Zadatak- POLINOMI

[I]

Molio bih da netko objasni postupak rješavanja ovakvih zadataka s polinomima. Ja sam još prošle godine slušao LA2 ,i mi na vježbama asistenta I. Siladića polinome skoro da nismo taknuli,bilo je rečeno da je analogno ostalome(R3,R4, M2...),a ja nikako da skužim analogiju . Dakle
ZAD. Zadan je lin. op. T2 u P2 sa
T(a+bt+ct^2)=1/3 (a+2b-c+3bt-2(a-b-c)t^2)
a)odredite matricu operatora T u kanonskoj bazi
b) ispitajte je li T projektor
c) odredite r(T) i d(T).

Sad mene zanima kako se to prikazuje u matrici,taj operator, u biti,sve pod a,b i c Molio bih pomoć i unaprijed hvala

[Gost]

Standardna baza za prostor polinoma sastoji se od polinoma: 1, t, t^2,...,t^n (do stupnja koji već trebaš). U matričnom prikazu tretiraš te polinome redom onako kao što postupaš s (1,0,...0), (0,1,0,...,0), ..., (0,0,...,0,1). u R^(n+1). Poredak može biti i obrnut, da se počne od t^n, to se lako prilagodi.
Znači, izračunaš T-slike od 1, t i t^2. (Možeš polinome zvati npr. p_0, p_1, p_2 s p_i(t) = t^i).
T(1) = 1/3 (jer a=1, b=c=0).
T(t) = 1/3( 2 + 3t +2t^2) (jer a=0, b=1, c=0)
T(t^2) = 1/3 (-1+2t^2) (jer a=b=0, c=1).

Dakle, matrica je 1/3 * matrica:

1 2 -1

0 3 0

0 2 2


(ako se nisam negdje sitno zabunio, ali već vidiš kako ide).

Sad se iz matrice lako izračuna rang i defekt (koji je jednak 3-rang).

Projektor neće biti jer ne vrijedi T^2 = T za taj operator.

[Gost]

Sad sam si uočio pogrešku u prethodnom -
T(1) = 1/3 (1 - 2 t^2) (previdio sam onaj koeficijent a uz t^2).
Zbog toga se mije ja i odgovor o projektoru,naime vrijedi T^2 = T (lako se izračuna) pa T jest projektor. Sorry...

[I]

Ok,shvaćam,hvala ti.