Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Greske na MA1 i MA2
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Gost






PostPostano: 17:18 pet, 6. 2. 2004    Naslov: Greske na MA1 i MA2 Citirajte i odgovorite

Ispravljajuci rok od 04.02.2004. uocila sam neke zabrinjavajuce greske koje se ponavljaju kod vise studenata pa se nadam da ce spominjanje nekih od njih na forumu pomoci.

Prvo, studenti koji su odslusali bar 1 semestar analize, a pogotovu dva, trebali bi znati sto je opca potencija x<na>x... No, izgleda to ne znaju i vecinom misle da je to ili polinom (sto nije - eksponent nije konstantan) ili eksponencijalna funkcija (sto nije - baza nije konstantna). Ipak, to je blize eksponencijalnoj jer je sluzbena definicija opce potencije x<na>x=e<na>(xln x) :!: :!:

Drugo, cini mi se da su mnogi studenti uspjeli dobiti novu vrstu logaritma koji ima vrijednost 0 u nuli (ln 0 nije definiran :!: :!: :!: ), a ima i onih kojima, ako je ln x definirano, ln (-x) takodjer ima smisla (ako je ln x definirano znaci da je x>0 znaci da je -x<0 znaci da ln (-x) nema smisla).

Trece, L'Hopitalovo pravilo je primjenjivo samo na izraze tipa besk/besk ili 0/0 (a ne i na izraze ostalih tipova, osim eventualno nakon preoblikovanja izraza).

Cetvrto, korijen iz 2 ili logaritam od 5 ili slicno su konstante!!! (ne ovise o varijabli funkcije oznacenoj s kojim vec slovom), dakle su derivirane jednake nuli.

Peto, ako je funkcija def. na <a,+beskonacno>, onda stvarno nema smisla racunati njen limes kad x ide u -beskonacno.

A dalo bi se nac jos ponesto, ali necu vise...

Pozdrav
FMB :patkica:



[color=darkred][b]Admin (vsego) edit[/b]: Ovo mi se cini kao prilicno znacajan topic, pa kao takav dobija status "[i]Sticky[/i]". :) Hvala Franki! 8)[/color]
Ispravljajuci rok od 04.02.2004. uocila sam neke zabrinjavajuce greske koje se ponavljaju kod vise studenata pa se nadam da ce spominjanje nekih od njih na forumu pomoci.

Prvo, studenti koji su odslusali bar 1 semestar analize, a pogotovu dva, trebali bi znati sto je opca potencija x<na>x... No, izgleda to ne znaju i vecinom misle da je to ili polinom (sto nije - eksponent nije konstantan) ili eksponencijalna funkcija (sto nije - baza nije konstantna). Ipak, to je blize eksponencijalnoj jer je sluzbena definicija opce potencije x<na>x=e<na>(xln x) Exclamation Exclamation

Drugo, cini mi se da su mnogi studenti uspjeli dobiti novu vrstu logaritma koji ima vrijednost 0 u nuli (ln 0 nije definiran Exclamation Exclamation Exclamation ), a ima i onih kojima, ako je ln x definirano, ln (-x) takodjer ima smisla (ako je ln x definirano znaci da je x>0 znaci da je -x<0 znaci da ln (-x) nema smisla).

Trece, L'Hopitalovo pravilo je primjenjivo samo na izraze tipa besk/besk ili 0/0 (a ne i na izraze ostalih tipova, osim eventualno nakon preoblikovanja izraza).

Cetvrto, korijen iz 2 ili logaritam od 5 ili slicno su konstante!!! (ne ovise o varijabli funkcije oznacenoj s kojim vec slovom), dakle su derivirane jednake nuli.

Peto, ako je funkcija def. na <a,+beskonacno>, onda stvarno nema smisla racunati njen limes kad x ide u -beskonacno.

A dalo bi se nac jos ponesto, ali necu vise...

Pozdrav
FMB Patkica



Admin (vsego) edit: Ovo mi se cini kao prilicno znacajan topic, pa kao takav dobija status "Sticky". Smile Hvala Franki! Cool


[Vrh]
glenda_north
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 18. 11. 2003. (21:13:31)
Postovi: (2F)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0
Lokacija: NORTH

PostPostano: 21:17 pet, 6. 2. 2004    Naslov: Citirajte i odgovorite

Imam jedno pitanje u vezi tog zadatka. samo me zanima da li sam tu izgubila bodove. Ja sam taj integral x^x*(1+ ln x) na segmentu od 0 do 2 napisala kao x^x u granicama od 0 do 2 zbog onoga da je x^x derivirano= x^x*(lnx+1). :?:
Imam jedno pitanje u vezi tog zadatka. samo me zanima da li sam tu izgubila bodove. Ja sam taj integral x^x*(1+ ln x) na segmentu od 0 do 2 napisala kao x^x u granicama od 0 do 2 zbog onoga da je x^x derivirano= x^x*(lnx+1). Question



_________________
GLENDA_NORTH
life is good
and goodness lasts forever
#butterfly
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3560)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init

PostPostano: 0:46 sub, 7. 2. 2004    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="glenda_north"]Ja sam taj integral x^x*(1+ ln x) na segmentu od 0 do 2 napisala kao x^x u granicama od 0 do 2 zbog onoga da je x^x derivirano= x^x*(lnx+1). :?:[/quote]

To bas ne ide tako, jer x^x nije definirano u nuli. :( Ispravno bi bilo napisati x^x u granicama od [i]t[/i] do 2, gdje t->0+ ([i]t[/i] s desna tezi u nulu). 8)

Ne znam kako ti se to odrazilo na bodove... :?
glenda_north (napisa):
Ja sam taj integral x^x*(1+ ln x) na segmentu od 0 do 2 napisala kao x^x u granicama od 0 do 2 zbog onoga da je x^x derivirano= x^x*(lnx+1). Question


To bas ne ide tako, jer x^x nije definirano u nuli. Sad Ispravno bi bilo napisati x^x u granicama od t do 2, gdje t→0+ (t s desna tezi u nulu). Cool

Ne znam kako ti se to odrazilo na bodove... Confused



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.
Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
fmb
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 02. 2004. (12:34:47)
Postovi: (B6)16
Sarma = la pohva - posuda
12 = 16 - 4

PostPostano: 15:04 sri, 18. 2. 2004    Naslov: Re: Greske na MA1 i MA2 - DODATAK Citirajte i odgovorite

Upravo sam ispravljala ispite iz Teorije skupova (kolegij 3. godine). Jedan od zadataka bio je prebrojati koliko ima funkcija koje su jednom, ali ne i dvaput, derivabilne u 1. Greske koje su se pojavile ticu se iskljucivo gradiva MA1, pa smatram da je dobro da na njih ovdje upozorim.

Svi, osim 2 studenata, razmisljali su na iduci nacin: da bi funkcija bila derivabilna, mora biti neprekidna, a kako neprekidnih funkcija na R znamo koliko ima (znamo u Teoriji skupova, nije bitno za MA1), znaci da funkcija koje su derivabilne u 1, ali nisu dvaput, nema vise nego neprekidnih funkcija na R.

Problem je u slijedecem: tocno je da funkcija ne moze biti derivabilna [i]u 1[/i] ako nije neprekidna [i]u 1[/i]. No to ne znači da je neprekidna na cijelom skupu R. Ima puno (vjerujte, a trebali biste i znati: jaaaako puno :wink: ) funkcija koje su neprekidne u točki 1, ali nisu neprekidne na R (pa čak ni na nekom manjem podskupu).

FMB :patkica:
Upravo sam ispravljala ispite iz Teorije skupova (kolegij 3. godine). Jedan od zadataka bio je prebrojati koliko ima funkcija koje su jednom, ali ne i dvaput, derivabilne u 1. Greske koje su se pojavile ticu se iskljucivo gradiva MA1, pa smatram da je dobro da na njih ovdje upozorim.

Svi, osim 2 studenata, razmisljali su na iduci nacin: da bi funkcija bila derivabilna, mora biti neprekidna, a kako neprekidnih funkcija na R znamo koliko ima (znamo u Teoriji skupova, nije bitno za MA1), znaci da funkcija koje su derivabilne u 1, ali nisu dvaput, nema vise nego neprekidnih funkcija na R.

Problem je u slijedecem: tocno je da funkcija ne moze biti derivabilna u 1 ako nije neprekidna u 1. No to ne znači da je neprekidna na cijelom skupu R. Ima puno (vjerujte, a trebali biste i znati: jaaaako puno Wink ) funkcija koje su neprekidne u točki 1, ali nisu neprekidne na R (pa čak ni na nekom manjem podskupu).

FMB Patkica



_________________
"Have patience. Go where you must, and hope."
(Gandalf in J.R.R.Tolkien's "The Lord of the Rings")
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Edo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 02. 2004. (23:03:41)
Postovi: (6C)16
Sarma = la pohva - posuda
= 4 - 1

PostPostano: 11:58 ned, 22. 2. 2004    Naslov: opca potencija Citirajte i odgovorite

Zasto, pobogu, x^x nazivate opcom potencijom. Jest da je terminologija stvar dogovora, ali meni se cini normalnim da je x^c , opca potencija (c element R). To je ono sto se zove na engleskom power function (vidi, npr. Marsden&Hoffman, Elementary Classical analysis, str. 262). Gotovo sve knige koje ja znam to zovu opcom potencijom. U svojoj knjizi Analiza 1, Mardesic (str. 204) ima svoje vidjenje o opcoj potenciji, koje mi je malo cudno, ali x^x, nisam nikad vidio pod tim imenom.
Zasto, pobogu, x^x nazivate opcom potencijom. Jest da je terminologija stvar dogovora, ali meni se cini normalnim da je x^c , opca potencija (c element R). To je ono sto se zove na engleskom power function (vidi, npr. Marsden&Hoffman, Elementary Classical analysis, str. 262). Gotovo sve knige koje ja znam to zovu opcom potencijom. U svojoj knjizi Analiza 1, Mardesic (str. 204) ima svoje vidjenje o opcoj potenciji, koje mi je malo cudno, ali x^x, nisam nikad vidio pod tim imenom.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
veky
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Sarma = la pohva - posuda
22 = 24 - 2
Lokacija: negdje daleko...

PostPostano: 12:42 ned, 22. 2. 2004    Naslov: Re: opca potencija Citirajte i odgovorite

[quote="Edo"]Zasto, pobogu, x^x nazivate opcom potencijom. Jest da je terminologija stvar dogovora, ali meni se cini normalnim da je x^c , opca potencija (c element R). To je ono sto se zove na engleskom power function (vidi, npr. Marsden&Hoffman, Elementary Classical analysis, str. 262). Gotovo sve knige koje ja znam to zovu opcom potencijom. U svojoj knjizi Analiza 1, Mardesic (str. 204) ima svoje vidjenje o opcoj potenciji, koje mi je malo cudno, ali x^x, nisam nikad vidio pod tim imenom.[/quote]

Za mene je opća potencija funkcija dvije varijable, pow(x,y):=e^(y*ln x) ( /; x@|R+ & y@|R ). ( To npr. Mathematica zove Power . :-) ) Kad kažem da je x^x opća potencija, ne mislim "je" u smislu pune definicije, već kao specijalni oblik. Želim samo reći da nema smisla tretirati npr. (-1/3)^(-1/3) (as -trecikorijen(3) ) kao vrijednost od x^x , ako se ta funkcija promatra analitički.
Edo (napisa):
Zasto, pobogu, x^x nazivate opcom potencijom. Jest da je terminologija stvar dogovora, ali meni se cini normalnim da je x^c , opca potencija (c element R). To je ono sto se zove na engleskom power function (vidi, npr. Marsden&Hoffman, Elementary Classical analysis, str. 262). Gotovo sve knige koje ja znam to zovu opcom potencijom. U svojoj knjizi Analiza 1, Mardesic (str. 204) ima svoje vidjenje o opcoj potenciji, koje mi je malo cudno, ali x^x, nisam nikad vidio pod tim imenom.


Za mene je opća potencija funkcija dvije varijable, pow(x,y):=e^(y*ln x) ( /; x@|R+ & y@|R ). ( To npr. Mathematica zove Power . Smile ) Kad kažem da je x^x opća potencija, ne mislim "je" u smislu pune definicije, već kao specijalni oblik. Želim samo reći da nema smisla tretirati npr. (-1/3)^(-1/3) (as -trecikorijen(3) ) kao vrijednost od x^x , ako se ta funkcija promatra analitički.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
fmb
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 02. 2004. (12:34:47)
Postovi: (B6)16
Sarma = la pohva - posuda
12 = 16 - 4

PostPostano: 7:32 uto, 24. 2. 2004    Naslov: Re: opca potencija Citirajte i odgovorite

[quote="Edo"]Zasto, pobogu, x^x nazivate opcom potencijom. Jest da je terminologija stvar dogovora, ali meni se cini normalnim da je x^c , opca potencija (c element R). To je ono sto se zove na engleskom power function (vidi, npr. Marsden&Hoffman, Elementary Classical analysis, str. 262). Gotovo sve knige koje ja znam to zovu opcom potencijom. U svojoj knjizi Analiza 1, Mardesic (str. 204) ima svoje vidjenje o opcoj potenciji, koje mi je malo cudno, ali x^x, nisam nikad vidio pod tim imenom.[/quote]

Postoji vise matematickih pojmova kojima terminologija nije ujednacena (npr. prebrojivost), i to se ne desava samo kod nas tj. u hrvatskom jeziku. Iz određenih razloga dogovor na MA1 i MA2 je ovo zvati općom potencijom jer je na neki način opća (zapravo se radi o svim potencijama jedne varijable oblika u(x)^v(x) koje se onda def kao exp(v(x) ln u(x)) ) jer u sebi takva definicija sadrzi kako potencije s varijabilnom bazom i konstantnim eksponentom ("obicne" potencije x^c) i one s konstantnom bazom i varijabilnim eksponentom (eksponencijalne funkcije a^x).

FMB :patkica:
Edo (napisa):
Zasto, pobogu, x^x nazivate opcom potencijom. Jest da je terminologija stvar dogovora, ali meni se cini normalnim da je x^c , opca potencija (c element R). To je ono sto se zove na engleskom power function (vidi, npr. Marsden&Hoffman, Elementary Classical analysis, str. 262). Gotovo sve knige koje ja znam to zovu opcom potencijom. U svojoj knjizi Analiza 1, Mardesic (str. 204) ima svoje vidjenje o opcoj potenciji, koje mi je malo cudno, ali x^x, nisam nikad vidio pod tim imenom.


Postoji vise matematickih pojmova kojima terminologija nije ujednacena (npr. prebrojivost), i to se ne desava samo kod nas tj. u hrvatskom jeziku. Iz određenih razloga dogovor na MA1 i MA2 je ovo zvati općom potencijom jer je na neki način opća (zapravo se radi o svim potencijama jedne varijable oblika u(x)^v(x) koje se onda def kao exp(v(x) ln u(x)) ) jer u sebi takva definicija sadrzi kako potencije s varijabilnom bazom i konstantnim eksponentom ("obicne" potencije x^c) i one s konstantnom bazom i varijabilnim eksponentom (eksponencijalne funkcije a^x).

FMB Patkica



_________________
"Have patience. Go where you must, and hope."
(Gandalf in J.R.R.Tolkien's "The Lord of the Rings")
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Edo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 02. 2004. (23:03:41)
Postovi: (6C)16
Sarma = la pohva - posuda
= 4 - 1

PostPostano: 16:04 uto, 24. 2. 2004    Naslov: Citirajte i odgovorite

Moja zamjerka ide na to da ta funkcija ne slici potenciji. Njen je graf vise nalik eksponencijalnoj funkciji (tamo gdje je definirana, naravno) nego potenciji. Kad mi neko kaze potencija, ja razmisljam o polinomijalnom rastu, a ne eksponencijalnom. Ovaj je i vise od eksponencijalnog. Mislim, kod nas u matematickoj fizici se cesto kaze da nesto zadovoljava "zakon potencije". Time s misli da raste kao x^c, za neki c. Sasvim je druga stvar kad nesto zadovoljava "eksponencijani zakon". To nazivlje, istina, dolazi o fizicara i kemicara, ali je dosta standardno pa su ga prihvatili i mnogi matematicari.
Moja zamjerka ide na to da ta funkcija ne slici potenciji. Njen je graf vise nalik eksponencijalnoj funkciji (tamo gdje je definirana, naravno) nego potenciji. Kad mi neko kaze potencija, ja razmisljam o polinomijalnom rastu, a ne eksponencijalnom. Ovaj je i vise od eksponencijalnog. Mislim, kod nas u matematickoj fizici se cesto kaze da nesto zadovoljava "zakon potencije". Time s misli da raste kao x^c, za neki c. Sasvim je druga stvar kad nesto zadovoljava "eksponencijani zakon". To nazivlje, istina, dolazi o fizicara i kemicara, ali je dosta standardno pa su ga prihvatili i mnogi matematicari.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
fmb
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 02. 2004. (12:34:47)
Postovi: (B6)16
Sarma = la pohva - posuda
12 = 16 - 4

PostPostano: 10:19 sri, 25. 2. 2004    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Edo"]Moja zamjerka ide na to da ta funkcija ne slici potenciji. Njen je graf vise nalik eksponencijalnoj funkciji (tamo gdje je definirana, naravno) nego potenciji. Kad mi neko kaze potencija, ja razmisljam o polinomijalnom rastu, a ne eksponencijalnom. Ovaj je i vise od eksponencijalnog. Mislim, kod nas u matematickoj fizici se cesto kaze da nesto zadovoljava "zakon potencije". Time s misli da raste kao x^c, za neki c. Sasvim je druga stvar kad nesto zadovoljava "eksponencijani zakon". To nazivlje, istina, dolazi o fizicara i kemicara, ali je dosta standardno pa su ga prihvatili i mnogi matematicari.[/quote]

Jasno je iz definicije da je x^x više eksponencijalna funkcija nego obična potencija... Ipak, moje mišljenje (ne kažem službeno) je da naziv nije loš jer se (jezično) pod potencijom podrazumijeva svaki izraz oblika a^b.
No tko zna, možda se netko odluči x^x službeno drugačije nazvat, pa bum poslušala naredbu :lol:

FMB
Edo (napisa):
Moja zamjerka ide na to da ta funkcija ne slici potenciji. Njen je graf vise nalik eksponencijalnoj funkciji (tamo gdje je definirana, naravno) nego potenciji. Kad mi neko kaze potencija, ja razmisljam o polinomijalnom rastu, a ne eksponencijalnom. Ovaj je i vise od eksponencijalnog. Mislim, kod nas u matematickoj fizici se cesto kaze da nesto zadovoljava "zakon potencije". Time s misli da raste kao x^c, za neki c. Sasvim je druga stvar kad nesto zadovoljava "eksponencijani zakon". To nazivlje, istina, dolazi o fizicara i kemicara, ali je dosta standardno pa su ga prihvatili i mnogi matematicari.


Jasno je iz definicije da je x^x više eksponencijalna funkcija nego obična potencija... Ipak, moje mišljenje (ne kažem službeno) je da naziv nije loš jer se (jezično) pod potencijom podrazumijeva svaki izraz oblika a^b.
No tko zna, možda se netko odluči x^x službeno drugačije nazvat, pa bum poslušala naredbu Laughing

FMB



_________________
"Have patience. Go where you must, and hope."
(Gandalf in J.R.R.Tolkien's "The Lord of the Rings")
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16

PostPostano: 13:18 uto, 1. 2. 2005    Naslov: Citirajte i odgovorite

Mislim da je ovo zavrijedilo biti posebno istaknuto:

U vezi limesa (nizova ili funkcija)... Limes nekog izraza ne smijemo računati tako da neke dijelove izraza pustimo na limes, ostale ostavimo netaknute, a onda dalje računamo limes jednostavnijeg izraza. Nema pravila za računanje limesa koje bi dozvoljavalo tako nešto. Štoviše, to pogrešno zaključivanje može dovesti i do proturječnosti. Naprimjer,

[latex]\displaystyle\frac{2}{5}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^3+3n^2}{5n^3+7n^2}=\left[\displaystyle\frac{:n^4}{:n^4}\right]=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{\frac{5}{n}+\frac{7}{n^2}}=(\textrm{krivo})=\\
=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n}+\frac{7}{n^2}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{0+\frac{3}{n^2}}{0+\frac{7}{n^2}}=\left[\displaystyle\frac{\cdot n^2}{\cdot n^2}\right]=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3}{7}=\displaystyle\frac{3}{7}[/latex]

Opširnije:
http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=3376&start=8
Mislim da je ovo zavrijedilo biti posebno istaknuto:

U vezi limesa (nizova ili funkcija)... Limes nekog izraza ne smijemo računati tako da neke dijelove izraza pustimo na limes, ostale ostavimo netaknute, a onda dalje računamo limes jednostavnijeg izraza. Nema pravila za računanje limesa koje bi dozvoljavalo tako nešto. Štoviše, to pogrešno zaključivanje može dovesti i do proturječnosti. Naprimjer,



Opširnije:
http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=3376&start=8


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan