|
[quote][b]Dokaz:[/b]Najprije primijetimo da se [latex]\delta(\alpha)[/latex] mijenja samo ako [latex]\alpha[/latex] prolazi kroz nultočku neke od derivacija [latex]f^{(i)}[/latex]. [i][color=red](Evo ja već ne razumijem zašto mora prolaziti? I što znači da [latex]\alpha[/latex] prolazi kroz nultočku?)[/color][/i].[/quote]
Hoce se reci: uzmimo da je [latex]\alpha[/latex] na pocetku jednak jednom kraju intervala [latex]\[a,b\][/latex], te ga pustimo da putuje prema drugom kraju -- shvati to kao "autoinkrement" (odnosno, "autodekrement") od [latex]\alpha[/latex], kad bi takvo sto u [latex]\mathbb{R}[/latex] bilo moguce definirati. Dakle, ako u tom intervalu postoji nultocka polinoma [latex]f[/latex], [latex]\alpha[/latex] mora kroz nju proci.
[quote]Da bismo izračunali broj promjena predznaka, razlikujemo dva slučaja:
(i) [latex]\alpha[/latex] je nultočka od f kratnosti m. U tom slučaju [latex]f(\alpha)=\cdots=f^{(m-1)}(\alpha)=0, f^{(m)}(\alpha)\neq 0[/latex]. Prema Taylorovoj formuli:
[latex]\displaystyle f(\alpha+h)=\frac{f^{(m)}(\alpha)}{m!}h^m+\ldots,\\ f'(\alpha+h)=\frac{f^{(m)}(\alpha)}{(m-1)!}h^{m-1}+\ldots,\\ \ldots\ldots\ldots=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\ \ldots\ldots\ldots=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\ \ldots\ldots\ldots=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\ f^{(m)}(\alpha+h)=f^{(m)}(\alpha)+\ldots[/latex].
Za dovoljno malo h izrazi napisani na desnim stranama ovih jednakosti dominantni su [i][color=red](Što to znači da su dominantni?)[/color][/i][/quote]
[i]Vjerojatno[/i] se misli na to da prvi ne-nul clan Taylorovog reda, uz uvjet da je [latex]h[/latex] "dovoljno mali", po modulu dominira nad ostatkom reda.
[quote]i ako h prolazi s [b]pozitivnih na negativne[/b] vrijednosti, broj promjena predznaka u podnizu [latex]f,f',\ldots,f^{(m)}[/latex] niza (*) jest m [i][color=red](Što znači da h prolazi s pozitivnih na negativne vrijednosti? I zašto je baš m promjena predznaka?)[/color][/i],[/quote]
Primijeti koliko je vazan smjer u kojem [latex]h[/latex] mijenja vrijednosti, odnosno gleda se okolina od [latex]\alpha[/latex] s desna na lijevo. Parne potencije od [latex]h[/latex], bio [latex]h[/latex] pozitivan ili negativan, daju pozitivne vrijednosti, dok neparne potencije za negativni [latex]h[/latex] daju negativne vrijednosti. Sad malo upogoni mastu (a.k.a. olovku) i vidjet ces da je broj promjena predznaka kroz [latex]\alpha[/latex] upravo [latex]m[/latex]. (Svaka negativna vrijednost generira po jednu promjenu predznaka sa svakim susjedom.)
[quote]a taj se broj podudara i s brojem prijeđenih nultočaka.[i][color=red](Koje su to prijeđene nultočke i zašto se ti brojevi podudaraju?)[/color][/i].[/quote]
Mozda je problem u nepreciznoj formulaciji teorema: kad se spominje broj nultocki, misli se na njihovu kratnost (tj. moze biti rijec samo o jednoj nultocki, uracunatoj vise puta). Sad je jasno (?) zasto se ti brojevi podudaraju.
[quote](ii) [latex]\alpha[/latex] je nultočka kratnosti [latex]l[/latex] neke derivacije [latex]f^{(i)} (i>0)[/latex], ali nije nultočka od [latex]f^{(i-1)}[/latex]. Tada je [latex]f^{(i)}(\alpha)=\cdots=f^{(i+l-1)}(\alpha)=0, f^{(i+l)}\neq 0[/latex]. Kao i u (i), dobivamo [latex]l[/latex] promjena predznaka u podnizu [latex]f^{(i)},\ldots,f^{(i+l)}[/latex]. Nadalje:
[latex]\displaystyle f^{(i-1)}(\alpha+h)=f^{(i-1)}(\alpha)+\frac{f^{(i+l)}(\alpha)}{(l+1)!}h^{l+1}+\ldots\\ f^{(i)}(\alpha+h)=\frac{f^{(i+l)}(\alpha)}{l!}h^l+\ldots[/latex]
Ako je [latex]l[/latex] paran, nikoji od [latex]f^{(i-1)},f^{(i)}[/latex] ne mijenja predznak, pa je broj promjena [latex]l[/latex] [i][color=red](Zašto ne mijenjaju predznak i zašto ih je baš [latex]l[/latex]?)[/color][/i].[/quote]
[latex]f^{(i)}[/latex] ne mijenja predznak jer [latex]h[/latex] dolazi na parnu potenciju. Zasto [latex]f^{(i-1)}[/latex] ne mijenja predznak... hm, rekao bih da uvijek mozemo naci [latex]h_0[/latex] t. d. je [latex]\forall\,h\le h_0[/latex] [latex]\frac{f^{(i+l)}(\alpha)}{(l+1)!}h^{l+1}+\cdots[/latex]
(tj. nekonstantni dio reda) po modulu strogo manji od [latex]f^{(i-1)}(\alpha)[/latex].
[quote]Ako je [latex]l[/latex] neparan, [latex]f^{(i)}[/latex] mijenja predznak ako [latex]f^{(i-1)}[/latex] ne mijenja [i][color=red](Zašto?)[/color][/i],[/quote]
Ovaj dio mi je mutan... iz prethodnih je napomena jasno zasto [latex]f^{(i-1)}[/latex] ne mijenja predznak i zasto bi [latex]f^{(i)}[/latex] trebao mijenjati, samo me svrha "ako" price zbunjuje. Uglavnom, (recimo da) tvrdnje stoje.
[quote]pa postoji i druga promjena predznaka [i][color=red](Koja druga promjena?)[/color][/i] ,[/quote]
Promjena izmedju [latex]f^{(i-1)}[/latex] i [latex]f^{(i)}[/latex]. Naime, za sve vece [latex]i[/latex] vec smo ustanovili da je broj tih promjena [latex]l[/latex].
[quote]te ih ukupno ima [latex]l\pm1[/latex] [i][color=red](Zašto baš toliko?)[/color][/i], što je opet paran broj.[/quote]
Zato sto gledamo samo lijevog susjeda od [latex]f^{(i)}[/latex], kojem se promijenio predznak.
[quote]Iz (i) i (ii) slijedi tvrdnja (primijetimo da za isti [latex]\alpha[/latex] ne mogu nastupiti oba slučaja).[i][color=red](Zašto točno ne mogu nastupiti oba slučaja? I kako znamo da (i) i (ii) pokrivaju sve mogućnosti?)[/color][/i].[/quote]
Rekao bih da je rezon ovakav: [latex]\alpha[/latex] jest nutocka -- slucaj (i), ili nije, ali vrijedi (ii). To zbilja iscrpljuje sve slucajeve, jer je [latex]\delta[/latex] konstantna za sve [latex]\alpha[/latex] koji ne zadovoljavaju niti (i) niti (ii). Naime, mi citavo vrijeme akumuliramo [i]razlike[/i] promjena broja predznaka po intervalu [latex]\[a,b\][/latex].
Nadam se da sve ovo ima nekog smisla :/
| Citat: | Dokaz:Najprije primijetimo da se  mijenja samo ako  prolazi kroz nultočku neke od derivacija  . (Evo ja već ne razumijem zašto mora prolaziti? I što znači da prolazi kroz nultočku?). |
Hoce se reci: uzmimo da je na pocetku jednak jednom kraju intervala  , te ga pustimo da putuje prema drugom kraju – shvati to kao "autoinkrement" (odnosno, "autodekrement") od , kad bi takvo sto u  bilo moguce definirati. Dakle, ako u tom intervalu postoji nultocka polinoma  , mora kroz nju proci.
| Citat: | Da bismo izračunali broj promjena predznaka, razlikujemo dva slučaja:
(i) je nultočka od f kratnosti m. U tom slučaju  . Prema Taylorovoj formuli:
 .
Za dovoljno malo h izrazi napisani na desnim stranama ovih jednakosti dominantni su (Što to znači da su dominantni?) |
Vjerojatno se misli na to da prvi ne-nul clan Taylorovog reda, uz uvjet da je  "dovoljno mali", po modulu dominira nad ostatkom reda.
| Citat: | i ako h prolazi s pozitivnih na negativne vrijednosti, broj promjena predznaka u podnizu  niza (*) jest m (Što znači da h prolazi s pozitivnih na negativne vrijednosti? I zašto je baš m promjena predznaka?), |
Primijeti koliko je vazan smjer u kojem mijenja vrijednosti, odnosno gleda se okolina od s desna na lijevo. Parne potencije od , bio pozitivan ili negativan, daju pozitivne vrijednosti, dok neparne potencije za negativni daju negativne vrijednosti. Sad malo upogoni mastu (a.k.a. olovku) i vidjet ces da je broj promjena predznaka kroz upravo  . (Svaka negativna vrijednost generira po jednu promjenu predznaka sa svakim susjedom.)
| Citat: | | a taj se broj podudara i s brojem prijeđenih nultočaka.(Koje su to prijeđene nultočke i zašto se ti brojevi podudaraju?). |
Mozda je problem u nepreciznoj formulaciji teorema: kad se spominje broj nultocki, misli se na njihovu kratnost (tj. moze biti rijec samo o jednoj nultocki, uracunatoj vise puta). Sad je jasno (?) zasto se ti brojevi podudaraju.
| Citat: | (ii) je nultočka kratnosti  neke derivacije  , ali nije nultočka od  . Tada je  . Kao i u (i), dobivamo promjena predznaka u podnizu  . Nadalje:
Ako je paran, nikoji od  ne mijenja predznak, pa je broj promjena (Zašto ne mijenjaju predznak i zašto ih je baš ?). |
ne mijenja predznak jer dolazi na parnu potenciju. Zasto ne mijenja predznak... hm, rekao bih da uvijek mozemo naci  t. d. je  
(tj. nekonstantni dio reda) po modulu strogo manji od  .
| Citat: | | Ako je neparan, mijenja predznak ako ne mijenja (Zašto?), |
Ovaj dio mi je mutan... iz prethodnih je napomena jasno zasto ne mijenja predznak i zasto bi trebao mijenjati, samo me svrha "ako" price zbunjuje. Uglavnom, (recimo da) tvrdnje stoje.
| Citat: | | pa postoji i druga promjena predznaka (Koja druga promjena?) , |
Promjena izmedju i . Naime, za sve vece  vec smo ustanovili da je broj tih promjena .
| Citat: | te ih ukupno ima  (Zašto baš toliko?), što je opet paran broj. |
Zato sto gledamo samo lijevog susjeda od , kojem se promijenio predznak.
| Citat: | | Iz (i) i (ii) slijedi tvrdnja (primijetimo da za isti ne mogu nastupiti oba slučaja).(Zašto točno ne mogu nastupiti oba slučaja? I kako znamo da (i) i (ii) pokrivaju sve mogućnosti?). |
Rekao bih da je rezon ovakav: jest nutocka – slucaj (i), ili nije, ali vrijedi (ii). To zbilja iscrpljuje sve slucajeve, jer je  konstantna za sve koji ne zadovoljavaju niti (i) niti (ii). Naime, mi citavo vrijeme akumuliramo razlike promjena broja predznaka po intervalu .
Nadam se da sve ovo ima nekog smisla 
|
