|
[quote]treba naći minimum sume kvadrata udaljenosti točke od koordinatnih ravnina za točke (x,y,z) koje pripadaju elipsoidi x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2[color=red][b]=1[/b][/color] u ovisnosti o a,b,c.[/quote]
Gost je zamijenio ulogu funkcija f i g...
Treba naći minimum funkcije f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, uz uvjet da je točka na elipsoidu, tj. g(x,y,z)=0 za g(x,y,z)=x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2-1.
Lagrange: F(x,y,z,L)=(x^2+y^2+z^2)-L(x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2-1)
Deriviranjem po x, y, z dobivamo 2x-2x L/a^2=0, ...
tj. x (a^2-L) = y (b^2-L) = z (c^2-L) = 0
Uz to mora vrijediti x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2=1.
za x=y=0 dobije se z=c ili z=-c (i slicno)
---> imamo 6 stacionarnih točaka, tjemena elipsoida.
Računamo vrijednosti od f u tim točkama ... c^2 (odnosno a^2, b^2).
Najmanja je vrijednost na krajevima najkraće osi.
za x=0, y<>0 i z<>0 dobije se L=b^2=c^2,
pa je to moguće samo za specijalni elipsoid uz b=c... iz zadnjeg uvjeta iz x=0 slijedi y^2+z^2=b^2. Rješenja su točke presjeka elipsoida s ravninom x=0, tj. jedne kružnice.
U svim tim točkama vrijednost fje f je ista... b^2
Ako je a=b ...
Ako je c=a ...
u slučaju a=b=c elipsoid je sfera, i sve su točke "stacionarne", zapravo f je konstanta na sferi.
| Citat: | | treba naći minimum sume kvadrata udaljenosti točke od koordinatnih ravnina za točke (x,y,z) koje pripadaju elipsoidi x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2=1 u ovisnosti o a,b,c. |
Gost je zamijenio ulogu funkcija f i g...
Treba naći minimum funkcije f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, uz uvjet da je točka na elipsoidu, tj. g(x,y,z)=0 za g(x,y,z)=x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2-1.
Lagrange: F(x,y,z,L)=(x^2+y^2+z^2)-L(x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2-1)
Deriviranjem po x, y, z dobivamo 2x-2x L/a^2=0, ...
tj. x (a^2-L) = y (b^2-L) = z (c^2-L) = 0
Uz to mora vrijediti x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2=1.
za x=y=0 dobije se z=c ili z=-c (i slicno)
→ imamo 6 stacionarnih točaka, tjemena elipsoida.
Računamo vrijednosti od f u tim točkama ... c^2 (odnosno a^2, b^2).
Najmanja je vrijednost na krajevima najkraće osi.
za x=0, y<>0 i z<>0 dobije se L=b^2=c^2,
pa je to moguće samo za specijalni elipsoid uz b=c... iz zadnjeg uvjeta iz x=0 slijedi y^2+z^2=b^2. Rješenja su točke presjeka elipsoida s ravninom x=0, tj. jedne kružnice.
U svim tim točkama vrijednost fje f je ista... b^2
Ako je a=b ...
Ako je c=a ...
u slučaju a=b=c elipsoid je sfera, i sve su točke "stacionarne", zapravo f je konstanta na sferi.
|
