Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
HijenA Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2004. (16:46:04) Postovi: (3D2)16
Spol:
Lokacija: Prazan skup ;-)
|
Postano: 14:50 uto, 23. 3. 2010 Naslov: Metoda sukcesivnih aproksimacija |
|
|
nemam pojma gdje bi trebao ovaj zadatak zavrsiti, pa ga postam ovdje. ne znam na kojem se kolegiju rade integralne jednadzbe.
[b]1. Tekst zadatka i sve poznate varijable[/b]
Cestica je ispaljena iz tocke na povrsini Zemlje sa zemljopisnom sirinom [latex]\frac{\pi}{2}-\lambda[/latex] u smjeru zapada pod kutem [latex]\alpha[/latex] prema horizontali. Ako pocetna brzina iznosi [latex]v_0[/latex], izracunajte polozaj cestice nakon vremena t.
[b]2. Bitnije jednadžbe[/b]
metoda sukcesivnih aproksimacija
[b]3. Pokušaj rješenja[/b]
isao sam kao u skripti. uzeo sam kao pocetni uvjet [latex]x(0)=y(0)=z(0)=0[/latex] i koordinatni sam sustav orjentirao tako da mi x-os gleda prema jugu (smjer sjever - jug), y-os prema istoku (smjer istok - zapad), a z-os vertikalno u zrak (okomita na x i y osi). vektor pocetne brzine iznosi:
[latex]\vec{v}_0=-v_0\cos\alpha\vec{\jmath}+v_0\sin\alpha\vec{k}[/latex]
u ovom slucaju, u smjeru x-osi nema komponente brzine. jednadzbe gibanja su:
[latex]\ddot{x}=2\omega\cos\lambda\cdot\dot{y}[/latex]
[latex]\ddot{y}=-2(\omega\cos\lambda\cdot\dot{x}+\omega\sin\lambda\cdot\dot{z})[/latex]
[latex]\ddot{z}=-g+2\omega\sin\lambda\cdot\dot{y}[/latex]
nakon prvog integriranja po vremenu, dobijem iduci set jednadzbi:
[latex]\dot{x}(t)=2\omega\cos\lambda\cdot y(t)[/latex]
[latex]\dot{y}(t)=-2[\omega\cos\lambda\cdot x(t)+\omega\sin\lambda\cdot z(t)]-v_0\cos\alpha[/latex]
[latex]\dot{z}(t)=-gt+v_0\sin\alpha+2\omega\sin\lambda\cdot y(t)[/latex]
nakon drugog integriranja, dobijem jednadzbe polozaja (integralne jednadzbe):
[latex]x(t)=2\omega\cos\lambda\int\limits_0^t y(t')\mathrm{d}t'[/latex]
[latex]y(t)=-2\omega\left [\cos\lambda\int\limits_0^t x(t')\mathrm{d}t'+\sin\lambda\int\limits_0^t z(t')\mathrm{d}t' \right ]-v_0t\cos\lambda[/latex]
[latex]z(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t\sin\alpha+2\omega\sin\lambda\int\limits_0^t y(t')\mathrm{d}t'[/latex]
dalje ne kuzim. u skripti pise da koristimo metodu sukcesivnih aproksimacija i da kao najjednostavnije rjesenje pretpostavimo [latex]x_0(t)=y_0(t)=z_0(t)=0[/latex] medjutim ja ne kuzim uopce gdje da taj rezultat upotrijebim u ovom kontekstu. ta rjesenja bi se trebala uvrstiti u gornje integralne jednadzbe da bi se dobili [latex]x_1(t),y_1(t),z_1(t)[/latex] ali gdje i kako?
PS. znam da je zadatak iz fizike, ali buduci da se radi o integralnim jednadzbama, mislim da bi mi i matematicari mogli pomoci vezano za ovaj zadatak. ak je nesto nejasno, budem objasnio.
nemam pojma gdje bi trebao ovaj zadatak zavrsiti, pa ga postam ovdje. ne znam na kojem se kolegiju rade integralne jednadzbe.
1. Tekst zadatka i sve poznate varijable
Cestica je ispaljena iz tocke na povrsini Zemlje sa zemljopisnom sirinom u smjeru zapada pod kutem prema horizontali. Ako pocetna brzina iznosi , izracunajte polozaj cestice nakon vremena t.
2. Bitnije jednadžbe
metoda sukcesivnih aproksimacija
3. Pokušaj rješenja
isao sam kao u skripti. uzeo sam kao pocetni uvjet i koordinatni sam sustav orjentirao tako da mi x-os gleda prema jugu (smjer sjever - jug), y-os prema istoku (smjer istok - zapad), a z-os vertikalno u zrak (okomita na x i y osi). vektor pocetne brzine iznosi:
u ovom slucaju, u smjeru x-osi nema komponente brzine. jednadzbe gibanja su:
nakon prvog integriranja po vremenu, dobijem iduci set jednadzbi:
nakon drugog integriranja, dobijem jednadzbe polozaja (integralne jednadzbe):
dalje ne kuzim. u skripti pise da koristimo metodu sukcesivnih aproksimacija i da kao najjednostavnije rjesenje pretpostavimo medjutim ja ne kuzim uopce gdje da taj rezultat upotrijebim u ovom kontekstu. ta rjesenja bi se trebala uvrstiti u gornje integralne jednadzbe da bi se dobili ali gdje i kako?
PS. znam da je zadatak iz fizike, ali buduci da se radi o integralnim jednadzbama, mislim da bi mi i matematicari mogli pomoci vezano za ovaj zadatak. ak je nesto nejasno, budem objasnio.
|
|
[Vrh] |
|
Mr.Doe Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57) Postovi: (21A)16
|
Postano: 19:28 uto, 23. 3. 2010 Naslov: Re: Metoda sukcesivnih aproksimacija |
|
|
[quote="HijenA"][latex]\dot{x}(t)=2\omega\cos\lambda\cdot y(t)[/latex]
[latex]\dot{y}(t)=-2[\omega\cos\lambda\cdot x(t)+\omega\sin\lambda\cdot z(t)]-v_0\cos\alpha[/latex]
[latex]\dot{z}(t)=-gt+v_0\sin\alpha+2\omega\sin\lambda\cdot y(t)[/latex]
...nakon drugog integriranja...
[/quote]
Nece to bas tako ici. Oznaci [latex]X(t)^{\tau}=[x(t),y(t),z(t)]^{\tau}[/latex], tvoj sustav prelazi u
[latex]\frac{d}{dt}X(t)=AX(t)+f(t)[/latex], gdje je A neka matrica (koju mi se neda napisati), a f vektor sa ostatkom (koji mi se takoder neda napisati). Ovo je onda "isto" kao da imas obicni odj, rjesenje je dano sa;
[latex]X(t)=\mathcal{L}(t)X(0)+(\mathcal{L}\ast f )(t)[/latex], gdje je [latex]\mathcal{L}(t)=\operatorname{exp}\{A(t-t_0)\}[/latex].
Poanta je naci priblizno rjesenje [i]Picardovim[/i] iteracijama. Wikipedija pomaze ako nisi cuo za to...
Edit: Naravno, ne ulazim u to, da li si uopce dobro postavio sustav, niti kakvu interpretaciju imaju dane dif. jednadzbe.
HijenA (napisa): |
...nakon drugog integriranja...
|
Nece to bas tako ici. Oznaci , tvoj sustav prelazi u
, gdje je A neka matrica (koju mi se neda napisati), a f vektor sa ostatkom (koji mi se takoder neda napisati). Ovo je onda "isto" kao da imas obicni odj, rjesenje je dano sa;
, gdje je .
Poanta je naci priblizno rjesenje Picardovim iteracijama. Wikipedija pomaze ako nisi cuo za to...
Edit: Naravno, ne ulazim u to, da li si uopce dobro postavio sustav, niti kakvu interpretaciju imaju dane dif. jednadzbe.
|
|
[Vrh] |
|
HijenA Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2004. (16:46:04) Postovi: (3D2)16
Spol:
Lokacija: Prazan skup ;-)
|
Postano: 23:13 uto, 23. 3. 2010 Naslov: Re: Metoda sukcesivnih aproksimacija |
|
|
[quote="Mr.Doe"][quote="HijenA"][latex]\dot{x}(t)=2\omega\cos\lambda\cdot y(t)[/latex]
[latex]\dot{y}(t)=-2[\omega\cos\lambda\cdot x(t)+\omega\sin\lambda\cdot z(t)]-v_0\cos\alpha[/latex]
[latex]\dot{z}(t)=-gt+v_0\sin\alpha+2\omega\sin\lambda\cdot y(t)[/latex]
...nakon drugog integriranja...
[/quote]
Nece to bas tako ici. Oznaci [latex]X(t)^{\tau}=[x(t),y(t),z(t)]^{\tau}[/latex], tvoj sustav prelazi u
[latex]\frac{d}{dt}X(t)=AX(t)+f(t)[/latex], gdje je A neka matrica (koju mi se neda napisati), a f vektor sa ostatkom (koji mi se takoder neda napisati). Ovo je onda "isto" kao da imas obicni odj, rjesenje je dano sa;
[latex]X(t)=\mathcal{L}(t)X(0)+(\mathcal{L}\ast f )(t)[/latex], gdje je [latex]\mathcal{L}(t)=\operatorname{exp}\{A(t-t_0)\}[/latex].
Poanta je naci priblizno rjesenje [i]Picardovim[/i] iteracijama. Wikipedija pomaze ako nisi cuo za to...
Edit: Naravno, ne ulazim u to, da li si uopce dobro postavio sustav, niti kakvu interpretaciju imaju dane dif. jednadzbe.[/quote]
sustav je dobro postavljen (jedino tako je logicno postaviti sustav), a velim radio sam po skripti. takodjer je zadatak do ovog dijela istovjetan rjesavanju u skripti, nije da sam nesto novo uvodio. kolega sa fizike (na raspravama, http://rasprave.fizika.org/viewtopic.php?p=62140#p62140 ) mi je jednostavno rekao da se ovo pretpostavljeno rjesenje ubaci umjesto gornjeg integrala, i da se onda rjesenje koje se dobije ponovo ubaci umjesto integrala i integrira.
sto se tice Picardovih iteracija, trazio sam na wikipediji "Method of successive approximations" ali nisam nista pametno nasao. tak da, nije da nisam trazio. takodjer ne razumijem zasto dobijes ovo:
[latex]\frac{d}{dt}X(t)=AX(t)+f(t)[/latex]
ovo nisu neodredjeni integrali, njihove granice su od pocetnog vremena 0 do nekog vremena t. ovo tvoje bi bilo ako bi to bili neki opceniti integrali. medjutim, kod integracije jednadzbi gibanja, sasvim je u redu napisati ovo sto sam ja napisao: druga derivacija polozaja oznacava akceleraciju, a njezin integral daje brzinu cestice. ponovnom integracijom dolazim do ovisnosti polozaja o vremenu.
Mr.Doe (napisa): | HijenA (napisa): |
...nakon drugog integriranja...
|
Nece to bas tako ici. Oznaci , tvoj sustav prelazi u
, gdje je A neka matrica (koju mi se neda napisati), a f vektor sa ostatkom (koji mi se takoder neda napisati). Ovo je onda "isto" kao da imas obicni odj, rjesenje je dano sa;
, gdje je .
Poanta je naci priblizno rjesenje Picardovim iteracijama. Wikipedija pomaze ako nisi cuo za to...
Edit: Naravno, ne ulazim u to, da li si uopce dobro postavio sustav, niti kakvu interpretaciju imaju dane dif. jednadzbe. |
sustav je dobro postavljen (jedino tako je logicno postaviti sustav), a velim radio sam po skripti. takodjer je zadatak do ovog dijela istovjetan rjesavanju u skripti, nije da sam nesto novo uvodio. kolega sa fizike (na raspravama, http://rasprave.fizika.org/viewtopic.php?p=62140#p62140 ) mi je jednostavno rekao da se ovo pretpostavljeno rjesenje ubaci umjesto gornjeg integrala, i da se onda rjesenje koje se dobije ponovo ubaci umjesto integrala i integrira.
sto se tice Picardovih iteracija, trazio sam na wikipediji "Method of successive approximations" ali nisam nista pametno nasao. tak da, nije da nisam trazio. takodjer ne razumijem zasto dobijes ovo:
ovo nisu neodredjeni integrali, njihove granice su od pocetnog vremena 0 do nekog vremena t. ovo tvoje bi bilo ako bi to bili neki opceniti integrali. medjutim, kod integracije jednadzbi gibanja, sasvim je u redu napisati ovo sto sam ja napisao: druga derivacija polozaja oznacava akceleraciju, a njezin integral daje brzinu cestice. ponovnom integracijom dolazim do ovisnosti polozaja o vremenu.
|
|
[Vrh] |
|
Mr.Doe Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57) Postovi: (21A)16
|
Postano: 16:04 sri, 24. 3. 2010 Naslov: |
|
|
Dakle, ono sto je kolega napisao na forumu od fizike su upravo Picardove iteracije, a da pogledas sta je to formalno, upisi u browser: Picard iteration wiki, i prvi hit ce te baciti na pravu stranicu na wikipediji 8) .
Ono sto sam ja napisao je [b]egzaktno rjesenje[/b] danog sustava. Dakle, zapisimo tvoj sustav;
[latex]\dot{x}(t)=2\omega\cos\lambda\cdot y(t)\newline
\dot{y}(t)=-2[\omega\cos\lambda\cdot x(t)+\omega\sin\lambda\cdot z(t)]-v_0\cos\alpha\newline
\dot{z}(t)=-gt+v_0\sin\alpha+2\omega\sin\lambda\cdot y(t)[/latex],
koristeci moje oznake, dobijemo;
[latex]
\frac{d}{dx}X(t)=\begin{bmatrix}0 & 2\omega \cos{\lambda} & 0 \\ -2\omega \cos{\lambda} & 0 & -2\omega\sin{\lambda} \\ 0 & 2\omega\sin{\lambda} & 0 \end{bmatrix}X(t) + \begin{bmatrix}0 \\ -v_0\cos{\alpha} \\ -gt+v_0\sin{\alpha}\end{bmatrix}[/latex].
Sada treba uociti da je [latex]A^{\tau}=-A[/latex], stoga je [latex]A^{\tau}A=AA^{\tau}[/latex], odnosno operator cija je matricna reprezentacija dana sa A je dijagonalizibilan, dakle postoji M unitarna matrica i D dijagonalna sa svojstvenim vrijednostima od A na dijagonali, t.d. [latex]A=MDM^{\tau}[/latex], stoga ce onaj eksponencijalni dio biti jedank [latex]\exp\{A(t-t_0)\}=M\exp\{D(t-t_0)\}M^{\tau}=M\operatorname{diag}\{e^{\lambda_1}(t-t_0),e^{\lambda_2}(t-t_0),e^{\lambda_3}(t-t_0)\}M^{\tau}[/latex].
Dakle, prvi dio sume si rijesio, drugi dio je konvolucija, ponovno napravis spomenutu dekompoziciju da bi dobio eksponencijalni dio, pomnozis to sa vektorom [latex]f[/latex], i integriras.
Svjestan sam cinjenice da su u fizici dovoljne razne aproksimacije, no mislio sam da ces (kao bivsi matematicar ?) vise cijeniti egzaktno rijesenje, a ovaj put rijesenje doista nije tesko dobiti.
Dakle, ono sto je kolega napisao na forumu od fizike su upravo Picardove iteracije, a da pogledas sta je to formalno, upisi u browser: Picard iteration wiki, i prvi hit ce te baciti na pravu stranicu na wikipediji .
Ono sto sam ja napisao je egzaktno rjesenje danog sustava. Dakle, zapisimo tvoj sustav;
,
koristeci moje oznake, dobijemo;
.
Sada treba uociti da je , stoga je , odnosno operator cija je matricna reprezentacija dana sa A je dijagonalizibilan, dakle postoji M unitarna matrica i D dijagonalna sa svojstvenim vrijednostima od A na dijagonali, t.d. , stoga ce onaj eksponencijalni dio biti jedank .
Dakle, prvi dio sume si rijesio, drugi dio je konvolucija, ponovno napravis spomenutu dekompoziciju da bi dobio eksponencijalni dio, pomnozis to sa vektorom , i integriras.
Svjestan sam cinjenice da su u fizici dovoljne razne aproksimacije, no mislio sam da ces (kao bivsi matematicar ?) vise cijeniti egzaktno rijesenje, a ovaj put rijesenje doista nije tesko dobiti.
|
|
[Vrh] |
|
|