Zadaci (zadatak)

[Tekster]

Pozdrav svima.
Imam nekoliko zadataka za rjesit.Medjutim nikako mi ne ide.

1.Koeficienti jednacina i su realni i brojevi takvi da vazi .Ako jedna od ovih jednacina nema realne korene,dokazati da su korjeni druge realni i razliciti.

2.Dokazati da ,ako kvadratne jednacine sa cjelim koeficientima i imaju zajednicki korjen,koji nije cio broj,onda je i

[Flame]

1.

Sigurno vrijedi jer ako jedna jednadzba ima kompleksene korijene, onda joj je koeficijent uz razlicit od 0 jer su polinomi iz , a onda jer korijeni druge jednadzbe trebaju biti razliciti realni brojevi, vrijedi i da je i koeficijent uz druge jednadzbe razlicit od 0.

Iz toga slijedi da dane polinome mozemo normirati, pa jednadzbe postaju redom:



odnosno postaje



Bez smanjenja opcenitosti, pretpostavimo da prva jednadzba ima kompleksne korijene. To znači da joj je diskriminanta negativna, odnosno (primjetimo da nam to znači da je uvijek ).

Trebamo pokazati da je onda diskriminanta druge pozitivna (razliciti realni korijeni), odnosno .

Neka je .
Slijedi što uz daje pa trivijalno vrijedi .

Neka je sad .
Vrijedi:
.
Nadalje,


cime je tvrdnja dokazana.

2.

Neka je zajednicki korijen danih jednadzbi. Dakle, i .

Pretpostavimo da je . Slijedi da je . Neka je , pa imamo . Buduci da su i relativno prosti, iz teorema o racionalnim korijenima polinoma slijedi da sto je kontradikcija s pretpostavkom. Dakle .

[Tekster]

Svaka cast i hvala puno,imam jos nekih zadacica koje pokusavam rijesit pa ako bude zapelo postavicu ih ovdje!!!!

[Tekster]

Sta znaci kad neka jednacina il nesto ,Ima ili nema TRIVIJALNO RJESENJE.

[tihana]

[goranm]

Kada se priča o trivijalnom rješenju jednadžbe, ja bih rekao da to znači da je rješenje 0 ili da je identički jednako nuli, ne da je postupak dolaska do rješenja (ili sama struktura rješenja) jednostavan.

Npr. u linearnoj algebri trivijalna su ona rješenja koja imaju oblik nulvektora, a u PDJ-u trivijalno rješenje jednadžbe je funkcija koja je identički jednaka nuli.

_________________
The Dude Abides

[Tekster]

Hvala na odgovorima imam jos dva zadatka za rjesit.

1.Nadji sve cijele brojeve tako da jednadzba ima racinalna rjesenja.Ja sam mislio ovako da pocne,mora da vazi iz ceka dobijem da je i ,I nemam pojma kako da nastavim.

2.Neka su i realna rjesenja jednadzbe i vazi .Dokazi da je: a) b) .

[goranm]

1. U zadatku se traži da p bude cijeli broj tako da ti rješenje nikako ne može biti interval ili unija intervala realnih brojeva.

Diskriminanta te kvadratne jednadžbe je 1+4p. Rješenja će biti racionalna točno onda kada je 1+4p kvadrat nekog cijelog broja. Ako je , ispitaj kakav mora biti k da bi p bio cijeli broj.

[Tekster]

[Tekster]

Imam problema sa sledecim tipom zadataka.
Dokazi identitet:.neznam sta da radim posto imam ovu sumu.

[kenny]

Jesi pokušao dokaz po indukciji? Ustvari imaš sljedeću sumu:




Rastavi sve to, pokrati šta se može i pokušaj indukciju. Samo ideja, ne znam hoće li upaliti.

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[vsego]

Bojim se da indukcija nije dobra, jer se zbog promjene n-a mijenjaju i svi elementi sume.

Podsjetnik: [tex]{4n \choose 4k+1} = {4n \choose 4n-4k-1}[/tex]

Dakle:[dtex]S := \sum_{k=0}^{n-1}{4n \choose 4k+1} = \sum_{k=0}^{n-1}{4n \choose 4n-4k-1} = \sum_{k=0}^{n-1}{4n \choose 4k+3}[/dtex]Nas zanima [tex]S[/tex].

Primijetimo:[dtex]2S = S+S = \sum_{k=0}^{n-1}{4n \choose 4k+1} + \sum_{k=0}^{n-1}{4n \choose 4k+3} = \sum_{k=0}^{2n-1}{4n \choose 2k+1} = \sum_{k=0}^{N-1}{2N \choose 2k+1}, \quad N := 2n.[/dtex]
Ostaje ti ovo za srediti. Ako zapnes, vrisni ovdje.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Tekster]

Evo da vrisnem al za pocetak mi nisu jasne neke stvari, idemo redom sto se tice ovoga i odakle slijedi da je to mi je jasno, ali nije mi jasno kako je

I nije mi jasno kako si na kraju sabirao one sume , moze jos malo pojasnjenja posto ocigledno neznam kako se sume sabiraju .

[goranm]

[vsego]

Goran me pretekao, ali kad sam vec nakucao, evo...

Lako se pokaze da [tex]{4n \choose 4k+1}={4n \choose 4k+3}[/tex] opcenito ne vrijedi. Stvar je u tome da uvrstis sto treba i onda pozbrajas unatrag:

[dtex]\begin{align*}
S &:= \sum_{k=0}^{n-1}{4n \choose 4k+1} = \sum_{k=0}^{n-1}{4n \choose 4n-4k-1} \\
&= {4n \choose 4n-1} + {4n \choose 4n-5} + \dots + {4n \choose 7} + {4n \choose 3} \\
&= {4n \choose 3} + {4n \choose 7} + \dots + {4n \choose 4n-5} + {4n \choose 4n-1} \\
&= \sum_{k=0}^{n-1}{4n \choose 4k+3}
\end{align*}[/dtex]

Sume zbrojis trivijalno, tako da uzimas elemente naizmjence, pa vise ne idu svaki cetvrti nego svaki drugi:
[dtex]S = \sum_{k=0}^{n-1}{4n \choose 4k+1} = {4n \choose 1} + {4n \choose 5} + \dots + {4n \choose 4n-7} + {4n \choose 4n-3}[/dtex]i[dtex]S = \sum_{k=0}^{n-1}{4n \choose 4k+3} = {4n \choose 3} + {4n \choose 7} + \dots + {4n \choose 4n-5} + {4n \choose 4n-1}[/dtex]Sad se to zbroji:[dtex]2S = S + S = {4n \choose 1} + {4n \choose 3} + {4n \choose 5} + {4n \choose 7} + \dots + {4n \choose 4n-7} + {4n \choose 4n-5} + {4n \choose 4n-3} + {4n \choose 4n-1} = \sum_{k=0}^{2n-1}{4n \choose 2k+1}[/dtex]

Ako ti treba ono sto nisam rijesio (naci koliko je zapravo [tex]2S[/tex]), pogledaj ovdje, no preporucam da ipak prvo sam probas.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Tekster]

Da,da,da,da sad mi je jasno