Nekoliko zadataka iz zadaca (zadatak)

[Martinab]

G konaèna grupa u kojoj vrijedi kracenje.
Dokazite da je G grupa.
Pokazite da je uvjet konaènosti bitan.

Zadatak je vjerojatno trebao ici: G konacna POLUGRUPA u kojoj vrijedi kracenje.

SKICA:

Znaci imamo zatvorenost i asoc, treba pokazati da 1)obostranu jedinicu 2) obostrane inverze.

Za svaki element g gledamo preslikavanje l_g :G→G definirano sa l_g(h)=gh (lijevo mnozenje)

Zbog uvjeta kracenja ispada da je to injekcija, pa je zbog konacnosti bijekcija

Zbog toga za svaki element g postoji neki element h takav da je gh=g. Onda pokazemo da su svi ti h-ovi isti (opet koristimo bijektivnost)- imamo desnu jedinicu.

Analogno pokazemo da imamo i lijevu, i sad koristimo onaj zadatak s vjezbi da, ako imamo bar jednu lijevu i bar jednu desnu, moraju biti jednake.

Postojanje inverza sad slijedi iz bijektivnosti.

Protuprimjer je (N,+).

Detalje provjerite sami.

_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.

[Martinab]

H,K ⇐ G, x,y iz G.
Hx=Ky ⇒ H=K.

Jer je e u H, slijedi da je ex u Ky, tj. postoji k iz K td je x=ky. Stoga je yx^-1 =k^-1 iz K, pa imamo

H=(Hx)x^-1=Kyx^-1=Kk^-1=K

_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.

[Martinab]

f: P→R homomorfizam
J prost ideal u R ⇔ praslika od J prost u P

Ovo ide odmah iz definicije prostog ideala. f cuva sve operacije jer je homomorfizam prstenova.

_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.

[Martinab]

R integralna domena s jedinicom i svi ideali su glavni. Tada je svaki netrivijalni prosti ideal maksimalan.

U domeni glavnih ideala je ideal prost ↔ generiran je prostim elementom; maksimalan↔ generiran je ireduc elementom. Dakle, treba samo dokazati da je svaki prosti element ireducibilan.

Nismo li to dokazivali na vjezbama? Ide u dva reda iz definicije prostog i ireducibilnog...

_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.

[Martinab]

A prsten neprekidnih funkcija. Dokazite da je I={f element A, f(0) = 0}
maksimalan ideal.

Za dokazati da je ideal, treba dokazati da je potprsten (za svaki f,g iz I f-g i f*g su iz I), i da je ideal (za svaki f iz I i g iz A je fg iz I- dovoljno za jednostrani ideal, jer je A komutativan)

Dokaz da je maksimalan... Jedan koji mi sad pada na pamet je pogledati kvocijent A/I. Znaci imamo prsten neprekidnih funkcija, i ne razlikujemo one funkcije koje imaju istu vrijednost u 0 (tocno to znaci da im je razlika u I). Pa sto nam onda ostaje (sto znamo razlikovati)? Samo koja je vrijednost funkcije u 0. A to je tocno (R,+,*), polje realnih brojeva. Dakle, kvocijent je polje, pa je ideal maksimalan.

_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.