Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
CROmpir Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 09. 2009. (18:27:06) Postovi: (B3)16
|
|
[Vrh] |
|
mornik Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44) Postovi: (128)16
|
Postano: 17:31 pet, 22. 10. 2010 Naslov: |
|
|
Dobro, s izuzetkom a) stvar je dosta tipična, makar, moram priznati, krajnje odvratna. :)
U svakom slučaju, hajde da izvedemo a). Umjesto [latex]x[/latex] ćemo uvrstiti u jednakost [latex]t-1[/latex]. Tako ćemo dobiti s desne strane [latex]f((t-1)+1)=f(t)[/latex], a to nam je tražena formula za [latex]f[/latex].
Dobro, dakle, imamo [latex]f(t)=(t-1)^4+4(t-1)^3+5(t-1)^2+2(t-1)-2[/latex]. Kad to raspišeš, što je posao koji se svakom iole razumnom građaninu ove zemlje gadi, dobijemo [latex]f(t)=t^4-t^2-2[/latex].
Sad b) vjerojatno znaš riješiti - naprosto se radi o kompoziciji funkcija [latex]f_1(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)[/latex] i [latex]f_2(x)=x^2[/latex]. Stoga vjerojatno onda nije problem naći sliku i prasliku funkcije - reci ako treba pomoć.
Naposljetku, pogledajmo c), čime dolazimo do još jednog krajnje odvratnog podzadatka. Dobro, dakle, zanima nas kada je funkcija [latex]f(x)=x^4-x^2-2[/latex] rastuća. [latex]f[/latex] ponovno prikazujemo kao kompoziciju funkcija [latex]f_1[/latex] i [latex]f_2[/latex]. OK, sad, razlikovat ćemo nekoliko slučajeva:
Prvo, neka je [latex]x\geq 0[/latex]. Tada je [latex]f_2[/latex] rastuća funkcija. E, sad, ovaj dio je malo teško objasniti, a i malo smo neprecizni, but here it is. :) Dakle, neka je [latex]a\leq 1/2[/latex]. Tada imamo da je [latex]f_1(a)=a^2-a[/latex] padajuća funkcija (zato smo uzeli baš tu granicu za [latex]a[/latex]), to lako provjeriš s grafa ili kako već. E, sad, ako uzmemo [latex]a=x^2[/latex], tj. [latex]0\leq x\leq \sqrt{2}/2[/latex], imamo kompoziciju padajuće i rastuće (svugdje u ovom zadatku radi se o strogo padajućim i strogo rastućim funkcijama, zapravo... to nam treba da znamo da inverzi postoje) funkcije, pa je tu funkcija [latex]f[/latex] padajuća. Analogno, za [latex]a>1/2[/latex] imamo kompoziciju dvije rastuće funkcije, pa je stvar rastuća. Dakle, na [latex]\langle 0,\sqrt{2}/2\rangle[/latex] funkcija pada, a na [latex]\langle \sqrt{2}/2,+\infty\rangle[/latex] raste.
Ako je [latex]x<0[/latex], stvar ide potpuno analogno ([latex]f[/latex] je neparna funkcija, uostalom, pa možemo to direktno iskoristiti kao argument). Funkcija tu, dakle, (strogo) pada na [latex]\langle -\intfy,-\sqrt{2}/2\rangle[/latex], a (strogo) raste na [latex]\langle -\sqrt{2}/2, 0\rangle[/latex].
Sad ostaje još sitan element traženja inverza na tim intervalima. Pa dobro: rješavamo [latex]y=x^4-x^2-2=(x^2)^2-(x^2)-2[/latex]. Budući da s desne strane mi imamo kvadratnu jednadžbu po [latex]x^2[/latex], znamo da je [latex]x^2_{1,2}=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{1+4(2+y)}}{2}[/latex]. Dakle, [latex]x_{1,2,3,4}=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{1+4(2+y)}}{2}}[/latex]. U ovom smo trenutku zapravo gotovi - našli smo sva četiri inverza. Sad nam samo ostaje pitanje koji pripada kojem intervalu. U intervalima [latex]\langle -\intfy,-\sqrt{2}/2\rangle[/latex] i [latex]\langle -\sqrt{2}/2, 0\rangle[/latex] [latex]x[/latex] je negativan, pa se prvi [latex]\pm[/latex] pretvara u minus. E, sad, u ovom intervalu koji ide iz minus beskonačnosti, [latex]x^2[/latex] je veći od [latex]1/2[/latex], pa drugi [latex]\pm[/latex] postaje plus. Razmišljanja su potpuno analogna za ostala tri intervala: za prvi [latex]\pm[/latex] gledaš je li [latex]x[/latex] pozitivan ili negativan, a za drugi gledaš je li [latex]x^2[/latex] veće ili manje od [latex]1/2[/latex]. Dakle, napokon smo došli do kraja, wee! :D
Sasvim je vjerojatno da nešto nije jasno... zaboga, pa nije ni meni u ovom trenutku. :D
Dobro, s izuzetkom a) stvar je dosta tipična, makar, moram priznati, krajnje odvratna.
U svakom slučaju, hajde da izvedemo a). Umjesto ćemo uvrstiti u jednakost . Tako ćemo dobiti s desne strane , a to nam je tražena formula za .
Dobro, dakle, imamo . Kad to raspišeš, što je posao koji se svakom iole razumnom građaninu ove zemlje gadi, dobijemo .
Sad b) vjerojatno znaš riješiti - naprosto se radi o kompoziciji funkcija i . Stoga vjerojatno onda nije problem naći sliku i prasliku funkcije - reci ako treba pomoć.
Naposljetku, pogledajmo c), čime dolazimo do još jednog krajnje odvratnog podzadatka. Dobro, dakle, zanima nas kada je funkcija rastuća. ponovno prikazujemo kao kompoziciju funkcija i . OK, sad, razlikovat ćemo nekoliko slučajeva:
Prvo, neka je . Tada je rastuća funkcija. E, sad, ovaj dio je malo teško objasniti, a i malo smo neprecizni, but here it is. Dakle, neka je . Tada imamo da je padajuća funkcija (zato smo uzeli baš tu granicu za ), to lako provjeriš s grafa ili kako već. E, sad, ako uzmemo , tj. , imamo kompoziciju padajuće i rastuće (svugdje u ovom zadatku radi se o strogo padajućim i strogo rastućim funkcijama, zapravo... to nam treba da znamo da inverzi postoje) funkcije, pa je tu funkcija padajuća. Analogno, za imamo kompoziciju dvije rastuće funkcije, pa je stvar rastuća. Dakle, na funkcija pada, a na raste.
Ako je , stvar ide potpuno analogno ( je neparna funkcija, uostalom, pa možemo to direktno iskoristiti kao argument). Funkcija tu, dakle, (strogo) pada na , a (strogo) raste na .
Sad ostaje još sitan element traženja inverza na tim intervalima. Pa dobro: rješavamo . Budući da s desne strane mi imamo kvadratnu jednadžbu po , znamo da je . Dakle, . U ovom smo trenutku zapravo gotovi - našli smo sva četiri inverza. Sad nam samo ostaje pitanje koji pripada kojem intervalu. U intervalima i je negativan, pa se prvi pretvara u minus. E, sad, u ovom intervalu koji ide iz minus beskonačnosti, je veći od , pa drugi postaje plus. Razmišljanja su potpuno analogna za ostala tri intervala: za prvi gledaš je li pozitivan ili negativan, a za drugi gledaš je li veće ili manje od . Dakle, napokon smo došli do kraja, wee!
Sasvim je vjerojatno da nešto nije jasno... zaboga, pa nije ni meni u ovom trenutku.
|
|
[Vrh] |
|
lavicha Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 10. 2010. (18:25:49) Postovi: (1A)16
|
Postano: 16:28 ned, 24. 10. 2010 Naslov: |
|
|
ja sam se pogubila malo....
dakle, kod praslike kompozicije.. u ovom slucaju, kompozicija je f=f1of2, dali trazim prvo prasliku na odredenom intervalu od f2, pa onda to sto dobim gledam u f1? ili prvo gledam prasliku od f1 na odredenom(zadanom) intervalu, pa sto dobim gledam u f2?
ja sam se pogubila malo....
dakle, kod praslike kompozicije.. u ovom slucaju, kompozicija je f=f1of2, dali trazim prvo prasliku na odredenom intervalu od f2, pa onda to sto dobim gledam u f1? ili prvo gledam prasliku od f1 na odredenom(zadanom) intervalu, pa sto dobim gledam u f2?
_________________ ....I think about the little things that make life great!!
|
|
[Vrh] |
|
Rufert Forumaš(ica)
Pridružen/a: 02. 10. 2010. (17:58:52) Postovi: (12)16
Spol:
Lokacija: Dubrava
|
|
[Vrh] |
|
Cobs Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 01. 2008. (13:32:15) Postovi: (206)16
Spol:
Lokacija: Geto
|
|
[Vrh] |
|
Joker Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 09. 2010. (10:19:16) Postovi: (8C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Tomislav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 10. 2010. (20:18:25) Postovi: (181)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
frutabella Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36) Postovi: (24E)16
|
|
[Vrh] |
|
Tomislav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 10. 2010. (20:18:25) Postovi: (181)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Joker Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 09. 2010. (10:19:16) Postovi: (8C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
PermutiranoPrase Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19) Postovi: (F4)16
Spol:
|
Postano: 16:02 sub, 29. 10. 2011 Naslov: |
|
|
Da ne otvaram novu temu... Malo pitanjce, možda glupo, ali me zbunjuje:
Ako tražim sliku funkcije [tex]f(x) = \sqrt x[/tex] na nekom pozitivnom intervalu, npr. [1,4], hoće li mi rješenje biti samo pozitivan interval, [1,2] ili oba intervala, [-2,-1]U[1,2]? Samo pozitivan, je l da?
Da ne otvaram novu temu... Malo pitanjce, možda glupo, ali me zbunjuje:
Ako tražim sliku funkcije [tex]f(x) = \sqrt x[/tex] na nekom pozitivnom intervalu, npr. [1,4], hoće li mi rješenje biti samo pozitivan interval, [1,2] ili oba intervala, [-2,-1]U[1,2]? Samo pozitivan, je l da?
|
|
[Vrh] |
|
kenny Petica iz zalaganja
Pridružen/a: 28. 03. 2003. (09:18:36) Postovi: (3B7)16
Spol:
Lokacija: ...somewhere over the rainbow...
|
|
[Vrh] |
|
PermutiranoPrase Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19) Postovi: (F4)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
PermutiranoPrase Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19) Postovi: (F4)16
Spol:
|
Postano: 15:37 ned, 30. 10. 2011 Naslov: |
|
|
E, hvala na ispravku. Vezano uz to, sjetih se sada, R+ uključuje sve poz.realne brojeve, nulu ne?
I još jedan zadatak me mori, nešto slično tome smo radili na vježbama, ali ovaj je dosta kompliciraniji i čudno mi ispada:
Kolokvij 2009., 3. Odredi [tex]f^{-1}([0,1]), f(x) = |2x^2 + 2x - |x^2 - 1|[/tex]. Ovo se ne može napisati kao kompozicija nego bih trebala rastavljati na slučajeve, pa napraviti graf, pa iz grafa iščitati rješenje, ili?
E, hvala na ispravku. Vezano uz to, sjetih se sada, R+ uključuje sve poz.realne brojeve, nulu ne?
I još jedan zadatak me mori, nešto slično tome smo radili na vježbama, ali ovaj je dosta kompliciraniji i čudno mi ispada:
Kolokvij 2009., 3. Odredi [tex]f^{-1}([0,1]), f(x) = |2x^2 + 2x - |x^2 - 1|[/tex]. Ovo se ne može napisati kao kompozicija nego bih trebala rastavljati na slučajeve, pa napraviti graf, pa iz grafa iščitati rješenje, ili?
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
Postano: 16:35 ned, 30. 10. 2011 Naslov: |
|
|
[quote="PermutiranoPrase"]E, hvala na ispravku. Vezano uz to, sjetih se sada, R+ uključuje sve poz.realne brojeve, nulu ne?
I još jedan zadatak me mori, nešto slično tome smo radili na vježbama, ali ovaj je dosta kompliciraniji i čudno mi ispada:
Kolokvij 2009., 3. Odredi [tex]f^{-1}([0,1]), f(x) = |2x^2 + 2x - |x^2 - 1|[/tex]. Ovo se ne može napisati kao kompozicija nego bih trebala rastavljati na slučajeve, pa napraviti graf, pa iz grafa iščitati rješenje, ili?[/quote]
Da, tako sam i ja radio, a onda smo na vježbama radili i preko definicije praslike. Naravno, dobije se isti rezultat, a sad ti odaberi što ti više paše.
Ako odabereš po slučajevima onda moraš na kraju crtati graf, iz kojega se sve lako vidi, a ako ti ne paše to onda idi preko definicije i riješavaj nejednadžbe. To isto može biti problem jer moraš paziti koje intervale moraš presjeći, a koje zbrojiti (unija).
PermutiranoPrase (napisa): | E, hvala na ispravku. Vezano uz to, sjetih se sada, R+ uključuje sve poz.realne brojeve, nulu ne?
I još jedan zadatak me mori, nešto slično tome smo radili na vježbama, ali ovaj je dosta kompliciraniji i čudno mi ispada:
Kolokvij 2009., 3. Odredi [tex]f^{-1}([0,1]), f(x) = |2x^2 + 2x - |x^2 - 1|[/tex]. Ovo se ne može napisati kao kompozicija nego bih trebala rastavljati na slučajeve, pa napraviti graf, pa iz grafa iščitati rješenje, ili? |
Da, tako sam i ja radio, a onda smo na vježbama radili i preko definicije praslike. Naravno, dobije se isti rezultat, a sad ti odaberi što ti više paše.
Ako odabereš po slučajevima onda moraš na kraju crtati graf, iz kojega se sve lako vidi, a ako ti ne paše to onda idi preko definicije i riješavaj nejednadžbe. To isto može biti problem jer moraš paziti koje intervale moraš presjeći, a koje zbrojiti (unija).
|
|
[Vrh] |
|
Shaman Forumaš(ica)
Pridružen/a: 24. 09. 2011. (22:21:43) Postovi: (76)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
PermutiranoPrase Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19) Postovi: (F4)16
Spol:
|
Postano: 18:42 ned, 30. 10. 2011 Naslov: |
|
|
Hvala! :D Riješila sam sad preko nejednadžbi, ne grafa, konačno, iz 3.pokušaja ispada normalno sigurno rješenje. (1.rješavanje propalo, u 2.rješavanju graf mi je nekako sumnjivo ispao, vjerojatno je bio dijelom kriv). :D
Hvala! Riješila sam sad preko nejednadžbi, ne grafa, konačno, iz 3.pokušaja ispada normalno sigurno rješenje. (1.rješavanje propalo, u 2.rješavanju graf mi je nekako sumnjivo ispao, vjerojatno je bio dijelom kriv).
|
|
[Vrh] |
|
sasha.f Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 10. 2011. (20:04:19) Postovi: (3D)16
|
|
[Vrh] |
|
angelika Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 02. 2011. (17:26:51) Postovi: (5F)16
|
|
[Vrh] |
|
|