Zadnji zadatak prošlogodišnjeg prvog kolokvija :) (zadatak)

[Zenon]

Pozdrav svima!
Ne znam riješiti ovaj zadatak, pa bih volio pomoć

Neka je [tex]f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R[/tex] funkcija definirana formulom
[tex]f(x):=arcctg (x-1)+arctg(x)[/tex].
Odredite najveći otvoreni interval [tex]I[/tex] koji sadrži točku -1 i na kojem je restrikcija funkcije na I injekcija.

Unaprijed hvala!

[Phoenix]

Jedan hint je kolega već dao u drugom topicu: [tex]arctg(x)+arcctg(x)=\frac{\pi}{2}[/tex]. (Zapravo, možda i ne treba u zadatku, ali može poslužiti.)
Drugi koristan hint jest adicijska formula za tangens.
U konačnici, mislim da dobiješ da je [tex]f(x)=-arctg(x^2-x+1)[/tex].
Sada je nešto jednostavnije odrediti sliku, a samim time i rješenje zadatka.

S obzirom da je ovo sve preko hintova, ako zapneš, obrati se za pomoć pa mogu prezentirati i cijelo rješenje. Nadam se samo da sam i ovo dobro napisao.

[jema]

rjesenje tog zadatka ti je od -besk. do -0.5 a jel zna neko rjesenje za 4.b) al od onog drugog kolokvija od prosle god. ( f(x)=arctg(x+1)+arctg(x) ) .... ja sam dobila da je slika od 0 do arctg(4/3).

[Zenon]

Dobio sam da je [tex]f(x)=\frac{\pi}{2}+arctg\left(\frac{1}{x^2-x+1}\right)[/tex].

[anamarie]

[Zenon]

[dtex]f(x)=arcctg (x-1)+arctg(x)=\frac{\pi}{2}-arctg(x-1)+arctg(x)[/dtex]

[dtex]tg\left(arctg(x)-arctg(x-1)\right)=\frac{tg\left(arctg(x)\right)-tg\left(arctg(x-1)\right)}{1+tg\left(arctg(x)\right)\cdot tg\left(arctg(x-1)\right)}=\frac{x-(x-1)}{1+x(x-1)}=\frac{1}{x^2-x+1}[/dtex]

Negdje sam očito fulao kad dobivam parabolu u nazivniku koja je strogo veća od nule

[anamarie]

[Zenon]

Isto sam probao prego ctg ali dobijem opet istu parabolu, a trebam dobiti kao ti. I to mi nije jasno. >.>
Gdje mi staln0 fali taj minus koji mora pomnožiti moju parabolu da bude ispravna?

Added after 45 minutes:

[dtex]f(x)=arcctg (x-1)+arctg(x)=arcctg(x-1)+\frac{\pi}{2}-arcctg(x)[/dtex]

[dtex]ctg\left(arcctg(x-1)-arcctg(x)\right)=\frac{ctg\left(arcctg(x-1)\right)\cdot ctg\left(arcctg(x)\right)+1}{ctg\left(arcctg(x)\right)-ctg\left(arcctg(x-1)\right)}=\frac{(x-1)\cdot x+1}{x-(x-1)}=\frac{x^2-x+1}{1}=x^2-x+1[/dtex]

[Phoenix]

[Zenon]

Ali ne, tu nisam raspisao funkciju nego samo adicijsku za tangens.
Tako da nisam zaboravio pi pol.

A ako stavim cijelu funkciju pod tangens neću li zbog pi pol negdje dobiti opet arcctg?
Možeš li mi molim te koračno srediti funkciju?

[Phoenix]

Svejedno je. [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] grupiraš s jednim od ona dva i onda radiš adicijsku za tangens.
Što se mene tiče, ja ne bih ni koristio to s [tex]\frac{\pi}{2}[/tex], nego bih odmah stavio pod tangensom i iskoristio da je [tex]tg(arcctg(x))=\frac{1}{ctg(arcctg(x))}=\frac{1}{x}[/tex] i tako riješio zadatak. Ali sve ovisi o ukusima.

[Zenon]

Na taj način, kako si rekao da bi ti napravio, tako dobijem dobro.
Dobijem [tex]-x^2+x-1[/tex].
Tj. [tex]arctg(-x^2+x-1)[/tex].
Eto hvala ti puno, opet

I sada naravno dobijem i [tex]\left←\infty,\frac12\right>[/tex]

[hstojanovic]

Ako se ne varam, Zenone, tvoje prvo rješenje je bilo točno, a ovo drugo je pogrešno. Zato što uvijek vrijedi [tex]tg(arctg(x))=x[/tex], ali [tex]arctg(tg(x))=x[/tex] ne vrijedi uvijek nego samo za [tex]x \in \left<\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right>[/tex].

A kako je [tex]f(x) \in \left<0,\pi\right>[/tex] onda ne vrijedi [tex]arctg(tg(f(x))=f(x)[/tex] pa zato ovo zadnje nije dobar postupak niti dobro rješenje.

Možeš koristiti [tex]ctg[/tex] pa [tex]arcctg[/tex] direktno na f(x) nakon što dokažeš da je u potrebnom intervalu tj. [tex]\left<0,\pi\right>[/tex] gdje ćeš imati problem s [tex]x=0[/tex] ali taj slučaj promotriš zasebno i pokažeš da zadovoljava konačno formulu dobivenu za [tex]x \neq 0[/tex].

Ono što si prvo napisao je točno, osim što moraš pokazat da ti je ono unutar [tex]arctg(tg())[/tex] iz intervala [tex]\left<\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right>[/tex].

[Zenon]

[jema]

a sto ide taj pi/2 + arctg(4/3)?? zbog toga jer je f(x)=g(x)+pi/2 , gdje je g(x)=arctg(x+1)-arctg(x) ili??