Rezultati popravnog kolokvija od 2. rujna 2014.

[Juraj Siftar]

Rezultati popravnog kolokvija

Sve daljnje obavijesti i komentari uskoro na ovom forumu.
Završnom ispitu mogu pristupiti kandidati koji
su ostvarili 50, odnosno 48 bodova.


1191231056 0+0+1+4+1 = 6
1191232165 3+0+5+5+7+0 = 20
1191225405 0+0+9+8+0+0 = 17
1191231014 6+0+13+8+1+1 = 29
0067345162 0+0+13+12+1+5 = 31
1191232069 0+5+8+5+1+0 = 19
1191226033 1+0+1+9+10+3 = 24
1191230108 1+0+12+15+14+8 = 50
1191222396 1+0+15+15+9+8 = 48
1191230940 0+0+2+10+1+0 = 13
1191232032 1+0+12+14+0+0 = 27
1191230982 0+0+10+12+2+0 = 24
1191226631 0+0+3+0+0+0 = 3
1191224957 1+8+8+10+0+1 = 28
1191221448 1+0+0+11+1+0 = 13
1191230977 0+0+12+8+0+0 = 20
1191228407 9+0+2+10+0+0 = 21
1192032253 0+0+4+8+15+1 = 28
0055467118 1+0+11+6+15+0 = 33
1191226925 2 +0+6+5+7+0 = 20
1191219112 2+0+1+10+10+1 = 24
1191225538 0+0+3+7+0+0 = 10
1191229381 1+0+8+8+0+0 = 17
1191230017 0+2+8+14+14+0+0 = 38

[Juraj Siftar]

Kao prvo, ispričavam se zbog zakašnjenja za nešto više od
sat vremena u objavljivanju rezultata. Razlog je "tehnički" -
oko 15 sati ovaj forum bio mi je nedostupan na internetu od
kuće pa sam rezultate uspio objaviti tek kad sam stigao
na fakultet.

Uvidi su, kako je i najavljeno, danas (četvrtak) od 17 sati
i sutra (petak) od 14-15 sati.

Preporučam da prije dolaska na uvide pogledate upute i rješenja
koja će uslijediti u mojem sljedećem postu na ovom forumu.

[Juraj Siftar]

Zadaci na popravnom kolokviju

Zadatak 1. (15 bodova)
Neka je S = { A iz M2(R) : det A = 1}, P = { A iz M3(R) : det A > 0}.
Ispitajte jesu li S i P grupe s obzirom na množenje matrica.

Zadatak 2. (15 bodova)
Označimo s P3 vektorski prostor svih realnih polinoma stupnja najviše 3, nad poljem R.
Odredite dimenziju linearne ljuske [S] podskupa S od P3 koji čine polinomi čiji su svi
koeficijenti pozitivni neparni cijeli brojevi. Ako podskup S sadrži neku bazu prostora P3
navedite jednu takvu bazu.

Zadatak 3. (15 bodova)
Riješite sustav linearnih jednadžbi:

2x1 + 2 x2 - x3 = 2
x1 + x2 + x3 - 2 x4 = 3
5x1 - x2 + 2x3 - 3 x4 = -1
Napišite, ako postoji, rješenje tog sustava za koje vrijedi
x1 + x2 + x3 + x4 = 45.
Odredite ono rješenje (a1, a2, a3, a4) pridruženog homogenog sustava za koje je
umnožak a1a2a3a4 = 9.

Zadatak 4. (20 bodova)
Zadana je matrica T =
a 0 b 0
0 a 0 b
b 0 a 0
0 b 0 a pri čemu su a i b realni parametri.
(1) Izračunajte det T. (2) Izračunajte rang T u ovisnosti o a i b.
(3) Izaberite po volji neke cjelobrojne vrijednosti a i b, obje različite od 0, takve da T
bude regularna. Za izabrane vrijednosti izračunajte inverznu matricu T-1.
(4) Odredite sumu svih potprostora koji predstavljaju skupove rješenja jednadžbe
TX = 0 (X i 0 su jednostupčane matrice, 0 je nulmatrica) za slučajeve kada T nije
regularna.
Zadatak 5. (15 bodova)
Neka je A M2(R) matrica sustava linearnih jednadžbi AX = B. Je li sustav AtX = B
ekvivalentan sustavu AX = B za svaku matricu A i svaku B M21(R) (pri čemu je At transponirana matrica)?

Zadatak 6. (20 bodova)
Opišite u potpunosti strukturu skupa svih rješenja općeg homogenog sustava
linearnih jednadžbi s n nepoznanica. Dokažite navedene tvrdnje.

[Juraj Siftar]

1. zadatak

I S i P su grupe, to su podgrupe grupe regularnih matrica reda 2,
odnosno reda 3.

Provjeru svojstava grupe bitno olakšava Binet-Cauchyjev teorem,
iako ga nije nužno primjenjivati.

Npr. zatvorenost: ako matrice A i B obje imaju determinantu 1,
vrijedi li to i za AB? Analogno za matrice s pozitivnom determinantom.
Zbog det AB = det A det B to je očito.

Naravno, det I = 1, pozitivna.

Determinanta inverzne matrice jednaka je recipročnoj vrijednosti
determinante te matrice. Zato očito svaka matrica iz S, odnosno P,
ima svoju inverznu matricu u istom podskupu.

I to je sve.


2. zadatak

S je zapravo takav da je [S] cijeli prostor P3.
Lako se vidi da linearna ljuska od S sadrži npr standardnu bazu,
no treba početi npr s bazom 1, 1+t, 1+t+t^2, 1+t+t^2+t^3.


3. zadatak.
Rješenje sustava je 1-parametarsko,
bazu pridruženog homogenog sustava čini npr. (1,3,8,6).
Rješenje sustava uz dodatni uvjet sa zbrojem 45
jest (2,9,20,14) (vidi datum pisanja kolokvija).
Rješenje homogenog sustava s dodatnim uvjetom su dva,

(1/2, 3/2, 4, 3) i -(1/2, 3/2, 4, 3).

4. zadatak

det T = (a^2 - b^2)^2 = (a+b)^2 (a-b)^2.

Odavde je jasno da rang nije maksimalan (4) samo
za slučajeve a = b i a = - b, kada je očito 2, posebno, dakako,
0 ako je a=b=0.

Inverznu matricu mnogi su izračunali (manje-više dobro)
za izbor a=1, b = 2 ili obrnuto.

Za a=b (ali ne 0) i a=-b dobiju se 2-dim potprostori čija suma
je čitav R^4.
Jasno, ako se uzme i slučaj T = 0 (nezanimljiv) prostor rješenja
trivijalno je cijeli R^4.

5. zadatak

Sustavi nisu uvijek ekvivalentni. Nekolicina je našla protuprimjere,
posebno za Cramerov sustav (što može, ali ne mora biti)
gdje se za (jedinstveno) rješenje vidi da nije jednako za oba sustava,
osim trivijalno kad je A simetrična.