matrice, dokazi (objasnjenje gradiva)

[sys_]

Na predavanju smo dokazivali propoziciju:
Ako je A~B onda je r(A) =r(B). (primjenom elem. transformacija rang matrice se ne mijenja).

Kod dokaza za 3. vrstu elem matrice (onu koja je dobije tako da se nekom retku-stupcu, pribroji neki drugi redakstupac) piše:
[S1,S2,..,Sn]=[S1+S2,S2,...,Sn]
α1S1+α2S2+...αnSn=α1 (S1+S2)-α1S2+α2S2+...+αnSn
= α1(S1+S2)-(α2-α1)S2+...+αnSn
Može li mi neko objasnit kako se to raspisalo, kako se pojavio član (-α1S2)?
hvala

i još nešto ako neko zna, ima li profesor na usmenom običaj pitati:
dokaz za dim (A*B)=dim A*dim B, zašto vrijedi Laplaceov razvoje determinanti i onaj dokaz gdje se spominje kvadratna matrica i njezina adjunkta ( ono što smo dobili na papirim )

[Gost]

Član (-α1S2)
pojavio se tako što smo ga dodali i oduzeli
(čime se, dakako, vrijednost cijele linearne kombinacije nije
promijenila), a učinjeno je to zato da bi se vidjelo kako
se svaki vektor iz linearne ljuske na lijevoj strani također nalazi
u linearnoj ljusci na desnoj strani.
(Obrnuta inkluzija je očigledna).

Moglo se napraviti i tako da se S1 napiše kao S1 = (S1+S2)-S2
pa je onda S1 u [S1+S2,S2,...,Sn], dakle svi S1, S2,..., Sn
su također u toj linearnoj ljusci.

[sys_]

hvala

[Gost]

Što znači da je skup {S1,S2,...Sn}, gdje je (S1,..Sn) stupčana reprezentacija matrice, sadržan u prostoru jednostupčanih matrica s m redaka ; [{S1,...Sn}]< Mm1 ?
Unaprijed hvala na pomoći!

[logikaus]

Može li mi netko pojasniti zašto prilikom rješavanja sustava smijemo množiti s elementom koji sadrži nepoznanicu.
Kada u jednom retku imamo npr
0 0 a-3 0, onda imamo dva slučaja koja gledamo posebno i to razumijem.
Ali ako npr imamo dva retka
0 1 a-3 4
0 2 1 7, zašto sada smijemo 2. redak množiti s -(a-3) i dodati prvome bez da gledamo uvijet a-3=0 ? Hvala.

[malimis]

Jer u prvom slucaju dijelis sa nepoznanicom, ne znas dal je a-3=0 i onda moras gledati slucajeve jer sa nulom ne smijes dijeliti, a u drugom slucaju mnozis sa a-3, znaci ne dijeli, nego mnozis pa a-3 moze biti nula..ako me razumijes ?

[size=9][color=#999999]Added after 2 minutes:[/color][/size]

tj. mnozis sa -1/a-3

[logikaus]

[upomoc]

Moze pomoc u vezi ova dva zadatka s popravnog?

1. Ako su vektori R1, R2 ε F^n dva različita rješenja nekog nehomogenog
sustava linearnih jednadžbi s n nepoznanica, za svaki od sljedećih vektora
ispitajte je li on rješenje istog tog nehomogenog sustava ili pridruženog
homogenog sustava ili nijednog od ta dva sustava:
3 R1 - 2R2 , R1 + R2 , 4 R1 - 2R2, 3 R1 - 3R2 , -R1 + 2R2 .

2. Neka je D = { a iz Q : a = m/2^k, m iz Z, k iz N U {0}}
Ispitajte je li (D, +) grupa.

hvala

[logikaus]

U dosadašnjim kolokvijima javljale su se oznake M2(R) i M2(C)...
Zanima me što to točno znači, odnosno znači li M2(C) da su elementi matrice kompleksni brojevi, ili da se matrica može množiti kompleksnim brojem, ili oboje?
Kako bi se označilo da su elementi matrice kompleksni brojevi, ali da skalari mogu biti samo iz R (npr. kod provjere potprostora)?

[goranm]

[Juraj Siftar]

Prethodni post (goranm) privremeno zanemarite.

Odgovori (za logikaus):

Ako piše M_mn(F), koeficijenti u matrici su iz polja F.
To je vektorski prostor ne samo nad F nego i nad svakim
potpoljem polja F (najčešće su u pitanju C i R, a može biti
i npr. R i Q). U zadacima se obično pojavi razmatranje
vektorskog prostora C^n nad C i C^n nad R, odnosno
matrica M_mn(C) nad C i nad R.
Dimenzija nad R uvijek je dvostruko veća od dimenzije
nad C.
To je sve točno objašnjeno i razrađeno na predavanjima
i vježbama.
U zadacima je redovito naglašeno ako se gleda (i) nad
C i nad R.

Juraj Šiftar

[Juraj Siftar]

Nastavak:

Također, u označavanju, stavljalo se R kao indeks iza oznake
prostora C^n ili M_mn(C) kako bi se naglasilo da se uzima
prostor nad poljem R.

To se može uočiti u raznim zadacima u domaćim zadaćama.

npr. 3. zadaća, zadatak 3.(d)
ili 4. zadaća. zadatak 1.(d) i 2.(d).

Naravno, i sam C je i kompleksni i realni vektorski prostor
(detaljno objašnjavano na predavanjima).

R je vektorski prostor i nad samim R i nad Q
(no, ovaj drugi, R nad Q, nije konačnodimenzionalan, što za
definiciju vektorskog prostora nije bitno, no nije loše uočiti
razliku kakva može nastupiti kad se uzme neko potpolje).