lanjski kolokvij

[MB]

Na stranici je malo izmijenjena verzija lanjskog kolokvija, mozda ce dobro doci za vjezbu.

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/kolokviji_int.html

_________________

[googol]

[mono]

Dali bi netko mogao pomoći samo oko početka zadataka 2. od 09/10.Zanima me samo otkuda ide u trostrukom integralu nakon što pređem na sferne koordinate.Hvala unaprijed

[ceps]

Promatram na onaj način da smije ići od 0 do :



Za fiksirani

Bar je meni tako ispalo.

Nisi pitao za objašnjenje, pa se neću bezveze mučiti ovo pokušavati objasniti bez crtanja, samo tekstom... Ali ako te ipak zanima, mogu pokušati.

[mono]

Shvatio sam sve,hvala.

[888]

Jel možeš samo ukratko napisati kako si dobio taj theta?

[ceps]

A nacrtaj si ovo prvo.

Presjek sfere i ravnine je kružnica radijusa 1.
Theta ide od z-osi do te kružnice, znači od 0 do nekog broja kojeg dobijemo sljedećim načinom:

Promatraj pravokutni trokut koji spaja ishodište, središte te kružnice te bilo koju točku na kružnici.
Jedna kateta će biti duljine (z-os!), a druga 1 (radijus te kružnice koja je presjek sfere i ravnine!).
Iz toga se trigonometrijom dobije theta = pi/6.

[888]

kuzim. Hvala. jel bi mogao samo reci jos koliko ti je ispao theta u 2 ?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2008-09/kolokvij1.pdf

[jabuka]

[ceps]

Mislim da ne mogu baš puno bolje nego što sam gore već pisao, ako mi ne kažeš što ti točno nije jasno?

[jabuka]

[pupi]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij1.pdf

Kako rjesiti drugi zadatak? Odredim granice u kartezijevim koordinatama , al ne znam kako bih rijesila ovaj integral ...

[ceps]

@pupi

http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=17915

Tu se već dosta pričalo o tom zadatku.


@jabuka

Da, treba ispasti kao odsječen gornji dio kugle.
ti je jasan, pa krećem od :

Uvrsti u jednadžbu sfere i dobit ćeš da je presjek sfere i te ravnine kružnica radijusa 1 sa centrom u

Nacrtaj si presjek ovog područja i xz-ravnine (ili yz-ravnine, svejedno, isto će ispasti (zašto?) ) kao što je to radio asistent Gogić na vježbama.
Trebalo bi ti ispasti nešto ovako:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+%2B+z%5E2+%3C+4%2C+z+%3E+sqrt%283%29

Kad gledaš ovu sliku (probaj si zamisliti da su i nacrtane koordinatne osi ), je odmak od z-osi.
Vidimo da ide od 0 do kuta koji sa z-osi zatvara pravac koji spaja ishodište i rub ovog lika.
Zvuči malo nespretno ovako, ali ako si nacrtaš mislim da će ti biti jasno.
Koji je to kut?

Promatraj pravokutni trokut koji spaja ishodište, i rub ovog lika.
Tom trokutu znamo dvije stranice: (z-os) i 1 (radijus kružnice o kojoj sam pričao na početku)
Trigonometrijom se iz ovog dobije da je
Jel sve jasno zasad?

Gledajmo ovu sličicu sa Wolfram Alphe. Primijeti da donji rub ovog lika dolazi od ravnine, a gornji od sfere.
Za fiksirani , r ide od nekog do 2.
2 je tu zbog sfere, a taj nepoznati je tu zbog ravnine. Ostaje odgovoriti što je to .

Sad malo crtanja - fiksiraj neki i povuci pravac koji ide iz ishodišta, a odmaknut je od z-osi upravo za . Gledaj pravokutni trokut ishodište - - točka gdje taj pravac sječe ravninu z = \sqrt{3}.

Iz tog pravokutnog trokuta imaš .

Nespretno je ovo objašnjavati bez olovke, papira i skiciranja, ali nadam se da sam bar nešto pojasnio. Viči ako ti neki korak nije jasan.

[jabuka]

ceps svaka cast na trudu
sad je jasno puuuunooooo hvala!

[pupi]

[ceps]

@pupi

Za EDIT1: možemo. To možemo kod svakog tijela kod kojeg dobijemo krugove ako ga ''narežemo na šnitice''.
I da, integral bude

[pupi]

Odlično

U prvom zadatku pod a : http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij1.pdf da li su granice :

fi element 0 do 2*pi
r element rub kruznice = 2a*cos(fi), rub kardioide=a(1+cos(fi))

Na kraju dobijem negativnu povrsinu :S

[penkala]

Ceps, mislim da bi theta u drugom zadatku trebao ici od pi/6 do pi/2 jer kad njega rotiramo oko y-osi dobivamo "sladoled", a kad ogranicimo r dobivamo "kapicu". Pogledaj 6(i) zadatak i rjesenje, koji je do na r gotovo identican: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2006-07/kolokvij1.pdf

[ceps]

Ne shvaćam što želiš reći, theta je odmak od z-osi, a ne od y-osi:

http://en.wikipedia.org/wiki/File:3D_Spherical.svg

[satja]