Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

zadatak - nadite povrsinu omedenu elipsom (zadatak)

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Ostalo - ozbiljno -> Čistilište
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Ante_Balota
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 16. 07. 2011. (18:53:05)
Postovi: (2)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 19:11 sub, 16. 7. 2011    Naslov: zadatak - nadite povrsinu omedenu elipsom Citirajte i odgovorite

pozdrav!

Ovo mi je jedna od zadnjih solucija, ispalija san, nemoguce da nitko nezna rjesit ovaj glupi zadatak.Proba san kod 5 pmf-ovaca...

Ako ko ima volje i zna, bija bi mu vjecno zahvalan, ako ne, samo me ignorirajte. Hvala

Nadite povrsinu omedenu elipsom
(x-5y+3)^2+(3x+4y-1)^2=100

ovako mi je receno da se triba rjesit:
"uvođenjem u i v, dobijem da je u^2+v^2=100 i iz toga da je a^2*b^2=100, korjenujemo i dobijemo da je a*b=10, tj. P=10*pi."

ps.pardon ako san falija podforum :S
pozdrav!

Ovo mi je jedna od zadnjih solucija, ispalija san, nemoguce da nitko nezna rjesit ovaj glupi zadatak.Proba san kod 5 pmf-ovaca...

Ako ko ima volje i zna, bija bi mu vjecno zahvalan, ako ne, samo me ignorirajte. Hvala

Nadite povrsinu omedenu elipsom
(x-5y+3)^2+(3x+4y-1)^2=100

ovako mi je receno da se triba rjesit:
"uvođenjem u i v, dobijem da je u^2+v^2=100 i iz toga da je a^2*b^2=100, korjenujemo i dobijemo da je a*b=10, tj. P=10*pi."

ps.pardon ako san falija podforum :S


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31

PostPostano: 1:24 ned, 17. 7. 2011    Naslov: Re: zadatak - nadite povrsinu omedenu elipsom Citirajte i odgovorite

[quote="Ante_Balota"]ovako mi je receno da se triba rjesit:
"uvođenjem u i v, dobijem da je u^2+v^2=100 i iz toga da je a^2*b^2=100, korjenujemo i dobijemo da je a*b=10, tj. P=10*pi."[/quote]
Prateći ovu logiku ispalo bi da svaka elipsa oblika [latex]w(x,y)^2+z(x,y)^2=100[/latex] ima površinu [latex]10\pi[/latex] što nije istina.

Svaka elipsa oblika [latex]ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2fy+g=0[/latex] može se rotacijom koordinatnog sustava natjerati do oblika koji ne sadrži nelinearan član xy.

Općenito, neka je [latex]b\neq 0[/latex] i neka je [latex]\theta[/latex] kut rotacije koordinatnog sustava. Nove koordinate za x i y biti će:

[latex]x'= x \cos \theta - y \sin \theta,\\
y' = x \sin \theta + y \cos \theta.
[/latex]

Nakon što x' i y' uvrstimo u opću jednadžbu krivulje 2. reda, dobivamo da član uz xy je jednak [latex]2b\cos 2\theta+(c-a)\sin 2\theta[/latex]. Želimo ukloniti xy pa iz toga slijedi da mora biti

[latex]\displaystyle\theta = \frac{1}{2}arccot\frac{a-c}{2b}[/latex],

uz pretpostavku a<c (ako je a>c onda treba dodati još [latex]\frac{\pi}{2}[/latex]). U ovom slučaju, [latex]\theta = -\frac{1}{2}arccot\frac{31}{14}[/latex].

Sada u (x-5y+3)^2+(3x+4y-1)^2=100 umjesto x uvrštavamo [latex]x\cos \theta - y\sin \theta[/latex], a umjesto y uvrštavamo [latex]x\sin \theta + y\cos \theta[/latex]. Nakon nešto sređivanja, elipsa zarotirana za kut [latex]\theta[/latex] imati će jednadžbu

[latex]\left( 51-\sqrt{1157} \right)\left(x-\frac{38 \sin\theta}{51-\sqrt{1157}}\right)^2+
\left( 51+\sqrt{1157} \right)\left(y-\frac{38 \cos\theta}{51+\sqrt{1157}}\right)^2
=200[/latex]

iz čega slijedi da je [latex](ab)^2=\frac{200^2}{1444}[/latex] pa je [latex]ab=\frac{100}{19}[/latex], odnosno, površina je [latex]\frac{100\pi}{19}[/latex]. Jer rotacija čuva površinu, tada je površina elipse s početka zadatka također jednaka [latex]\frac{100\pi}{19}[/latex].


To je bio nešto teži način. Lakši način bi bio upisati u google ellipse, otići na [url=http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html]Wolframovu stranicu o elipsi[/url], pročitati jednadžbe za duljine poluosi (jednadžbe 21 i 22 u http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html) i od tamo izračunati površinu.
Ante_Balota (napisa):
ovako mi je receno da se triba rjesit:
"uvođenjem u i v, dobijem da je u^2+v^2=100 i iz toga da je a^2*b^2=100, korjenujemo i dobijemo da je a*b=10, tj. P=10*pi."

Prateći ovu logiku ispalo bi da svaka elipsa oblika ima površinu što nije istina.

Svaka elipsa oblika može se rotacijom koordinatnog sustava natjerati do oblika koji ne sadrži nelinearan član xy.

Općenito, neka je i neka je kut rotacije koordinatnog sustava. Nove koordinate za x i y biti će:



Nakon što x' i y' uvrstimo u opću jednadžbu krivulje 2. reda, dobivamo da član uz xy je jednak . Želimo ukloniti xy pa iz toga slijedi da mora biti

,

uz pretpostavku a<c (ako je a>c onda treba dodati još ). U ovom slučaju, .

Sada u (x-5y+3)^2+(3x+4y-1)^2=100 umjesto x uvrštavamo , a umjesto y uvrštavamo . Nakon nešto sređivanja, elipsa zarotirana za kut imati će jednadžbu



iz čega slijedi da je pa je , odnosno, površina je . Jer rotacija čuva površinu, tada je površina elipse s početka zadatka također jednaka .


To je bio nešto teži način. Lakši način bi bio upisati u google ellipse, otići na Wolframovu stranicu o elipsi, pročitati jednadžbe za duljine poluosi (jednadžbe 21 i 22 u http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html) i od tamo izračunati površinu.



_________________
The Dude Abides


Zadnja promjena: goranm; 2:24 ned, 17. 7. 2011; ukupno mijenjano 1 put.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3560)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init

PostPostano: 1:39 ned, 17. 7. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Inace, dobar prvi korak je provjeriti sto trebas dobiti. Na primjer, [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-5y%2B3%29^2%2B%283x%2B4y-1%29^2%3D100]pitas Wolfram|Alphu[/url] i onda tamo piknes "Properties" (desno od "Ellipse" u drugom boxu, onom koji se zove "Geometric figure"), pa odmah vidis da je povrsina priblizno 16.5347 (ovo sto je goranm dobio), sto ti kaze da onih [latex]10\pi[/latex] nije dobro.
Inace, dobar prvi korak je provjeriti sto trebas dobiti. Na primjer, pitas Wolfram|Alphu i onda tamo piknes "Properties" (desno od "Ellipse" u drugom boxu, onom koji se zove "Geometric figure"), pa odmah vidis da je povrsina priblizno 16.5347 (ovo sto je goranm dobio), sto ti kaze da onih nije dobro.



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.
Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Ante_Balota
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 16. 07. 2011. (18:53:05)
Postovi: (2)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 13:36 ned, 17. 7. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

nemogu virovat...nemogu virovat da mi je neko napokon rjesija zadatak... fala puno!!!!! jaaaaaoooooooooooooooooo :)))))
nemogu virovat...nemogu virovat da mi je neko napokon rjesija zadatak... fala puno!!!!! jaaaaaoooooooooooooooooo Smile))))


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Novi
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 07. 2007. (12:08:32)
Postovi: (11F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
60 = 69 - 9

PostPostano: 0:41 uto, 19. 7. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ajde da i ja pripomenem da u slucaju da znas teorem o zamjeni varijabli pod integralom ili barem znas da linearne transformacije mjenjaju povrsine na nacin da se pojavi kao faktor determinanta te transformacije, onda odmah vidis da uz onu tvoju supstituciju iz elipse dobijes krug u^2+v^2=100 povrsine 100 PI. No, kako si pri tome imao afinu transformaciju (linarna + translacija) cija je matrica (tj. linearni dio)

1 -5
3 4

determinante 19, onda je povrsina pocetne elipse 100 PI / 19 ;)
Ajde da i ja pripomenem da u slucaju da znas teorem o zamjeni varijabli pod integralom ili barem znas da linearne transformacije mjenjaju povrsine na nacin da se pojavi kao faktor determinanta te transformacije, onda odmah vidis da uz onu tvoju supstituciju iz elipse dobijes krug u^2+v^2=100 povrsine 100 PI. No, kako si pri tome imao afinu transformaciju (linarna + translacija) cija je matrica (tj. linearni dio)

1 -5
3 4

determinante 19, onda je povrsina pocetne elipse 100 PI / 19 Wink



_________________
Jedan je smjer očit, a drugi je trivijalan.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Ostalo - ozbiljno -> Čistilište Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan