par zadataka (zadatak)

[anela705]

Moze pomoć sa zadatcima ( ili bar uputa kakva ):

1. Neka je V komp.vek.prostor i NelementL(V) nilpotentan operatora maksimalnog indeksa nilpotentnosti. Odredi Jordanovu bazu za N^2.

2. Ako je U konačnodimenzionalan unitaran prostor, dokažite da za A,B iz L(U) vrijedi nejednakost: | tr(AB*) |^2 <- (manje ili jednako) tr(AA*)*tr(BB*)

3. iz priloženog ispita, zad 1. ?!

[mamba]

Treba mi pomoć oko par zadataka:

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/vp-0708-popravak.pdf
8. zad za A^2 i (A+I)^3. Kako to odrediti?

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/2009-10/vp_popravni_2009_10.pdf
8. znam odrediit za alfa=0, kako dalje?

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/vp-0708-zad1.pdf
4., 8. 11. neznam ni kako započeti.

Hvala.

[angelika]

Može pomoć sa 7.zadatkom?

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/2010-11/kol1_10_11.pdf

[Loo]

iz [tex]\mu _A(A)=0[/tex] dobiješ [tex]A^2=4A-4I[/tex].
onda imaš:
[tex]0=\mu _A(A)=\mu _A(\frac{1}{4}(4A-4I)+I)[/tex]
znači da operator [tex]4A-4I[/tex] poništava [tex]p(x)=\mu _A(\frac {1}{4}x+1)[/tex], odnosno i njegovu normiranu verziju [tex]4^2\mu _A(\frac {1}{4}x+1)[/tex].

I sad tvrdimo da je ta normirana verzija zapravo [tex]\mu _{4A-4I}[/tex].

A to se lako vidi, jer ako pretpostaviš suprotno, to znači da postoji neki polinom stupnja [tex]1[/tex] koji [tex]4A-4I[/tex] poništava, pa to znači da taj polinom poništava i [tex]A[/tex] ali to je u kontradikciji s činjenicom da je [tex]\mu_A[/tex] stupnja [tex]2[/tex].
znači [tex]\mu_{A^2}(x)=\mu _{4A-4I}(x)=4^2\mu _A(\frac {1}{4}x+1)=(x-4)^2[/tex]

[sasha.f]

Može pomoć oko 8. zadatka? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/2009-10/vp_1.kol_09.pdf kako da iskoristim det(A)=-8?

[četiri]

pošto na dijagonali imaš samo -2 i 1, determinanta je umnožak elemenata na dijagonali (u gornjetrokutastim matricama), tj. moraš imat tri elementra -2, a ostali će ti bit 1.

[četiri]

Može pomoć, savjet ili uputa oko 5. i 6. zadatka?

[Loo]

5.) ovo zapravo znači da je [tex]N[/tex] nilpotentan indeksa [tex]6[/tex].
i sad koristeći formulu [tex]n_k=r(N^{k-1})+r(N^{k+1})-2r(N^k)[/tex] probaj odrediti Jordanovu formu.
svi [tex]n_k[/tex]-ovi ti moraju bit nenegativni i [tex]n_6[/tex] mora biti bar [tex]1[/tex].

isto tak mora vrijedit [tex]\displaystyle \sum_{i =1}^{6}k\cdot n_k=10[/tex]

ak dobiješ takve [tex]n_k[/tex]-ove, našao si operator. tj. njegovu Jordanovu formu.

6.) [tex]\mu_A(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)[/tex]
svi korijeni su mu jednostruki, pa je [tex]A[/tex] poluprost.
odnosno, postoji baza u kojoj će [tex]A(e)[/tex] imati samo jedinice i dvojke na dijagonali.
sad je [tex]A^{20}(e)=(A(e))^{20}[/tex] što znači da će [tex]A^{20}(e)[/tex] biti dijagonalna sa [tex]1^{20}[/tex] i [tex]2^{20}[/tex] na dijagonali, odnosno i [tex]A^{20}[/tex] je poluprost sa svojstvenim vrijednostima [tex]1, 2^{20}[/tex].
a to znači da je [tex]\mu_{A^{20}}(x)=(x-1)(x-2^{20})[/tex]