Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Zadatak s danjasnjeg kolokvija (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Flame
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 08. 2009. (02:14:39)
Postovi: (53)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
19 = 23 - 4

PostPostano: 18:46 pon, 2. 11. 2009    Naslov: Zadatak s danjasnjeg kolokvija Citirajte i odgovorite

Zna li tko rjesenje 4.b zadatka s danasnjeg kolokvija iz ma1? Zadatak glasi:

Postoji li padajuca bijekcija [latex]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/latex] takva da [latex]\forall x\in \mathbb{R}[/latex] vrijedi:

[latex]f^{-1}(x^3)\leq f(f(x)^2+f(x))[/latex]

Ako postoji, pronadjite sve takve funkcije.

Unaprijed hvala na odgovoru.
Zna li tko rjesenje 4.b zadatka s danasnjeg kolokvija iz ma1? Zadatak glasi:

Postoji li padajuca bijekcija takva da vrijedi:



Ako postoji, pronadjite sve takve funkcije.

Unaprijed hvala na odgovoru.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku MSNM
pbakic
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30)
Postovi: (143)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
83 = 86 - 3

PostPostano: 19:52 pon, 2. 11. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

pretpostavimo da f postoji:

tada mora vrijediti [latex]f^{-1}(x^3) \leq f(f(x)^2 + f(x))[/latex]

djelujes opet s [latex]f^-1[/latex] (kako je ona padajuca, mijenja se predznak):

[latex]((f^{-1})^{-1})(x^3) \geq f(x)^2 + f(x)[/latex]

sad gledamo desnu stranu: za svaki f(x), mora vrijediti
[latex]f(x)^{2} + f(x) \geq -1/4[/latex] za svaki x (*)
(zato jer je -1/4 y koordinata tjemena kvadratne funkcije x^2 +x)

Time smo dobili da je desna strana veca od -1/4, promotrimo sada lijevu:
x^3 je surjekcija, i [latex]f^{-1}[/latex] je surjekcija (ocito, jer [latex]f^{-1}[/latex] mora biti bijekcija)
dakle na lijevoj strani imas kompoziciju 3 surjekcije, sto je opet surjekcija.

[latex]((f^{-1})^{-1})(x^3)[/latex] je surjekcija na R, pa ce sigurno postojati x takav da je
[latex]((f^{-1})^{-1})(x^3)[/latex] < -1/4, a to je kontradikcija sa (*), to jest cinjenicom da mora biti [latex]((f^{-1})^{-1})(x^3) \geq f(x)^2 + f(x) \geq -1/4[/latex]
pa takva funkcija ne postoji
pretpostavimo da f postoji:

tada mora vrijediti

djelujes opet s (kako je ona padajuca, mijenja se predznak):



sad gledamo desnu stranu: za svaki f(x), mora vrijediti
za svaki x (*)
(zato jer je -1/4 y koordinata tjemena kvadratne funkcije x^2 +x)

Time smo dobili da je desna strana veca od -1/4, promotrimo sada lijevu:
x^3 je surjekcija, i je surjekcija (ocito, jer mora biti bijekcija)
dakle na lijevoj strani imas kompoziciju 3 surjekcije, sto je opet surjekcija.

je surjekcija na R, pa ce sigurno postojati x takav da je
< -1/4, a to je kontradikcija sa (*), to jest cinjenicom da mora biti
pa takva funkcija ne postoji


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Flame
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 08. 2009. (02:14:39)
Postovi: (53)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
19 = 23 - 4

PostPostano: 19:58 pon, 2. 11. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Jao, nemogu vjerovati da se nisam uopce sjetio traziti ekstrem :)
Nice.
Jao, nemogu vjerovati da se nisam uopce sjetio traziti ekstrem Smile
Nice.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku MSNM
pajopatak
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 25. 10. 2009. (22:20:04)
Postovi: (BE)16
Sarma = la pohva - posuda
= 3 - 0

PostPostano: 20:12 pon, 2. 11. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Dali zna tko kad su rezultati?
Dali zna tko kad su rezultati?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Flame
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 08. 2009. (02:14:39)
Postovi: (53)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
19 = 23 - 4

PostPostano: 20:15 pon, 2. 11. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Nesto sam nacuo da nece ovaj tjedan, ali nemoj me drzati za rijec.
Nesto sam nacuo da nece ovaj tjedan, ali nemoj me drzati za rijec.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku MSNM
tmarusca
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 28. 06. 2009. (20:53:52)
Postovi: (59)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
= 6 - 3
Lokacija: 1/039

PostPostano: 20:40 pon, 2. 11. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

a moze rjesenje zadatka iz druge grupe?
Postoji li padajuca [latex]f:R{\rightarrow}R[/latex] takva da za [latex]{\forall}x{\in}R[/latex] vrijedi

[latex]f(f(x))-f(x^3)=2^{f(x)}[/latex]

Ako postoji, pronadite takve funkcije.

ugl ja sam htio dokazati da ne postoji i jako jako sam se trudio ali nikako mi nije islo, pa sam zakljucio da je to zato sto postoji takva funkcija. ali nisam ju uspio pronaci. jesam pogodio? hocu dobiti koji bod iz samilosti za tako nesto? :/

thx
a moze rjesenje zadatka iz druge grupe?
Postoji li padajuca takva da za vrijedi



Ako postoji, pronadite takve funkcije.

ugl ja sam htio dokazati da ne postoji i jako jako sam se trudio ali nikako mi nije islo, pa sam zakljucio da je to zato sto postoji takva funkcija. ali nisam ju uspio pronaci. jesam pogodio? hocu dobiti koji bod iz samilosti za tako nesto? Ehm?

thx



_________________
...to kaj ona ima kilu viska, ja ne marim...
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Flame
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 08. 2009. (02:14:39)
Postovi: (53)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
19 = 23 - 4

PostPostano: 21:15 pon, 2. 11. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Pretpostavimo da postoji takva funkcija. Tada je [latex]f\circ f[/latex] rastuca kao kompozicija dviju padajucih f-ja. [latex]-f(x^3)[/latex] mozemo napisati kao kompoziciju [latex]g_1\circ f\circ g_2[/latex] pri cemu je [latex]g_1(x)=-x, g_2(x)=x^3[/latex], pa je [latex]g_1\circ f\circ g_2[/latex] strogo rastuca kao kompozicija strogo padajuce, padajuce i strogo rastuce f-je. Neka je [latex]h(x)=(f\circ f)(x)+(g_1\circ f\circ g_2)(x)[/latex]. [latex]h[/latex] je ocito strogo rastuca f-ja. S desne strane imamo funkciju [latex]2^f[/latex] koja je strogo padajuca kao kompozicija strogo rastuce i padajuce funkcije. Kako s lijeve strane jednakosti dobivamo strogo rastucu, a s desne strogo padajucu funkciju, dolazimo do kontradikcije. Dakle, ne postoji takav [latex]f[/latex].
Pretpostavimo da postoji takva funkcija. Tada je rastuca kao kompozicija dviju padajucih f-ja. mozemo napisati kao kompoziciju pri cemu je , pa je strogo rastuca kao kompozicija strogo padajuce, padajuce i strogo rastuce f-je. Neka je . je ocito strogo rastuca f-ja. S desne strane imamo funkciju koja je strogo padajuca kao kompozicija strogo rastuce i padajuce funkcije. Kako s lijeve strane jednakosti dobivamo strogo rastucu, a s desne strogo padajucu funkciju, dolazimo do kontradikcije. Dakle, ne postoji takav .


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku MSNM
pbakic
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30)
Postovi: (143)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
83 = 86 - 3

PostPostano: 21:42 pon, 2. 11. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

bilo bi lijepo da je tak, al nazalost, nitko ne kaze nadji f [b]strogo[/b] padajucu. Takodjer (opcenito), kompozicija [latex]f \circ g [/latex] gdje je f strogo rastuca a g samo rastuca ne mora bit [b]strogo[/b] rastuca (dakle dalje u zadatku ne mozes nista [b]strogo[/b] govorit o ovim kompozicijama)
@flame, ja sam isao rjesavat isto kao ti, ali kad dobijes
rastuca = padajuca, ne mozes rec da je to kontradikcija, jer moze biti

rastuca = padajuca ako je to konstanta (koja je istovremeno rastuca i padajuca, ocito)... kad se to dobije, zadatak se pocne jako komplicirat, i uopce nisam siguran da su ga zadali kako su htjeli...

ak tako krenes rjesavat, dobijes f(f(x)) = c za svaki x (c je konstanta)
takodjer, mora bit [latex]f(x^{3}) + 2^{f(x)} = c [/latex]
Preglednosti radi, napravimo supstituciju, [latex]t=x^{3}.[/latex]
Sad imamo: [latex]f(t) + 2^{f(\sqrt[3]{t})} =c[/latex]
ili bolje: [latex]f(t) = c - 2^{f(\sqrt[3]{t})}[/latex].
Uocimo, f je padajuca, treci korijen rastuca, pa je [latex]c - 2^{f(\sqrt[3]{t})}[/latex] rastuca (*)

* vrijedi jer je 3. korijen rastuca, f(treci korijen) onda ocito padajuca, 2 na to cudo takodjer padajuca, i to sve sa minus predznakom rastuca.

s tim opet imamo jednakost padajuce [latex](f(t))[/latex] i rastuce [latex]c - 2^{f(\sqrt[3]{t})}[/latex], istom argumentacijom dobivamo da su obje strane konstante => f(t) je konstanta, a posto t=x^3 prolazi kroz cijeli R,
mora biti f(x) je konstanta.

Dalje je lagano, jer imas iz pocetnog uvjeta:
[latex]c - c = 2^{c} => 0= 2^c[/latex] , sto je ocita kontradikcija

Naravno, ovaj zadnji korak (poslije *) je naknadna pamet, o tom nisam bas stigo razmislit tak posteno unutar onog vremena na kolokvij...
bilo bi lijepo da je tak, al nazalost, nitko ne kaze nadji f strogo padajucu. Takodjer (opcenito), kompozicija gdje je f strogo rastuca a g samo rastuca ne mora bit strogo rastuca (dakle dalje u zadatku ne mozes nista strogo govorit o ovim kompozicijama)
@flame, ja sam isao rjesavat isto kao ti, ali kad dobijes
rastuca = padajuca, ne mozes rec da je to kontradikcija, jer moze biti

rastuca = padajuca ako je to konstanta (koja je istovremeno rastuca i padajuca, ocito)... kad se to dobije, zadatak se pocne jako komplicirat, i uopce nisam siguran da su ga zadali kako su htjeli...

ak tako krenes rjesavat, dobijes f(f(x)) = c za svaki x (c je konstanta)
takodjer, mora bit
Preglednosti radi, napravimo supstituciju,
Sad imamo:
ili bolje: .
Uocimo, f je padajuca, treci korijen rastuca, pa je rastuca (*)

* vrijedi jer je 3. korijen rastuca, f(treci korijen) onda ocito padajuca, 2 na to cudo takodjer padajuca, i to sve sa minus predznakom rastuca.

s tim opet imamo jednakost padajuce i rastuce , istom argumentacijom dobivamo da su obje strane konstante ⇒ f(t) je konstanta, a posto t=x^3 prolazi kroz cijeli R,
mora biti f(x) je konstanta.

Dalje je lagano, jer imas iz pocetnog uvjeta:
, sto je ocita kontradikcija

Naravno, ovaj zadnji korak (poslije *) je naknadna pamet, o tom nisam bas stigo razmislit tak posteno unutar onog vremena na kolokvij...


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Flame
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 08. 2009. (02:14:39)
Postovi: (53)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
19 = 23 - 4

PostPostano: 23:51 pon, 2. 11. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Je, upravu si, nisam dobro promislio o tome.
Sve u svemu, htjeli su nam malo zapapriti ove godine :)
teorijski zadaci su dosta laksi u starim kolokvijima.
Je, upravu si, nisam dobro promislio o tome.
Sve u svemu, htjeli su nam malo zapapriti ove godine Smile
teorijski zadaci su dosta laksi u starim kolokvijima.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku MSNM
pbakic
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30)
Postovi: (143)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
83 = 86 - 3

PostPostano: 0:10 uto, 3. 11. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

imas pravo, i meni se cini... doduse, mozda smo subjektivni malo :D
imas pravo, i meni se cini... doduse, mozda smo subjektivni malo Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
tmarusca
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 28. 06. 2009. (20:53:52)
Postovi: (59)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
= 6 - 3
Lokacija: 1/039

PostPostano: 13:42 uto, 3. 11. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

zasto se nitko od sluzbenih ljudi ne javi i kaze je li greska ili nije greska? :/

ali jesu tezi su od starijih, u starijima su se mogli rijesiti u par redova i bez ovoliko maste i kompliciranja... imho
zasto se nitko od sluzbenih ljudi ne javi i kaze je li greska ili nije greska? Ehm?

ali jesu tezi su od starijih, u starijima su se mogli rijesiti u par redova i bez ovoliko maste i kompliciranja... imho



_________________
...to kaj ona ima kilu viska, ja ne marim...
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Swerz
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 02. 2009. (21:30:28)
Postovi: (182)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
15 = 33 - 18

PostPostano: 20:49 uto, 3. 11. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote]teorijski zadaci su dosta laksi u starim kolokvijima.[/quote]

To sam i ja rekao prosle godine i kazem ponovo ove godine :chickdance:
Dam se kladit da ce netko to reci i sl. godine.
Citat:
teorijski zadaci su dosta laksi u starim kolokvijima.


To sam i ja rekao prosle godine i kazem ponovo ove godine Picek pleshe
Dam se kladit da ce netko to reci i sl. godine.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3562)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init

PostPostano: 22:32 čet, 5. 11. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite

Umoljen sam prenijeti sljedece rjesenje:

Postoji li padajuca funkcija [latex]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/latex] takva da vrijedi
[latex]f(f(x))-f(x^3)=2^{f(x)}[/latex], za sve [latex]x \in \mathbb{R}[/latex]?

Pretpostavimo da takva [latex]f[/latex] postoji. Tada je [latex]f(f(x))-2^{f(x)}=f(x^3)[/latex], za sve [latex]x \in \mathbb{R}[/latex].
Definirajmo funkcije [latex]g,h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/latex] s
[latex]g(x):=f(f(x))-2^{f(x)}[/latex] i
[latex]h(x):=f(x^3)[/latex].
Tada je [latex]g[/latex] rastuca, a [latex]h[/latex] padajuca, pa je nuzno
[latex]g=h[/latex] konstantna funkcija.
Dakle, postoji [latex]c \in \mathbb{R}[/latex] takav da je [latex]h(x)=f(x^3)=c[/latex], za sve [latex]x \in \mathbb{R}[/latex]. No, tada je i [latex]f(x)=c[/latex], za sve [latex]x \in \mathbb{R}[/latex]. Ako to uvrstimo u pocetnu funkcijsku jednadzbu, dobivamo
[latex]0=c-c=2^{c}[/latex]; kontradikcija.
Umoljen sam prenijeti sljedece rjesenje:

Postoji li padajuca funkcija takva da vrijedi
, za sve ?

Pretpostavimo da takva postoji. Tada je , za sve .
Definirajmo funkcije s
i
.
Tada je rastuca, a padajuca, pa je nuzno
konstantna funkcija.
Dakle, postoji takav da je , za sve . No, tada je i , za sve . Ako to uvrstimo u pocetnu funkcijsku jednadzbu, dobivamo
; kontradikcija.



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.
Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
medonja
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 20. 10. 2009. (17:01:04)
Postovi: (45)16
Sarma = la pohva - posuda
= 2 - 1

PostPostano: 16:16 sub, 23. 10. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="pbakic"]pretpostavimo da f postoji:

tada mora vrijediti [latex]f^{-1}(x^3) \leq f(f(x)^2 + f(x))[/latex]

djelujes opet s [latex]f^-1[/latex] (kako je ona padajuca, mijenja se predznak):

[latex]((f^{-1})^{-1})(x^3) \geq f(x)^2 + f(x)[/latex]

sad gledamo desnu stranu: za svaki f(x), mora vrijediti
[latex]f(x)^{2} + f(x) \geq -1/4[/latex] za svaki x (*)
(zato jer je -1/4 y koordinata tjemena kvadratne funkcije x^2 +x)

Time smo dobili da je desna strana veca od -1/4, promotrimo sada lijevu:
[color=red]x^3 je surjekcija, i [latex]f^{-1}[/latex] je surjekcija (ocito, jer [latex]f^{-1}[/latex] mora biti bijekcija)
dakle na lijevoj strani imas kompoziciju 3 surjekcije, sto je opet surjekcija.

[latex]((f^{-1})^{-1})(x^3)[/latex] je surjekcija na R, pa ce sigurno postojati x takav da je
[latex]((f^{-1})^{-1})(x^3)[/latex] < -1/4,[/color] a to je kontradikcija sa (*), to jest cinjenicom da mora biti [latex]((f^{-1})^{-1})(x^3) \geq f(x)^2 + f(x) \geq -1/4[/latex]
pa takva funkcija ne postoji[/quote]

Oke, sad meni stvarno nije jasno kako smo dobili ovaj dio da [color=red]postoji x t.d. je [/color][latex]((f^{-1}(x^3)<(-1/4)[/latex]. Kakooo?
pbakic (napisa):
pretpostavimo da f postoji:

tada mora vrijediti

djelujes opet s (kako je ona padajuca, mijenja se predznak):



sad gledamo desnu stranu: za svaki f(x), mora vrijediti
za svaki x (*)
(zato jer je -1/4 y koordinata tjemena kvadratne funkcije x^2 +x)

Time smo dobili da je desna strana veca od -1/4, promotrimo sada lijevu:
x^3 je surjekcija, i je surjekcija (ocito, jer mora biti bijekcija)
dakle na lijevoj strani imas kompoziciju 3 surjekcije, sto je opet surjekcija.

je surjekcija na R, pa ce sigurno postojati x takav da je
< -1/4,
a to je kontradikcija sa (*), to jest cinjenicom da mora biti
pa takva funkcija ne postoji


Oke, sad meni stvarno nije jasno kako smo dobili ovaj dio da postoji x t.d. je . Kakooo?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
pbakic
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30)
Postovi: (143)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
83 = 86 - 3

PostPostano: 16:36 sub, 23. 10. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

Jel kuzis zasto je f^-1 surjekcija?

Ako da, onda ovo dalje stvarno ide iz definicije surjektivnosti:
znas da postoji a iz R takav da je f^-1(a) = -100 (na primjer)
za taj a postoji b iz R takav da je (f^-1)(b) = a (opet, jer je f^-1 surjekcija)
za taj b postoji c iz R takav da je c^3=b (ovo zato sto je x^3 surjekcija)

Sad smo dobili f^-1(f^-1(c^3))= - 100, a to ocito nije vece od -1/4 :)
Jel kuzis zasto je f^-1 surjekcija?

Ako da, onda ovo dalje stvarno ide iz definicije surjektivnosti:
znas da postoji a iz R takav da je f^-1(a) = -100 (na primjer)
za taj a postoji b iz R takav da je (f^-1)(b) = a (opet, jer je f^-1 surjekcija)
za taj b postoji c iz R takav da je c^3=b (ovo zato sto je x^3 surjekcija)

Sad smo dobili f^-1(f^-1(c^3))= - 100, a to ocito nije vece od -1/4 Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
medonja
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 20. 10. 2009. (17:01:04)
Postovi: (45)16
Sarma = la pohva - posuda
= 2 - 1

PostPostano: 16:42 sub, 23. 10. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

Da, kuzim zakaj je surjekcija... sad sam kolko tolko skuzila i ostatak, zahvaljujem :)
Da, kuzim zakaj je surjekcija... sad sam kolko tolko skuzila i ostatak, zahvaljujem Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan