|
Preostale su još dvije tematske cjeline u kolegiju:
[i]Grupe automorfizama i diferencijski skupovi [/i]
(3. i 6. poglavlje)
[i]Uvod u teoriju kodiranja[/i] (9. poglavlje).
Evo kratkog uvoda o grupama automorfizama
i diferencijskim skupovima.
Kao i općenito u različitim geometrijama, [i]grupe automorfizama[/i]
imaju važnu ulogu u konačnim geometrijama, osobito za
konstrukciju incidencijskih struktura, posebno blok-dizajna,
za proučavanje njihovih svojstava te za klasifikaciju srodnih
struktura.
(Naravno, za klasifikaciju bitni su [i]izomorfizmi[/i], no također,
primjerice, blok-dizajni s jednakim parametrima svakako su
bitno različiti, to jest neizomorfni, ako su njihove pune grupe
automorfizama različite).
Kod incidencijskih struktura automorfizam je, najkraće rečeno,
bijekcija te strukture na samu sebe koja čuva relaciju
incidencije (točka i blok incidentni su ako i samo ako su
incidentne njihove slike u toj bijekciji). U terminima afinih
i projektivnih ravnina, to je čuvanje kolinearnosti.
Ovdje, za naš predmet, naglasak je na nekim od osnovnih
metoda za konstrukciju dizajna pomoću automorfizama.
Glavna je ideja da se iz jednog temeljnog bloka (podskupa
skupa točaka) djelovanjem pogodne grupe automorfizama
dobije ili sve blokove ili čim više njih, Dakle, dobro odabrana
grupa svojim bi djelovanjem mogla značajno olakšati često
mukotrpan zadatak pojedinačne konstrukcije blokova prema
zadanim uvjetima.
Za već poznate dizajne puna grupa automorfizama može se
izračunati odnosno primijeniti raspoložive programske
sustave za njihovo računalno određivanje, dok za konstrukciju
još nepoznatih dizajna, sa zadanim parametrima, treba i
nagađati i pokušavati s različitim (apstraktnim) grupama u
njihovim permutacijskim reprezentacijama. Takav posao zahtjevan
je i neizvjestan, jer grupe relativno malog reda pružaju i
relativno skromnu redukciju problema konstrukcije, dok je
grupe "velikog" reda (barem jednakog broju točaka dizajna)
ili teško podesiti prema traženom dizajnu ili, kako se često
ustanovi, uopće ne mogu djelovati na hipotetičkom dizajnu.
Primjerice, dosta dugo vjerovalo se da simetrični dizajn
mora imati netrivijalnu grupu automorfizama, ali pronađeni
su najprije simetrični (36,15,6) dizajni bez netrivijalnih automorfizama.
(Dizajni s tim parametrima pojavljuju se, međutim, u
golemom broju neizomorfinih modela, preko 25 000, od kojih
velika većina posjeduje netrivijalnu grupu).
Dakle, čak ni za tako pravilne strukture pokušaji konstrukcije
na temelju djelovanja pretpostavljene grupe nisu uvijek
pouzdani, ali takve metode ipak daju veliko bogatstvo
rezultata.
U 3. poglavlju izloženi su neki osnovni pojmovi i činjenice
o djelovanju permutacijskih grupa na konačnim skupovima.
Traženi blokovi interpretiraju se kao podskupovi koji čine
istaknutu kolekciju u partitivnom skupu promatranog
(apstraktnog) skupa točaka. Tu su važni pojmovi [i]orbite[/i],
[i]stabilizatora, t-homogenog[/i] i [i]t-tranzitivnog[/i] djelovanja grupe
te relacije kojima su povezane.
Bitan je Teorem 3.16. po kojemu postojanje t-homogene
grupe implicira postojanje t-dizajna na promatranom skupu.
Konstrukcija je načelno vrlo jednostavna, ali dosezi efektivne
primjene nisu osobito veliki, ne samo zbog rijetkosti grupa
stupnja homogenosti barem 3.
Iznimno su značajni primjeri Carmichael/ Wittovih dizajna
5-(24,8,1) i 5-(12,6,1) s Mathieu-ovim grupama M_24 i M_12
(5-tranzitivnom odnosno strogo 5-tranzitivnom grupom,
koje su ujedno i prve otkrivene sporadične proste grupe).
Nama su, za početak, dostatni standardni primjeri (strogo) 2-tranzitivne
afine grupe AGL(1,q) na afinom pravcu s q točaka (tj. na konačnom
polju GF(q)) (to su bijekcije φ (x) = ax+b, uz a ≠ 0)
te (strogo) 3-tranzitivne projektivne grupe PGL(2,q) na
projektivnom pravcu PG(1,q).
Detaljnije dalje na forumu:
http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=20351
Druga metoda (zapravo varijanta prethodne, ali razrađena
u posebnom kontekstu) sastoji se u primjeni diferencijskih skupova.
[i]Diferencijski skup[/i] je podskup D konačne grupe G (ne nužno Abelove,
ali naravno da je lakše raditi s komutativnim grupama) čija
svojstva osiguravaju da se jednostavnim djelovanjem same G
dobije simetrični dizajn. Posebno je jednostavno ako se to može
ostvariti unutar cikličke grupe. Neke primjere već smo vidjeli
tokom nastave, bez općenite razrade
(Paleyev teorem za Hadamardove dizajne, neke cikličke
konstrukcije projektivnih ravnina).
Teorija diferencijskih skupova dobro je razvijena i vrlo složena.
Očitom modifikacijom dizajni se mogu konstruirati i polazeći
od familije diferencijskih skupova u grupi.
Za nas su ovdje važni osnovni teoremi (6.14., 6.18. i 6.19)
te primjeri koji su u skriptama detaljno izloženi.
Problem konstrukcije diferencijskog skupa često se može
bitno olakšati postojanjem prikladnog [i]multiplikatora[/i], a onda se,
primjerice, i dosta velike projektivne ravnine, reda 8 i 9,
konstruiraju bez poteškoća, s jednostavnim ispisom pravaca.
Preostale su još dvije tematske cjeline u kolegiju:
Grupe automorfizama i diferencijski skupovi
(3. i 6. poglavlje)
Uvod u teoriju kodiranja (9. poglavlje).
Evo kratkog uvoda o grupama automorfizama
i diferencijskim skupovima.
Kao i općenito u različitim geometrijama, grupe automorfizama
imaju važnu ulogu u konačnim geometrijama, osobito za
konstrukciju incidencijskih struktura, posebno blok-dizajna,
za proučavanje njihovih svojstava te za klasifikaciju srodnih
struktura.
(Naravno, za klasifikaciju bitni su izomorfizmi, no također,
primjerice, blok-dizajni s jednakim parametrima svakako su
bitno različiti, to jest neizomorfni, ako su njihove pune grupe
automorfizama različite).
Kod incidencijskih struktura automorfizam je, najkraće rečeno,
bijekcija te strukture na samu sebe koja čuva relaciju
incidencije (točka i blok incidentni su ako i samo ako su
incidentne njihove slike u toj bijekciji). U terminima afinih
i projektivnih ravnina, to je čuvanje kolinearnosti.
Ovdje, za naš predmet, naglasak je na nekim od osnovnih
metoda za konstrukciju dizajna pomoću automorfizama.
Glavna je ideja da se iz jednog temeljnog bloka (podskupa
skupa točaka) djelovanjem pogodne grupe automorfizama
dobije ili sve blokove ili čim više njih, Dakle, dobro odabrana
grupa svojim bi djelovanjem mogla značajno olakšati često
mukotrpan zadatak pojedinačne konstrukcije blokova prema
zadanim uvjetima.
Za već poznate dizajne puna grupa automorfizama može se
izračunati odnosno primijeniti raspoložive programske
sustave za njihovo računalno određivanje, dok za konstrukciju
još nepoznatih dizajna, sa zadanim parametrima, treba i
nagađati i pokušavati s različitim (apstraktnim) grupama u
njihovim permutacijskim reprezentacijama. Takav posao zahtjevan
je i neizvjestan, jer grupe relativno malog reda pružaju i
relativno skromnu redukciju problema konstrukcije, dok je
grupe "velikog" reda (barem jednakog broju točaka dizajna)
ili teško podesiti prema traženom dizajnu ili, kako se često
ustanovi, uopće ne mogu djelovati na hipotetičkom dizajnu.
Primjerice, dosta dugo vjerovalo se da simetrični dizajn
mora imati netrivijalnu grupu automorfizama, ali pronađeni
su najprije simetrični (36,15,6) dizajni bez netrivijalnih automorfizama.
(Dizajni s tim parametrima pojavljuju se, međutim, u
golemom broju neizomorfinih modela, preko 25 000, od kojih
velika većina posjeduje netrivijalnu grupu).
Dakle, čak ni za tako pravilne strukture pokušaji konstrukcije
na temelju djelovanja pretpostavljene grupe nisu uvijek
pouzdani, ali takve metode ipak daju veliko bogatstvo
rezultata.
U 3. poglavlju izloženi su neki osnovni pojmovi i činjenice
o djelovanju permutacijskih grupa na konačnim skupovima.
Traženi blokovi interpretiraju se kao podskupovi koji čine
istaknutu kolekciju u partitivnom skupu promatranog
(apstraktnog) skupa točaka. Tu su važni pojmovi orbite,
stabilizatora, t-homogenog i t-tranzitivnog djelovanja grupe
te relacije kojima su povezane.
Bitan je Teorem 3.16. po kojemu postojanje t-homogene
grupe implicira postojanje t-dizajna na promatranom skupu.
Konstrukcija je načelno vrlo jednostavna, ali dosezi efektivne
primjene nisu osobito veliki, ne samo zbog rijetkosti grupa
stupnja homogenosti barem 3.
Iznimno su značajni primjeri Carmichael/ Wittovih dizajna
5-(24,8,1) i 5-(12,6,1) s Mathieu-ovim grupama M_24 i M_12
(5-tranzitivnom odnosno strogo 5-tranzitivnom grupom,
koje su ujedno i prve otkrivene sporadične proste grupe).
Nama su, za početak, dostatni standardni primjeri (strogo) 2-tranzitivne
afine grupe AGL(1,q) na afinom pravcu s q točaka (tj. na konačnom
polju GF(q)) (to su bijekcije φ (x) = ax+b, uz a ≠ 0)
te (strogo) 3-tranzitivne projektivne grupe PGL(2,q) na
projektivnom pravcu PG(1,q).
Detaljnije dalje na forumu:
http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=20351
Druga metoda (zapravo varijanta prethodne, ali razrađena
u posebnom kontekstu) sastoji se u primjeni diferencijskih skupova.
Diferencijski skup je podskup D konačne grupe G (ne nužno Abelove,
ali naravno da je lakše raditi s komutativnim grupama) čija
svojstva osiguravaju da se jednostavnim djelovanjem same G
dobije simetrični dizajn. Posebno je jednostavno ako se to može
ostvariti unutar cikličke grupe. Neke primjere već smo vidjeli
tokom nastave, bez općenite razrade
(Paleyev teorem za Hadamardove dizajne, neke cikličke
konstrukcije projektivnih ravnina).
Teorija diferencijskih skupova dobro je razvijena i vrlo složena.
Očitom modifikacijom dizajni se mogu konstruirati i polazeći
od familije diferencijskih skupova u grupi.
Za nas su ovdje važni osnovni teoremi (6.14., 6.18. i 6.19)
te primjeri koji su u skriptama detaljno izloženi.
Problem konstrukcije diferencijskog skupa često se može
bitno olakšati postojanjem prikladnog multiplikatora, a onda se,
primjerice, i dosta velike projektivne ravnine, reda 8 i 9,
konstruiraju bez poteškoća, s jednostavnim ispisom pravaca.
|
