad dobijem opcenitu formuli za tangentu i omda uvrstavam tocku :S

[pbakic]

Evo prvi, dost detaljnije:
Pocetnu formulu zapisemo u finijem obliku, dakle

Sad to sve dignemo na 100. derivaciju i primjenimo Leibniza, pa u x=0 ta derivacija izgleda ovako:



Sad moramo jos samo nac n-tu derivaciju u nuli od funkcije cos^2, a to vise nije problem jer:

(cos^2(x))'=-2cos(x)sin(x)=-sin(2x) pa je dovoljno naci n-1. derivaciju od -sin(2x), a to znamo kak izgleda:


i tako dalje.
Dakle, n-ta derivacija ovisi o ostatku dijeljenja broja n s 4 (ispred ces uvijek imat 2^n, a onda to mnozis sa sin2x, cos2x, -sin2x, -cos2x, ovisno o ostatku (n%4))
Nama konkretno trebaju 97. i 99. derivacija od -sin2x, pa su to (prema ovom gore) pa imamo i (ovaj cos2x ce bit 1 jer je x=0, pa se to uvrsti, vrati skroz gore i to je to)


Za drugi zad deriviras ono sta je implicitno zadano, i recimo da je tocka dodira tangente i krivulje d,y(d). Onda je tangenta koju trazimo zadana s tangenta(x)=y'(d)(x-d)+y(d). Sad uvrstis tangenta(x)=0, x=-2 i onda bi se trebao dobit neki uvjet iz kojeg dobijes nesto tipa 2d+y(d)=-1 (a kad se to vrati u pocetnu formulu se dobiju kandidati za d)

[amimoza]

[Genaro]

Nisi dobro derivirao, izraz uz nije 1+x već 2x.

[amimoza]

[Genaro]

Joj, sori, mislio sam na 99. derivaciju