Jos jedan zadatak! (zadatak)

[ACO]

Dokazati da za harmonijske brojeve Hn definisane sa H0=0, Hn=1+1/2+...+1/n (n iz N) vazi

a) "suma od n=0 do beskonacno" (Hn*X^n)= - [ln (1-X)]/(1-X)
b) "suma od k=0 do (n-1)" Hk= n*Hn -n ili = n(Hn - 1)

NAPOMENA:
Nisam znao kako da napisem sumu od do pa sam to ovako napisao "suma od n=0 do beskonacno"
Hn, Hk - n i k indeksi

Hvala unaprijed

[ACO]

Pa zar niko ne zna???


PS: Da li se nekad desilo na forumu da neko ne zna da uradi neki zadatak i da je ostao ne uradjen

[Gost]

[vsego]

[Gost]

(b) je očito lakši . Treba samo "pregrupirati" članove kad se ispiše
H1 + H2 + ...+ H(n-1) pa se najprije uzmu "jedinice" (ima ih n-1) pa
onda članovi 1/2 (ima ih n-2) itd, sve do 1/(n-1) koji se pojavljuje samo
jedanput. Dakle, ukupno imamo:

(n-1) + (n-2)/2 + (n-3)/3 + ... + [n - (n-1)]/(n-1) =

n (1 + 1/2 + ... + 1/(n-1)] -1-1...-1 = n H(n-1) - (n-1) = nH(n-1) + 1 - n

i još se iskoristi 1 = n * (1/n) pa se dobije traženi rezultat.

Za (a) treba znati da je suma x^n za n od 0 do beskonačno jednaka
1/(1-x) za x apsolutno manji od 1 i također Taylorov red

ln (1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 ...itd (za x apsolutno manji od 1),

a onda je postupak sličan kao u (b): "pregrupira se" i zbroji.

[ACO]