Popravni kolokvij iz Primijenjene matematičke analize (informacija)

[rafaelm]

Održati će se 23.1. u 12h.

Na kolokviju se piše gradivo cijelog kolegija, 4 zadatka s vježbi (2 ODJ + 2 numerika) i jedan teorijski. Svaki zadatak nosi 20 bodova, dakle sveukupno 100.

Izlaskom na popravni, svi bodovi skupljeni prije toga se brišu.
Da biste mogli izaći na popravni, morate imati u zbroju ukupno barem 10 bodova na kolokvijima.

Za položiti kolegij, potrebno je iz kolokvija i aktivnosti na satu skupiti barem 45 bodova, te pri tome na svakom kolokviju pojedinačno mora biti barem 10 bodova.

Studenti koji neće biti zadovoljni prolaznom ocjenom nakon rezultata drugog kolokvija, mogu također pristupiti popravnom kolokviju uz prethodnu najavu, a time se odriču dotadašnje ocjene, te za njih vrijede ista pravila kao i za "ponavljače" (mogu naravno i pasti kolegij).


PS. Rezultate drugog kolokvija, zadatke i neka rješenja ćete dobiti sredinom sljedećeg tjedna.

_________________
Rafael Mrđen

[rafaelm]

Evo drugi kolokvij i neke upute za rješavanje.

Prvi zadatak: Jednadžba je očito Bernoullijeva, pa podjelimo sa [tex]x^4[/tex]; dobijemo [dtex]3\frac{x'}{x^4}+\frac{\tan t}{x^3}+1=0,[/dtex] te primjenimo supstituciju [tex]z=\frac{1}{x^3}[/tex] ([tex]\Rightarrow \ z' = -3 \frac{x'}{x^4}[/tex]). Dobijemo linearnu nehomogenu jednadžbu

[dtex]-z' + z \cdot \tan t = -1[/dtex]

koja se lako riješi, npr. varijacijom konstante:

[dtex]-z' + z \cdot \tan t = 0 \ \Rightarrow \ \frac{dz}{z} = \tan t \cdot dt \ \Rightarrow \ z= \frac{C}{\cos t}[/dtex]


[dtex]-1 = -z' + z \cdot \tan t = -\frac{C' \cdot \cos t + C \cdot \sin t}{\cos^2 t} + \frac{C \cdot \sin t}{\cos^2 t} = -\frac{C'}{\cos t} \ \Rightarrow \ C' = \cos t \ \Rightarrow \ C(t) = \sin t + D.[/dtex]

Pa imamo konačno rješenje zadane jednadžbe: [tex] x= \sqrt[3]{\frac{\cos t}{\sin t + D}}, \ D \in \mathbb{R} [/tex].


Najčešća bezvezna greška: [tex]e^{- \ln \cos t} = - \cos t[/tex], nakon čega se dobije integral koji nije baš jako lagan.


Drugi zadatak: Trebamo numerički rješiti jednadžbu [tex]x^4-5 = 0[/tex]. (Jednadžba [tex] x- \sqrt[4]{5} = 0[/tex] nije dobra jer druga derivacija nula, što ne smije biti za Newtonovu metodu; ni [tex]x^2 - \sqrt{5} = 0[/tex] nije najsretniji izbor, jer se u računu javlja broj [tex]\sqrt[4]{5}[/tex], tj. moramo ga efektivno koristiti da bismo ga izračunali, što nema smisla.) Nakon što nađete dobar interval za start (npr. [tex][1,2][/tex]), ostalo je šablona.

Treći zadatak je dosta dobro riješen.

Četvrti zadatak: Najveći problem je bio u nalaženju [tex]M_4[/tex]. Četvrta derivacija ispadne [tex]e^{-x^2/2} (3-6 x^2+x^4)[/tex], pa se lako izvučete:
[dtex]
|e^{-x^2/2} (3-6 x^2+x^4)| \leq |e^{-x^2/2}|(3 + |6x^2| + |x^4|) \leq 1 \cdot(3+6+1) = 10 =:M_4 \ \ (\text{na } \ [0,1]).[/dtex]

Većina studenata je samo uvrstila točke 0 i 1 u četvrtu derivaciju, i veću proglasila za maksimum. No to nemate pravo napraviti dok ne pokažete da je funkcija monotona (pa se maksimum mora postići na rubu). Iako kaže računalo da je ona monotona na [tex][0,1][/tex], (pa se i dobije na krivi način dobar maksimum), to ipak nije apriori jasno (barem meni) jer ima za faktor polinom četvrtog stupnja. Pa monotonost treba dokazati (najlakše preko pete derivacije).

Added after 6 minutes:

EDIT: U prilogu je popis studenata koji idu na popravni kolokvij.

Ako je netko položio kolegij, a želi na popravnom dobiti bolju ocjenu, neka mi se obavezno javi e-mailom.

Kad saznam, javiti ću tu u kojoj se predavaoni piše.

_________________
Rafael Mrđen

[fireball]

[rafaelm]

[king_oberon]

a hoće li biti zadaci riječima ? da li da i na to trošimo koji sat u narednih dan dva ?

[rafaelm]

[king_oberon]

hmm, a ja imam sitni problem ... sitni ali dinamitni! kako integral od x*e^(x^2) ispadne (1/2)*e^(x^2) ? to mi zbilja nije jasno nadam se da neću ispasti preglup ali pokušavam to shvatiti uz sve moguće formule i radnje i nejde mi ...

no dobro, da, supstitucija, da, znam ... ahhhh malo mozak više ne radi hvala sebi i kolegici

[pravipurger]

Nema glupih pitanja

[king_oberon]

err, nije mi jasno kako smo došli do maksimuma u četvrtom zadatku iz drugog kolokvija ? kako dokazujemo da je funkcija monotona ? mislim, ja sam izračunao petu derivaciju, dobijem polinom s redom neparnim potencijama koji množimo s e^(-x^2/2) .... i što sad ? što bi trebalo napisati recimo u kolokviju ? zašto ste u Vašem primjeru uzeli da je x u e^(x^2/2) jednak 0 a u ostatku polinoma jednak 1? inače sam mislio da mi je taj dio zadatka relativno jasan ali sad vidim da nije baš

[rafaelm]

[jkrstic]

Pitanje za asistenta. Negdi u biljeznici imam zapisano Bronštejn, ne mogu se sjetiti trenutka kad sam to zapisivao, al znam da je bilo na zadnjim vjezbama prije prvog kolokvija. Jel moguce da se smije koristiti Bronštejn na kolokviju, ili je jedini dozvoljeni pribor sluzbeni salabahter i kalkulator? Mislim da sam cak i vidio nekog na kolokviju sa Bronštejnom, zbog cega mi je sad palo na pamet pitati ovo...

_________________
You'll take my life but I'll take yours too
You'll fire your musket but I'll run you through
So when you're waiting for the next attack
You'd better stand there's no turning back

[rafaelm]

Ako želite, možete imati Bronsteina. Mislim da će vam više smetati nego koristiti, jer su stvari dosta razasute i tamo ima puno više nego što vama treba. Dok pronađete i prepoznate ono što vam treba, izgubiti ćete previše vremena. Službeni šalabahter (uz tablice integrala) ima sve to na jednom mjestu.

EDIT: Ako donesete Bronsteina, u njemu ne smije ništa biti dopisano.

_________________
Rafael Mrđen

[king_oberon]

a na koji način dokazujemo da je funkcija monotona na nekom intervalu ? ovako, općenito, ima li neki trik, neka shema ? nešto s derivacijom ako se ne varam ste spomenuli ?

[jkrstic]

Funkcija je monotona na nekom intervalu,ako joj je derivacija na tom intervalu konstantnog predznaka. Tu lipo pise.

_________________
You'll take my life but I'll take yours too
You'll fire your musket but I'll run you through
So when you're waiting for the next attack
You'd better stand there's no turning back

[king_oberon]

umm a jel normalno da mi je stvarna greška u točki 2 (u trećem zadatku s 2. kolokvija) ispala 9 i nešto ? a ocjena greške interpolacijskog polinoma 4*e^4/3 ? (u točki 2 isto)

P.S. hvala na dosadašnjim odgovorima i unaprijed hvala na predstojećima

[Serious Sam]

Meni je greska isto ispala 9 i nesto, a znam i jos jednog covjeka kojemu je tako ispalo.

[king_oberon]

umm a kada će biti rezultati ? i kada možemo očekivati eventualni upis ocjene ?

[RonnieColeman]

Mislim da sam vidio broj 30 na papiru za pisanje kao datum razultata.

_________________
...He never had looked less like captain of any-thing, even his own soul.

[rafaelm]

Rezultate ću objaviti sutra do 14 sati.

Žalbe će se održati sutra u 16 sati, u kabinetu 220.

Za upis ocjena staviti ću obavijest naknadno.

_________________
Rafael Mrđen

[rafaelm]

Evo rezultata, stigli ranije. Žalbe su danas u 16 sati.


Kratke napomene u vezi nekih zadataka sa kolokvija:

1. Jednadžba se svede na homogenu supstitucijama [tex]t=u + 1, \ x=v-2[/tex].

2. Nakon što nacrtate sliku i izračunate duljine kateta trokuta, dobije se jednadžba [tex]y' x^2 = \pm 4[/tex].

3. Treba numerički rješiti jednadžbu [tex]e^x-10=0[/tex].



EDIT: Upis ocjena će se održati u utorak, 31.1.2012. u 9:30 sati.

_________________
Rafael Mrđen