Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - DIFRAF- predavanja (skripta)

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli

#1: DIFRAF- predavanja (skripta) Autor/ica: frutabella,

Postano: 19:52 čet, 13. 9. 2012
—
Molila bih objasnjenje kako se je doslo do

||fk||1 = 1, (a i onaj prvi zakljucak mi nije sasvim jasan) Embarassed

na stranici 8.

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o2.pdf

Hvala!

#2: Autor/ica: grizly,

Postano: 21:03 sub, 15. 9. 2012
—
što se tiče max norme, pogledaj što sve može postići funkcija. u nuli ti nestane onaj član s minusom pa funkcija ima najveću vrijednost, kad uvrstiš nulu dobiješ točno 2k.
što se tiče 1-norme, integriraš: zapravo integriraš samo -2k^2*t+2k od 0 do 1/k (jer ostalo je nul-funkcija i nema velikog smisla integrirati) Smile

onda se valjda svi k-ovi pokrate nakon uvrštavanja granica i dobije se 1 (nisam pisala na papir, ali ovako na pogled mi se čini da se tako dobije).

#3: Autor/ica: pedro,

Postano: 16:23 ned, 16. 9. 2012
—
može primjer 3.4 i 3.7 objasniti malo bolje?

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

#4: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 21:00 ned, 16. 9. 2012
—
Dakle, skup je otvoren ako oko svake točke skupe možeš opisati kuglu takvu da je cijela kugla unutar skupa - to je ono što definicija kaže. Naravno, "kugla" po izgledu ovisi o metrici, ali standardna je, dakle, ona u kojoj je otvorena kugla u [tex]\mathbb{R}[/tex] otvoreni interval, u [tex]\mathbb{R}^2[/tex] krug bez ruba (kružnice), a u [tex]\mathbb{R}^3[/tex] kugla bez ruba (sfere). Jasno? Smile

Sada gledaj primjer 3. 4. i skupove koji su zadani. Za prvi primjer, pošto gledaš je li skup otvoren u [tex]\mathbb{R}[/tex], pokušavaš svakoj točki pripisati određen otvoreni interval takav da je cijeli unutar zadanog intervala. I to je stvarno moguće! Recimo, za proizvoljni [tex]x \in \left< 0,1 \right>[/tex] vrijedi: ako je [tex]x<\frac{2}{3}[/tex], [tex]x \in \left< \frac{x}{2}, \frac{3x}{2} \right> \subset \left< 0,1 \right>[/tex], inače [tex]x \in \left< \frac{3x-1}{2}, \frac{1+x}{2} \right> \subset \left< 0,1 \right>[/tex]. Ako mi ne vjeruješ, provjeri za vježbu. Smile

(Rapišeš, ili ti ovako kažem da sam jedan rub namještao tako da bude "na pola puta" između [tex]x[/tex]-a i ruba intervala, a drugi sam potom izračunao tako da je [tex]x[/tex] u središtu.)
S druge strane, za isti otvoreni interval u [tex]\mathbb{R}^2[/tex] tražiš krugove bez ruba kojima ćeš opisati točku, a da je svejedno unutar intervala. I da budem precizan, zapravo promatramo skup [tex]\left\{ (x,0) : x \in \left< 0,1 \right> \right\}[/tex]. A po drugoj slici već primjećuješ da, kako god nacrtala taj krug oko neke točke, krug će sadržavati točke s različitim vrijednostima druge koordinate, dok zadani skup ima samo jednu - nulu. Zbog toga takav krug nikako ne može biti unutar cijelog skupa, pa tako ni skup nije otvoren.
(Formalnije, moraš za neku točku i proizvoljnu otvorenu okolinu pokazati da sadrži točku koja je unutar kruga, ali ne i skupa. To bi, recimo, za točku [tex](x,0)[/tex] i krug radijusa [tex]R[/tex] bila točka [tex](x,\frac{R}{2})[/tex]. Više o tome u sljedećem primjeru pošto je sličan.)

Za 3. 7. primjećuješ da su oba skupa pruge između osi [tex]x=0[/tex] i [tex]x=1[/tex], s tim da prvi nema nijedan pravac uključen u skup, a drugi ima točno jedan, ovaj drugi. Kada gledaš skicu, vidiš da se ne trebaš opterećivati s vrijednostima druge, [tex]y[/tex] koordinate - bitno je samo da je unutar pruge.
Za bilo koju točku [tex](x,y)[/tex] koja nije na pravcima (naravno, [tex]0<x<1[/tex]) možeš uzeti skup takav da je prva koordinata ograničena slično kao u prethodnom primjeru: za [tex]x<\frac{2}{3}[/tex] to je [tex]\left\{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 : \frac{x}{2} <a< \frac{3x}{2} \right\}[/tex], inače je [tex]\left\{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 : \frac{3x-1}{2} <a< \frac{1+x}{2} \right\}[/tex] - i to je otvorena kugla početne točke koja je unutar prugi (slična "fora" kao i u 3. 6.). Dakle, prvi skup je zaista otvoren.
(Sada slijedi diskusija za drugi skup.)
No, što ako uzmeš točku oblika [tex](1,y)[/tex]? Već smo komentirali kako otvorena kugla u [tex]\mathbb{R}^2[/tex] sadrži točke različitih vrijednosti prve i druge koordinate, naravno u određenoj okolini točke. Slično, pošto radimo krug u okolini te točke, sigurno sadrži točke čija je prva koordinatna vrijednost "jako blizu" [tex]1[/tex]. A ako kugla sadrži točke s prvom koordinatom većom od [tex]1[/tex], nije dobro jer te su točke izvan početnog skupa.
Dakle, da pokažeš da je skup otvoren moraš svakoj točki naći otvorenu kuglu koja je još uvijek unutar skupa. Da pokažeš da skup nije otvoren moraš pokazati da postoji točka čija nijedna otvorena okolina (kugla) nije unutar skupa - negacija. Pa, pošto sam već komentirao za točke oblika [tex](1,y)[/tex], uzmimo za nju proizvoljnu kuglu radijusa [tex]R[/tex]. Da sad ne kompliciram s izrazima preko metrike i korijenja, skiciraj neku ovakvu točku - recimo, [tex](1,0)[/tex], i nacrtaj bilo koji krug oko te točke, neki što manji. Primijeti da taj krug sigurno neće biti unutar pruge jer je "desna polovica" kruga uvijek izvan nje.
Formalno, s točkom [tex](1,0)[/tex] i krugom radijusa [tex]R[/tex] znaš da je točka [tex](1+\frac{R}{2},0)[/tex] također unutar kruga - na pola puta između tražene točke i ruba kruga, kružnice. A ta točka definitivno nije unutar pruge, odnosno početnog skupa pošto je [tex]1+\frac{R}{2}>1[/tex].
Dakle, donekle neformalno, ali da se napisati formalnije, pokazali smo negaciju tvrdnje - za neku konkretnu točku skupa uzeli smo proizvoljnu kuglu i pronašli točku unutar kugle koja nije unutar skupa, pruge. Pošto je negacija tvrdnje istinita, tvrdnja za otvoren skup ne vrijedi. Dakle, drugi skup nije otvoren.

Evo, nadam se da je jasno, ali prije svega i točno - zapetljao sam se tipkajući. Razz

Nemam nijednu skicu, da objašnjavam uživo, crtao bih pa bi bilo jasnije. Nadam se da je i ovako dobro. Smile

Pitaj ako nije jasno u svakom slučaju. Wink

I crtaj (ili zamišljaj u glavi). Very Happy

#5: Autor/ica: pedro,

Postano: 11:54 ned, 23. 9. 2012
—
sve jasnoo, hvalaa

možeš sada dokazati propoziciju 3.5 s iste strane Very Happy

#6: Autor/ica: goranm,

Postano: 13:23 ned, 23. 9. 2012
—

Phoenix (napisa):

Dakle, skup je otvoren ako oko svake točke skupe možeš opisati kuglu takvu da je cijela kugla unutar skupa - to je ono što definicija kaže.

Definicija kaze da ta kugla mora biti otvorena. Wink

#7: Autor/ica: pedro,

Postano: 18:23 ned, 23. 9. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

prop 3.29 i primjer 3.31 sa strane 5 Very Happy

#8: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 21:59 ned, 23. 9. 2012
—
pedro, gdje zapinje s [tex]3.5[/tex]? Smile

Dat ću ti samo hintove pa, ako nešto i dalje nije jasno, objasni točno što shvaćaš, a što ne.

[tex]1[/tex]° Za oba skupa primijeni definiciju. Ne moraš je niti raspisati, samo se uvjeri da je definicija zadovoljena za oba skupa.
(A ako te muči [tex]( \forall x \in \emptyset )[/tex], shvati to ovako. Za svaki [tex]x[/tex] koji se nalazi u skupu, provjeri vrijedi li to svojstvo. Samo ako si našao neki za koji ne vrijedi, otpada. Inače - super! (Pa makar i ne našao nijednog - evo ti veliki hint! Razz

))
[tex]2[/tex]° Odaberi neku točku [tex]x[/tex] iz proizvoljne unije (napomena - može biti i (prebrojivo) beskonačna). Ako se [tex]x[/tex] nalazi u uniji, znaš li u kojem se točno skupu nalazi? A što vrijedi za točno taj skup unutar kojeg je [tex]x[/tex]?
[tex]3[/tex]° Slično kao gore - što znači da je neka točka element presjeka? Što vrijedi za sve te skupove? Kako iz promatranih kugli pronaći onu koja se nalazi unutar svih presjeka?

Nadam se da je nakon ovoga ipak jasno. Smile

Posljednji post i upit, iskreno, ne razumijem. Ne znam je li to konstruirano kao pitanje pošto nema znaka upitnika na kraju posta ili ikakvog glagola koji bi naglasio da imaš kakvu dvojbu, kao ni imaš li dvojbu uopće pošto su i za propoziciju i za primjer dokazi napisani. Ali ne vidim čemu takav post ako to nije nikakav upit. Razz

Možeš li idući put samo jasnije napisati što te muči, što si pokazala ili shvatila, a što ne, i tako? Koliko god se trudim usput pisati što detaljnija i preglednija rješenja, bitnije mi je da ti pomognem ako te nešto muči, a ne mogu to ako mi tvoje pitanje nije dorečeno. Nema smisla da pišem sve ako ti i ne treba sve, uostalom (makar bi to lijepo izgledalo za forum, ali bi se onda pretvorio u zbirku rješenja zadataka po uzoru na skriptu s predavanja).

Dogovoreno? Smile

#9: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 22:30 ned, 23. 9. 2012
—
Točke 1 i 2 navedene propozicije su maksimalno trivijalne pa ti raspišem samo za točku 3.

Neka je [tex]k\in\mathbb N[/tex] i neka su [tex]A_1,\ldots ,A_k[/tex] otvoreni skupovi u [tex]\mathbb R^n[/tex].
Neka je [tex]a\in\underset{i=1}{\stackrel{k}{\bigcap}} A_i[/tex] proizvoljan.

[tex]a\in A_1[/tex] i [tex]A_1[/tex] otvoren [tex]\Longrightarrow (\exists r_1>0) \ K(a,r_1)\subseteq A_1[/tex]
[tex]a\in A_2[/tex] i [tex]A_2[/tex] otvoren [tex]\Longrightarrow (\exists r_2>0) \ K(a,r_2)\subseteq A_2[/tex]
[tex]\qquad\vdots[/tex]
[tex]a\in A_k[/tex] i [tex]A_k[/tex] otvoren [tex]\Longrightarrow (\exists r_k>0) \ K(a,r_k)\subseteq A_k[/tex]

Neka je sada [tex]r:=\min\{r_1,\ldots ,r_k\}[/tex]. Tada vrijedi [dtex](\forall i\in\{1,\ldots ,k\}) \ K(a,r)\subseteq A_i[/dtex]
pa imamo [dtex] K(a,r)\subseteq \underset{i=1}{\stackrel{k}{\bigcap}} A_i\Longrightarrow \underset{i=1}{\stackrel{k}{\bigcap}} A_i\text{ je otvoren skup.}[/dtex]

#10: Autor/ica: goranm,

Postano: 17:41 uto, 25. 9. 2012
—
Primijetih da mi je netko ujeo sarmu na ovom topicu, pretpostavljam zbog prethodnog posta koji se mozda cini cjepidlackim. Sarma je nebitna, ali je cjepidlacenje bitno. Objasniti cu i zasto: reci da "postoji kugla" ne znaci puno kada pricamo o otvorenim skupovima.

Kugla je (pod)skup (od [tex]\mathbb{R^n}[/tex]), isto kao sto je i pravac skup, a kao skup bez nekih drugih svojstava pridruzenih njemu ne moze utjecati na to da li je neki drugi skup otvoren. Otvorena kugla je element tzv. standardne topologije na [tex]\mathbb{R^n}[/tex] (ali kugla nije!), odnosno element familije svih podskupova od [tex]\mathbb{R^n}[/tex] koji zadovoljavaju odredjena tri aksioma (koji su za sad nebitni).

Upravo elemente te familije zovemo otvorenim skupovima i moze se pokazati da je u slucaju n-dimenzionalnog realnog prostora umjesto svih mogucih otvorenih skupova dovoljno promatrati ne kugle, nego otvorene kugle.

#11: Autor/ica: pedro,

Postano: 19:28 sri, 26. 9. 2012
—

Phoenix (napisa):

pedro, gdje zapinje s [tex]3.5[/tex]? Smile

ma trenutno mi je to sve toliko zbunjujuće tako da i najradije bi da se ovo pretvori u zbirku zadataka dok ne pohvatam sve te pojmove Razz

#12: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 23:29 sri, 26. 9. 2012
—
Rado bih čuo tvoje razmišljanje i ideje oko zadatka, ali očito te ne mogu na forumu forsirati ili ti davati "hitove". Razz

A ovo za zbirku zadataka... Pa, ovisi. Very Happy

Samo ću reći da takvu izjavu nema pravo svatko dati. Wink

A evo i rješenja, pošto moje natuknice iz prošlog posta nisu pomogle:

[tex]1[/tex]° Po definiciji otvorenog skupa trebamo pokazati:
[tex]( \forall x \in \emptyset ) ( \exists r > 0 ) ( K(x,r) \subseteq \emptyset )[/tex]
Tvrdnja zaista vrijedi za svaki element praznog skupa pošto prazan skup nema elemenata. Točnije, ovo "za svaki" možeš shvatiti kao "za svaki element skupa, ako postoji takav element". Tako da ova tvrdnja vrijedi.
Treba pokazati i:
[tex]( \forall x \in \mathbb{R}^n ) ( \exists r > 0 ) ( K(x,r) \subseteq \mathbb{R}^n )[/tex]
Dakle, za svaku točku treba pronaći neku otvorenu kuglu sa središtem u toj točki takva da cijela spada unutar prostora [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. A ovo zaista vrijedi, pošto jedino i promatramo točke unutar [tex]\mathbb{R}^n[/tex].
[tex]2[/tex]° Neka je [tex]\displaystyle x \in \bigcup_{i \in I}A_i[/tex] element (konačne ili beskonačne) familije skupova, [tex]I[/tex] je skup indeksa. Po definiciji unije [tex](\exists k \in I) (x \in A_k)[/tex]. [tex]A_k[/tex] je otvoren skup, stoga [tex](\exists r>0)(K(x,r) \subseteq A_k)[/tex]. No, očito, [tex]\displaystyle A_k \subseteq \bigcup_{i \in I}A_i[/tex], stoga je i [tex]K(x,r) \subseteq \bigcup_{i \in I}A_i[/tex].
Dakle, za proizvoljan [tex]x[/tex] iz proizvoljne familije otvorenih skupova pronašli smo otvorenu kuglu takvu da je ona cijela sadržana unutar iste familije. Time je tvrdnja dokazana.

Eto! Nadam se da je sada jasno, premda ne osjećam da sam išta više napisao nego u posljednjem postu. Smile

Nisam ništa raspisao osim što sam se pozvao na definicije, točnije svojstva otvorenog skupa i unije skupova. Razz

Ili možda treba još nešto dodatno raspisati, ali ja to ne vidim u ovom trenutku? U tom slučaju citiraj nejasni dio dokaza i viči. Wink

#13: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 7:15 čet, 27. 9. 2012
—

Phoenix (napisa):

[tex]1[/tex]° Po definiciji otvorenog skupa trebamo pokazati:
[tex]( \forall x \in \emptyset ) ( \exists r > 0 ) ( K(x,r) \subseteq \emptyset )[/tex]
Tvrdnja zaista vrijedi za svaki element praznog skupa pošto prazan skup nema elemenata. Točnije, ovo "za svaki" možeš shvatiti kao "za svaki element skupa, ako postoji takav element".

Prof. Pandžić je rekao da možemo tako argumentirati da je prazan skup otvoren, ali da možemo i reći da je otvoren po definiciji (bez argumentacije) i da mu je to čak i draže.

#14: Autor/ica: pedro,

Postano: 10:23 čet, 27. 9. 2012
—

Phoenix (napisa):

Rado bih čuo tvoje razmišljanje i ideje oko zadatka, ali očito te ne mogu na forumu forsirati ili ti davati "hitove". Razz

A ovo za zbirku zadataka... Pa, ovisi. Very Happy

Samo ću reći da takvu izjavu nema pravo svatko dati. Wink

Eto! Nadam se da je sada jasno, premda ne osjećam da sam išta više napisao nego u posljednjem postu. Smile

Nisam ništa raspisao osim što sam se pozvao na definicije, točnije svojstva otvorenog skupa i unije skupova. Razz

Ili možda treba još nešto dodatno raspisati, ali ja to ne vidim u ovom trenutku? U tom slučaju citiraj nejasni dio dokaza i viči. Wink

hehe, onda ću se potrudit sljedeći put napisati što sam točno skužila a gdje trebam tvoju pomoć Very Happy

i hvala ti na ovom objašnjenju al skužila sam ga i prvi put kad si ga napisao, možda sam to trebala dodatno napomenut, al nema veze, možda nekome zatreba ^^

#15: Autor/ica: rom,

Postano: 20:03 čet, 27. 9. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

propozicija 3.9.
Može li mi netko objasniti zašto je napisan ovaj korak u prvom smjeru dokaza: "Buduci da je [tex]x\in U[/tex] i [tex] U [/tex] otvoren postoji [tex]r > 0[/tex] t.d. je [tex] K(x,r) \subseteq U \subseteq A[/tex]." Naime, meni ta i rečenica prije te: "Ako je [tex]x \in Int A[/tex] onda postoji njegova otvorena okolina [tex]U[/tex] t.d je [tex] x \in U \subseteq A [/tex]" govore isto. -.-

#16: Autor/ica: goranm,

Postano: 23:51 čet, 27. 9. 2012
—

rom (napisa):

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

propozicija 3.9.
Može li mi netko objasniti zašto je napisan ovaj korak u prvom smjeru dokaza: "Buduci da je [tex]x\in U[/tex] i [tex] U [/tex] otvoren postoji [tex]r > 0[/tex] t.d. je [tex] K(x,r) \subseteq U \subseteq A[/tex]." Naime, meni ta i rečenica prije te: "Ako je [tex]x \in Int A[/tex] onda postoji njegova otvorena okolina [tex]U[/tex] t.d je [tex] x \in U \subseteq A [/tex]" govore isto. -.-

Taj korak je tu jer se pokazuje da je [tex]\displaystyle\textrm{Int}A=\{x\in\mathbb{R}^n\colon\exists r>0, K(x,r)\subseteq A\}[/tex]. Dakle, ne pokazuje se da je skup iz definicije od Int A jednak uniji svih otvorenih skupova u A nego se pokazuje da te U-ove mozemo zamijeniti otvorenim kuglama.

Recenica ""Ako je [tex]x \in Int A[/tex] onda postoji njegova otvorena okolina [tex]U[/tex](...)" je tu jer to je jedino sto znamo o nutrini (jer tako smo ju definirali) i to je jedini nacin da se dokopamo nekog otvorenog skupa. Onda koristimo definiciju otvorenog skupa da bi pokazali da U-ove mozemo zamijeniti otvorenim kuglama.

#17: Autor/ica: rom,

Postano: 7:19 pet, 28. 9. 2012
—
Puno hvala Very Happy

#18: Autor/ica: pedro,

Postano: 14:47 pet, 28. 9. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

PROP 3.29

jasno mi je sve i jasno mi je zašto moramo pokazati da je B zatvoren, i onda dalje mi je sve nekako zbunjujuće. može pomoć?

#19: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 18:09 pet, 28. 9. 2012
—
Može! Very Happy

Teorem [tex]3.22[/tex] kaže da je neki skup zatvoren akko taj isti skup sadrži sva svoja gomilišta. Konkretno, željeli bi dokazati da je opisani skup [tex]B[/tex] zatvoren, a ekvivalentno je pokazati da je gomilište skupa [tex]y \in B'[/tex] također element tog skupa, odnosno [tex]y \in B[/tex].
Pa, neka je [tex]y \in B'[/tex] gomilište skupa [tex]B[/tex]. Iz definicije gomilišta skupa, [tex]3.18[/tex] slijedi da [tex]( \forall r > 0)(\exists z \in K(y, r))( z \in B \wedge z \neq y)[/tex]. Odnosno, kao što piše u skripti, svaka otvorena kugla sa središtem u tom gomilištu sadrži element početnog skupa različit od samog gomilišta.
Stoga neka je [tex]r>0[/tex] proizvoljan. Dakle, postoji neka točka [tex]z \in K(y, r)[/tex] takva da je [tex]z \in B[/tex] i [tex]z \neq y[/tex].
Sada znamo, pošto je [tex]B=A \cup A'[/tex] i [tex]z \in B[/tex], da vrijedi [tex]z \in A[/tex] ili [tex]z \in A'[/tex].
Iz ovoga će slijediti dva slučaja po kojima ćemo nastaviti dokaz. U svakom slučaju, ideja je da za kuglu oko [tex]y[/tex] od koje smo započeli pokažemo da sigurno sadrži neki element iz samog skupa [tex]A[/tex]. Pošto smo krenuli od proizvoljne kugle, slijedit će da svaka otvorena kugla oko [tex]y[/tex] sadrži element iz skupa [tex]A[/tex], a po samoj definiciji to znači da je [tex]y \in A'[/tex], tj. [tex]y[/tex] je gomilište skupa [tex]A[/tex]. A to je odlično pošto je [tex]A' \subseteq A \cup A' = B[/tex], pa bi slijedilo da je [tex]y \in B[/tex]. A to je ono što pokušavamo pokazati - proizvoljno (tj. ono od kojeg smo započeli) gomilište skupa [tex]B[/tex] je i sam element skupa [tex]B[/tex], pa je onda [tex]B[/tex] zatvoren!
Nastavimo s dokazom.
Dakle, imamo dva slučaja:
[tex]1[/tex]° [tex]z \in A[/tex]
To znači da kugla oko [tex]y[/tex] od koje smo krenuli sadrži element iz skupa [tex]A[/tex] - to je [tex]z[/tex]. I s ovim slučajem smo gotovi.
[tex]2[/tex]° [tex]z \in A'[/tex]
Pošto je [tex]z[/tex] gomilište skupa [tex]A[/tex], slijedi da svaka otvorena kugla oko te točke sadrži neki element skupa [tex]A[/tex]. Pošto je ovo ipak moguće za svaku otvorenu kuglu oko [tex]z[/tex], a znamo već da je [tex]z \in K(y,r)[/tex], oko [tex]z[/tex] ćemo napraviti dovoljno malu otvorenu kuglu takvu da je cijela sadržana unutar gore navedene kugle - to je moguće jer je ta kugla otvoren skup!
Također želimo da ta kugla ne sadržava [tex]y[/tex] tako da, za točku koju znamo da je unutar nove kugle, a element je skupa [tex]A[/tex], znamo da je različita od [tex]y[/tex].
Dakle, da rezimiram: za neku otvorenu kuglu [tex]K(z,r')[/tex] želimo sljedeće:
- da je [tex]K(z,r') \subseteq K(y,r)[/tex], a to bi značilo: [tex]d(y,z)+r' \leq r[/tex], odnosno [tex]r' \leq r-d(y,z)[/tex]
- da je [tex]y[/tex] izvan te nove kugle, a to bi značilo [tex]d(y,z) > r'[/tex]
A oba svojstva su zadovoljena ako odaberemo [tex]r' := min \left\{ r-d(y,z), \frac{d(y,z)}{2} \right\}[/tex]. Naime, jasno je:
[tex]r' \leq r-d(y,z)[/tex], pa je zadovoljena prva crtica,
[tex]r' \leq \frac{d(y,z)}{2} < d(y,z)[/tex], pa je zadovoljena druga crtica.
Dakle, postoji [tex]z' \in K(z,r')[/tex] takav da je [tex]z' \in A[/tex] (jer je [tex]z[/tex] gomilište od [tex]A[/tex]) i da je [tex]z' \neq y[/tex] (zbog činjenice da je [tex]r' < d(y,z)[/tex]).
A zbog činjenice da je [tex]r' \leq r-d(y,z)[/tex], slijedi da je [tex]K(z,r') \subseteq K(y,r)[/tex], pa je [tex]z' \in K(y,r)[/tex]. Dakle, [tex]K(y,r)[/tex] i u ovom slučaju sadrži neku točku iz [tex]A[/tex].
Konačno, zaključili smo (prema gore opisanoj ideji) da svaka otvorena kugla [tex]K(y,r)[/tex] sadrži neki element iz [tex]A[/tex] različit od [tex]y[/tex]. To upravo znači da je [tex]y[/tex] gomilište skupa [tex]A[/tex], pa je [tex]y \in B[/tex]. A pošto smo odabrali proizvoljno gomilište skupa [tex]B[/tex] i pokazali da je ono element istog skupa, slijedi da [tex]B[/tex] sadrži sva svoja gomilišta. Prema teoremu [tex]3.22[/tex], [tex]B[/tex] je zatvoren skup.

Nadam se da su sada stvari barem malo jasnije. Smile

Nešto sam namjerno ponavljao više puta, baš da nekako bude upadljivo i da bolje shvatiš sveukupno. Reci ako je što nejasno!
A ovo što mi radijus kugle nije isti kao i u skripti (tamo je [tex]r' = r-d(y,z)[/tex]), isprike ako se moglo lakše objasniti preko tog radijusa. Meni se ovako činilo malo jasnije i lakše, dapače, u ovom trenutku mi i nije jasno kako iz tog radijusa slijedi to svojstvo. Nadam se da ti je OK ovako. Very Happy

#20: Autor/ica: angelika,

Postano: 13:12 sub, 29. 9. 2012
—
jel mi može netko malo pojasniti dokaz tm4.15 (B-W tm za nizove)? Zapravo me jako muči pojam koordinatnog podniza, pa mi nije jasan sam početak dokaza...

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o4.pdf

#21: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 15:24 sub, 29. 9. 2012
—
Koordinatni (pod)niz se odnosi na niz koji dobivaš tako da promatraš točno određenu koordinatu svakog elementa niza u [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Recimo, za [tex]a^k=(a_1^k,a_2^k,...,a_n^k)[/tex] (i ovdje nije riječ o potencijama, već o oznaci elementa u nizu, pošto je nezgodno pisati i razlikovati dva indeksa, jer je uobičajeno i koordinatu i niz označavati preko indeksa) niz koji promatramo je [tex](a^k)_k[/tex], ali koordinatni niz je, recimo, [tex](a_1^k)_k[/tex]. Konkretno, bilo koji [tex](a_i^k)_k, i \in \left\{1,2,...,n\right\}[/tex] označava koordinatu.

Koordinatni nizovi se proučavaju jer želiš dobiti konvergentni podniz niza [tex](a^k)_k[/tex], što znači da koordinatni podnizovi moraju biti usklađeni po indeksima - a to se radi doslovno indeks po indeks.

Treba li dalje nastaviti s dokazom ili ti je sada jasno? Smile

#22: Autor/ica: Shaman,

Postano: 15:37 sub, 29. 9. 2012
—
uoci da su koordinatni nizovi u R, a takodjer su ograniceni jer je euklidska norma veca ili jednaka od norme beskonacno za svaki x iz R^n. Sada po Weierstarssovom teoremu postoji konvergentan podniz za svaki od koordinatnih nizova, a primjenjujuci korolar 2.2
http://web.math.pmf.unizg.hr/~guljas/skripte/MATANALuR.pdf na 52 stranici
dobivas strogo rastuci niz p tako da su svi podnizovi koordinatnih nizova monotoni sto zajedno s ogranicenoscu daje konvergentnost.
Niz je konvergentan ako i samo ako su mu svi koordinatni nizovi konvergentni.
i imas podniz a kruzic p koji je konvergentan u R^n.(gdje je a polazni niz u R^n)

#23: Autor/ica: angelika,

Postano: 15:39 sub, 29. 9. 2012
—
Shvaćam! Very Happy

Ne treba ostatak dokaza...hvala Smile

#24: Autor/ica: moni_poni,

Postano: 22:24 pon, 1. 10. 2012
—
Zamolila bih za pomoć oko dokaza propozicije 3.34. (jasan mi je samo prvi red Sad

)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

#25: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 22:34 pon, 1. 10. 2012
—

moni_poni (napisa):

Zamolila bih za pomoć oko dokaza propozicije 3.34. (jasan mi je samo prvi red Sad

)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

Uhvati me na faksu pa ti objasnim uživo, jer ne shvaćam što točno ti nije jasno, a i preko foruma je gubljenje (mog) vremena. Razz

#26: Autor/ica: Loo,

Postano: 22:49 pon, 1. 10. 2012
—

moni_poni (napisa):

Zamolila bih za pomoć oko dokaza propozicije 3.34. (jasan mi je samo prvi red Sad

)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

krećem onda od drugog reda Razz

znači pretpostavili smo da je x u A. u prvom redu smo zaključili da je x u presjeku zatvarača od A i zatvarača od Rn\A. stoga x mora biti u oba zatvarača.
e sada budući da je A podskup od zatvarača (zatvarač je unija A i gomilišta od A), jasno je da je x u zatvaraču od A.
da bi bio u rubu, x mora biti i u zatvaraču od Rn\A, a kako je očito da x nije u Rn\A, onda x mora biti gomilište od Rn\A (da bi bio u uniji, x mora biti u barem jednom od skupova). iz toga slijedi da svaka otvorena okolina, pa tako i otvorena kugla, sadrži neku točku iz Rn\A. no ta kugla uvijek sadrži i x, koji je u A.
analogno se dokazuje za x iz Rn\A.

#27: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 21:27 ned, 7. 10. 2012
—
Može li mi itko reći do kud smo točno stigli (stranica, teorem) iz predavanja kod prof. Pandžića?

#28: Autor/ica: frutabella,

Postano: 15:24 sri, 10. 10. 2012
—

Zenon (napisa):

Može li mi itko reći do kud smo točno stigli (stranica, teorem) iz predavanja kod prof. Pandžića?

I mene ovo zanima...
I da li bi mogli mozda ocekivati blic? :S

#29: Autor/ica: pedro,

Postano: 19:47 čet, 11. 10. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/ch5.pdf

tm 5.3 kako iz zatvorenosti skupa A možemo znati da je limes b u A Question

#30: Autor/ica: Loo,

Postano: 19:58 čet, 11. 10. 2012
—
ima teorem koji kaže da je skup A zatvoren ako i samo ako svaki konvergentan niz u A ima limes u A

Added after 4 minutes:

točnije, teorem 4.17 Smile

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o4.pdf

#31: Autor/ica: pedro,

Postano: 9:04 pet, 12. 10. 2012
—

Loo (napisa):

ima teorem koji kaže da je skup A zatvoren ako i samo ako svaki konvergentan niz u A ima limes u A

Added after 4 minutes:

točnije, teorem 4.17 Smile

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o4.pdf

aha, vidim, vidim. hvala Very Happy

Added after 18 minutes:

karakterizacija zatvorenosti pomoću nizova je propozicija 4.20 jel tako?
piše u dokazu za kompaktnost tm 4.10, vjerojatno tipfeler?

#32: Autor/ica: pedro,

Postano: 9:23 sub, 27. 10. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o7.pdf

može samo za korolar 7.2 objašnjenje zašto su supA i infA gomilišta od f(K)?

#33: Autor/ica: Shaman,

Postano: 10:01 sub, 27. 10. 2012
—
to slijedi direktno iz definicije supremuma i infimuma, pogledaj definiciju.

kako 2. tvrdnja definicije vrijedi za sve epislone vece od 0 onda vrijedi i za epislon=1/k gdje je k prirodan broj.Na taj nacin dobivas niz (a(n)) u danom skupu (nazovimo ga A) jer su svi a(n) iz A po definiciji. i vrijedi a(n) tezi supremumu/infimumu kada k tezi u beskonacno, to mozes preko teorema o sendvicu dokazat. Skup A je kompaktan a time i zatvoren pa svi konvergenti nizovi u A imaju limes u A, pa su infimum i supremum (a postoje u korolaru jer je A ograničen sto isto slijedi iz kompaktnosti) elementi skupa A.

Added after 42 seconds:

dobivas niz a(k)*

#34: Autor/ica: pedro,

Postano: 10:30 ned, 28. 10. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o8.pdf

korolar 8.8

može mi samo netko objasniti zašto L-1(u) i L-1(v) u uniji daju čitav segment, nisam pohvatala taj dio na predavanjima?

jel to možda zato što je L-1(u)=a, i L-1(v)=b, a znamo da postoji put između a i b koji obuhvača cijeli segment pa tako vrijedi i za L-1(u) i L-1(v) Question

i nije mi baš jasno s čime dolazi u kontradikciju Embarassed

#35: Autor/ica: goranm,

Postano: 14:37 ned, 28. 10. 2012
—

pedro (napisa):

može mi samo netko objasniti zašto L-1(u) i L-1(v) u uniji daju čitav segment, nisam pohvatala taj dio na predavanjima?

Zato sto svakoj tocki na tragu puta [tex]\alpha[/tex] pripada barem jedan [tex]t\in[a,b][/tex]. Kada bi postojao [tex]c\in[a,b][/tex] td. c nije u toj uniji, onda bi [tex]\alpha(c)[/tex] ispao izvan [tex]U\cup V=A[/tex], tj. [tex]\alpha[/tex] ne bi bio put u A.

Citat:

i nije mi baš jasno s čime dolazi u kontradikciju Embarassed

Kontradikcija je u tome sto ispada da je segment [a,b] nepovezan, iako po propoziciji 8.6 znamo da je povezan.

#36: Autor/ica: pedro,

Postano: 17:14 ned, 28. 10. 2012
—

goranm (napisa):

pedro (napisa):

može mi samo netko objasniti zašto L-1(u) i L-1(v) u uniji daju čitav segment, nisam pohvatala taj dio na predavanjima?

Citat:

i nije mi baš jasno s čime dolazi u kontradikciju Embarassed

Kontradikcija je u tome sto ispada da je segment [a,b] nepovezan, iako po propoziciji 8.6 znamo da je povezan.

hvala, jasno Very Happy

može neko objasniti zašto je norma beskonačno neprekidna fun

#37: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 17:47 ned, 28. 10. 2012
—
U slučaju jedinstvene maksimalne koordinate (naravno, [tex]x=(x_1,x_2,...,x_n)[/tex]), postoji jedinstveni [tex]1 \leq k \leq n[/tex] takav da je [tex]|x_i| < |x_k|[/tex] za svaki [tex]1 \leq i \leq n, i \neq k[/tex], pa je jasno da je [tex]||x||_{\infty}=|x_k|[/tex], što je neprekidna funkcija.
U slučaju barem dviju jednakih koordinati koje po apsolutnoj vrijednosti predstavljaju maksimum (recimo da se maksimum postiže u koordinatama s indeksima [tex]\left\{ i_1,i_2,...,i_m : m \geq 2 \right\} \subseteq \left\{ 1,2,...,n \right\}[/tex]), funkcija u otvorenoj okolini može postići bilo koju vrijednost [tex]|x_{i_j}|[/tex] za [tex]1 \leq j \leq m[/tex]. Za proizvoljan niz [tex](x^l)_{l \in \mathbb{N}}[/tex] koji konverigra prema gore navedenoj točki (barem dvije koordinate postižu maksimum po apsolutnoj vrijednosti) te u njenoj "dovoljno maloj" okolini, vrijedi [tex]||x^l||_{\infty}=|x^l_{i_j}|[/tex] za neki [tex]j[/tex] iz [tex]\left\{ 1,2,...,m \right\}[/tex]. Dakle, možemo očekivati za takav niz najviše [tex]m[/tex] gomilišta skupa (ako beskonačno mnogo puta poprima vrijednosti po svim mogućim koordinatama; tada je skup gomilišta cijeli [tex]\left\{ |x_{i_1}|, |x_{i_2}|, ..., |x_{i_m}| \right\}[/tex]). No, sve te vrijednosti (jer je funkcija modul neprekidna) konvergiraju prema istoj vrijednosti upravo zato jer smo definirali [tex]\left\{ i_1,i_2,...,i_m : m \geq 2 \right\} \subseteq \left\{ 1,2,...,n \right\}[/tex] kao skup indeksa gdje se poprimaju jednake vrijednosti (i to maksimalne) - odnosno, [tex]\left\{ |x_{i_1}|, |x_{i_2}|, ..., |x_{i_m}| \right\} = \left\{ |x_{i_1}| \right\}[/tex]. Stoga je i u takvim točkama ova norma neprekidna.

Intuitivno (drugi slučaj): neovisno o tome u kojim koordinatama se postiže maksimum po apsolutnoj vrijednosti i koliko ih je, za bilo koji niz koji teži u tu točku je max norma za točke u malenoj okolini jednaka modulu od neke od tih koordinata, a to svejedno konvergira prema maksimumu modula koordinate.

#38: Autor/ica: bloo,

Postano: 20:03 čet, 1. 11. 2012
—
Imam par pitanja Smile

1. Kako dokazati nenegativnost norme?
2. http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf
Propozicija 3.5, tvrdnja 3. kako dokazati?
3. http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o6.pdf
Teorem 6.8, opet tvrdnja 3., opet kako dokazati? Smile

4. http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o7.pdf
Teorem 7.6, nije mi jasan samo dio ''Prelaskom na konvergentne podnizove možemo pretpostaviti da [tex]x_m[/tex] i [tex]y_m[/tex] konvergiraju."

Hvaaala puno! Smile

#39: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 21:56 čet, 1. 11. 2012
—
1. Za normu zadanu kao u definiciji [tex]2.2[/tex], norma je drugi korijen skalarnog produkta dviju istih točaka, a slika funkcije drugi korijen je [tex]\left[ 0, +\infty \right>[/tex].
Ako misliš na općenitu normu, vjerujem da je funkcija sama po sebi norma ako zadovoljava navedene (ne)jednakosti u skripti, pa isto tako i tu da je norma kao funkcija nenegativna.
2. To smo pisali negdje na forumu, ali da ne tražim link jer pojma nemam gdje je taj post: promatramo skup [tex]\displaystyle \bigcap_{i=1}^n A_i[/tex], odnosno presjek konačno mnogo otvorenih skupova. Za [tex]x \in \bigcap_{i=1}^n A_i[/tex] vrijedi [tex]x \in A_i[/tex], pa posebno da za svaki takav skup postoji otvorena kugla oko te točke sadržana u skupu. Dakle, [tex]( \exists r_i > 0) K(x,r_i) \subseteq A_i[/tex].
Sad još definiraj [tex]r := \min \left\{ r_i : 1 \leq i \leq n \right\}[/tex] i primijeti da je [tex](\forall i)K(x,r) \subseteq A_i[/tex]. No, iz toga konačno slijedi i [tex]K(x,r) \subseteq \bigcap_{i=1}^n A_i[/tex].
3. Riječ je o standardnom skalarnom produktu u [tex]\mathbb{R}^n[/tex], dakle baci oko na definiciju [tex]2.2[/tex] i raspiši tvrdnju iz teorema.
4. Svaki niz ima monoton podniz, pa tako i [tex](x_m)[/tex] i [tex](y_m)[/tex] imaju konvergentne podnizove. No, to su nizovu iz kompaktnog, dakle ograničenog skupa, pa slijedi da isti nizovi imaju konvergentne podnizove (to su zapravo oni isti monotoni podnizovi). I da bi se nastavio dokaz, trebali bi striktno promatrati samo te podnizove, a ne cijele nizove. No, ostatak dokaza je isti. Smile

Zato si je uzeto "na slobodu" da su sami nizovi od početka konvergentni.

#40: Autor/ica: sasha.f,

Postano: 22:00 čet, 1. 11. 2012
—
Može usput i napomena 6.13. Smile

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o6.pdf
to je trebalo dokazati u jednom kolokviju..

#41: Autor/ica: goranm,

Postano: 22:50 čet, 1. 11. 2012
—

sasha.f (napisa):

Može usput i napomena 6.13. Smile

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o6.pdf
to je trebalo dokazati u jednom kolokviju..

Neka je funkcija [tex]f\colon A\to\mathbb{R}^k[/tex] neprekidna u klasicnom smislu. Neka je U otvoren skup u [tex]\mathbb{R}^k[/tex]. Ako se niti jedna tocka skupa A ne preslika u skup U, onda je [tex]f^{-1}(U)=\emptyset[/tex], a prazan skup je po definiciji otvoren u bilo kojem topoloskom prostoru. Inace, neka je [tex]x\in f^{-1}(U)[/tex]. Onda je [tex]f(x)\in U[/tex], a zato sto je U otvoren, postoji [tex]\varepsilon >0[/tex] td. je [tex]K(f(x),\varepsilon)\subset U[/tex]. Jer je f neprekidna, onda je neprekidna u x pa za taj [tex]\varepsilon[/tex] postoji [tex]\delta>0[/tex] td. za svaki [tex]x'\in K(x,\delta)[/tex] je [tex]f(x')\in K(f(x),\varepsilon)\subset U[/tex]. Ali to povlaci da je [tex]f(K(x,\delta))\subset U[/tex] pa je [tex]K(x,\delta)\subset f^{-1}(U)[/tex], tj. [tex]f^{-1}(U)[/tex] je otvoren u A.

Obrnuto, neka je f neprekidna u topoloskom smislu. Neka je [tex]x\in A[/tex] te [tex]\varepsilon > 0[/tex]. Kako je [tex]K(f(x),\varepsilon)[/tex] otvoren skup u [tex]\mathbb{R}^k[/tex], onda je [tex]f^{-1}(K(f(x),\varepsilon))[/tex] otvoren skup u A. Ocito je [tex]x\in f^{-1}(K(f(x),\varepsilon)) [/tex] pa onda postoji [tex]\delta > 0[/tex] td. je [tex]K(x,\delta)\subset f^{-1}(K(f(x),\varepsilon))[/tex]. To znaci da je [tex]f(K(x,\delta)) \subset K(f(x),\varepsilon) [/tex], odnosno da je f neprekidna u x u klasicnom smislu. Kako se ovaj argument moze ponoviti za svaki x iz A, onda je f i neprekidna.

#42: Autor/ica: nuclear,

Postano: 16:10 sub, 3. 11. 2012
—
Ne treba mi naširoko i nadugačko objašnjavati diferencijale i diferencijabilnost funkcija itd (teoremi ili ostalo), ali bih voljela neku kratku pričicu zašto je sve tako kako je? Ako je moguće to objasniti Ehm?

Recimo muči me uvođenje linearnog operatora (iznenađenje) i korištenje skalarnih produkata. Kako su došli do toga? Što se tiče afine funkcije, ....zaboravih što je to Embarassed

#43: Autor/ica: goranm,

Postano: 17:06 sub, 3. 11. 2012
—

nuclear (napisa):

Ne treba mi naširoko i nadugačko objašnjavati diferencijale i diferencijabilnost funkcija itd (teoremi ili ostalo), ali bih voljela neku kratku pričicu zašto je sve tako kako je? Ako je moguće to objasniti Ehm?

Recimo muči me uvođenje linearnog operatora (iznenađenje) i korištenje skalarnih produkata. Kako su došli do toga? Što se tiče afine funkcije, ....zaboravih što je to Embarassed

Tesko je napisati kratku pricicu o tome. Diferencijal mozes motivirati s dva aspekta: jedan je taj da proucavanje neke jako divlje i neugodne funkcije zelimo svesti na proucavanje funkcija o kojima puno znamo, bez da izgubimo puno informacija o originalnoj funkciji koju proucavamo. U tom smislu uvodimo linearni operator, tj. linearnu funkciju koja jako dobro aproksimira originalnu funkciju i odaje puno informacija o njoj. Situacija je ista kao i u jednodimenzionalnom slucaju kada krivulju opisemo grafom neke funkcije, a onda tu funkciju aproksimiramo poligonalnom linijom, tj. tangentama, a do tangenata dolazimo pomocu derivacija.

Drugi aspekt se tice integracije. Jako puno funkcija je integrabilno (bolje receno Riemann-integrabilno, a sve neprekidne funkcije su takve, iako postoji i sira klasa Riemann-integrabilnih funkcija, ali to je trenutno nebitno), ali ne mogu se sve lako integrirati - kada dodjemo u takvu situaciju, onda posezemo za trikovima, a standardni trik je zamjena varijabli (supstitucija). Zamjenom varijabli efektivno jedan koordinatni sustav transformiramo u drugi i pritom izgubimo neke informacije - npr. povrsina koju graf funkcije zatvara s ravninom z=0 se promijeni jer se graf funkcije u novom koordinatnom sustavu deformira. Nakon mukotrpnog istrazivanja ispostavi se da jakobijan funkcije (determinanta diferencijala) upravo nadoknadi taj gubitak do kojeg dolazi pri transformaciji iz jednog koordinatnog sustava u drugi, a jakobijan funkcije moze postojati samo ako je funkcija diferencijabilna. To onda motivira uvodjenje diferencijala i njegovo proucavanje.

Sto se tice koristenja skalarnog produkta, nije mi jasno sto te muci. Afina funkcija je "pravac", tj. u jednodimenzionalnom slucaju to je funkcija oblika f(x)=ax+b, a u vektorskom slucaju je to [tex]f\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n, f(x)=Ax+b[/tex], gdje je A nxm matrica, a b je vektor u [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. To je transformacija koja pravce preslikava u pravce (i jos neka svojstva, guglaj affine transformation).

#44: Autor/ica: Bole13,

Postano: 16:47 ned, 4. 11. 2012
—
Može malo pojašnjenje dokaza teorema 4.17., čini mi se da su tu neki tipfeleri.

=> Pretpostavljam da umjesto x treba pisati a?
<= Nije mi jasno kako smo mi točno pretpostavivši da je x (a?) element iz A i njegovo gomilište pokazali da A sadrži sva svoja gomilišta.

#45: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 17:10 ned, 4. 11. 2012
—
Da, treba ići [tex]a[/tex] umjesto [tex]x[/tex].
I to je zapravo dokaz. Svaka kugla oko neke točke ima element koji je isto unutar skupa (jer je gomilište). Uzmi sve manje i manje kugle i konstruiraj niz tako da uzmeš po jednu točku iz svake takve kugle. Pošto se kugle smanjuju, udaljenosti između [tex]a[/tex] i elementa niza, što više raste indeks [tex]k[/tex], se smanjuje, a to upravo znači da niz konvergira u [tex]a[/tex].
Ako je prešturo objašnjenje (a mislim da jest jer trenutno ne stignem napisati više), probaj si skicirati takve kugle i uzmi po jednu točku iz svake kugle. Onda će ti biti intuitivno jasno da niz konvergira baš u točku [tex]a[/tex].

#46: Autor/ica: Bole13,

Postano: 17:23 ned, 4. 11. 2012
—
Mučilo me zapravo zašto iz ovog slijedi da nema gomilišta koja nisu u A, ali mislim da mi je sad jasno.

#47: Autor/ica: pedro,

Postano: 11:36 čet, 29. 11. 2012
—
može primjer 12.12 malo pojasniti?

Added after 14 minutes:

čini mi se da ima pogrešaka pred kraj pa mi nije baš najjasnije? Question

#48: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 13:45 čet, 29. 11. 2012
—
Funkcija [tex]h[/tex] je uvedena da imaš jednostavniji prikaz kao [tex]f=g \circ h[/tex]. Stoga je po derivaciji kompozicije [tex]\nabla f = \nabla g \circ h \nabla h[/tex], odnosno [tex]\nabla f(x,y) = \nabla g(h(x,y)) \nabla h(x,y)[/tex] (to je zapravo četvrta jednakost po redu).
Do sada već znamo kako za ovakve funkcije izgleda Jacobijeva matrica, pa vrijedi sljedeće: [tex]\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial g}{\partial x}(x^2+y^2,x^3+y^3) & \frac{\partial g}{\partial y}(x^2+y^2,x^3+y^3) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ 3x^2 & 3y^2 \\ \end{bmatrix}[/tex].
Sada posljednje dvije relacije dobivaš matričnim množenjem matrica s desne strane jednakosti te usporedbom komponenti matrice s lijeve strane i novonastale matrice.

#49: Autor/ica: pedro,

Postano: 11:26 ned, 9. 12. 2012
—
može li netko objasniti malo bolje pojam bilinearnog preslikavanja?

#50: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 17:12 ned, 9. 12. 2012
—
Pojasnit ću to preko preslikavanja [tex]B_c : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/tex] danog s [tex]B_c(x_1,x_2)=(D^2f(c)x_1)x_2[/tex], za neku dva puta diferencijabilnu funkciju [tex]f[/tex], jer pretpostavljam da zbog tog razmatranja i pitaš to.
(Ukratko, za preslikavanje spomenuto neposredno nakon definicije [tex]15.4[/tex] na ovom linku i u slučaju [tex]m=1[/tex], kao što se spominje nekoliko redaka dolje.)

Preslikavanje [tex]B_c[/tex] je bilinearno ako je linearno u obe svoje varijable. Preciznije, preslikavanje [tex]x_1 \rightarrow B_c(x_1,x_2)[/tex] je linearno ([tex]B_c(ax_1'+bx_1'',x_2)=aB_c(x_1',x_2)+bB_c(x_1',x_2), \forall a, b \in \mathbb{R}[/tex]), kao i preslikavanje [tex]x_2 \rightarrow B_c(x_1,x_2)[/tex] ([tex]B_c(x_1,ax_2'+bx_2'')=aB_c(x_1,x_2')+bB_c(x_1,x_2''), \forall a, b \in \mathbb{R}[/tex]).
Dakle, promatrajući preslikavanje [tex]B_c[/tex], ako fiksiraš, recimo, [tex]x_2[/tex], odnosno, uvrstiš da je [tex]x_2=t[/tex], ono što dalje promatraš jest izraz [tex]B_c(x_1,t)=(D^2f(c)x_1)t[/tex]. On ovisi samo o jednoj varijabli, koja je [tex]x_1[/tex], i on je linearan u toj varijabli, stoga dobivaš preslikavanje u ovisnosti o jednoj [tex]n[/tex]-dimenzionalnoj varijabli, [tex]x_1[/tex], i ponaša se kao linearni operator.
Potpuno analogno ako fiksiraš [tex]x_1[/tex] i staviš [tex]x_1=t[/tex].

#51: Autor/ica: student_92,

Postano: 23:17 sri, 19. 12. 2012
—
Teorem [tex]15.10[/tex] (Schwarz).
Može li mi netko objasniti smisao definiranja funkcije [tex]S(h, k)[/tex] te što ona predstavlja?

#52: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 1:24 čet, 20. 12. 2012
—
Osim što olakšava zapis jednakosti i izraza koje promatramo te naglašava parametre o kojima ovisi odabir točke po teoremu srednje vrijednosti, mislim da i nema neke generalne koristi ili ideje od te funkcije. Smile

Možda da te podsjeti da inače kod takvih tipova problema promatraš razlike funkcijskih vrijednosti u pojedinim argumentima, pa da te to asocira na teorem o srednje vrijednosti. Razz

(Ukratko, ako želiš izbjeći tu funkciju pri pisanju svog dokaza, možeš to napraviti i dokaz će ti i dalje biti jednako dobar i koristan.)

#53: Autor/ica: goranm,

Postano: 3:47 čet, 20. 12. 2012
—

student_92 (napisa):

Teorem [tex]15.10[/tex] (Schwarz).
Može li mi netko objasniti smisao definiranja funkcije [tex]S(h, k)[/tex] te što ona predstavlja?

Mozes ju interpretirati kao mjeru odstupanja funkcije f od bilinearne funkcije. Dokaz upravo i analizira tu situaciju, tj. prvo fiksira drugu varijablu i ispituje linearnost prve, a zatim fiksira prvu varijablu i ispituje linearnost druge.

Dva tipfelera u prvom dijelu dokaza: (h,k) ne moze biti bilo koji element u [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Mora biti "dovoljno malen", tj. takav da (x+h,y+k) ne ispadne iz A. Drugi tipfeler je taj sto funkcija S ne moze biti definirana na nekoj okolini (0,0) samo zato sto je A otvoren. Moze biti definirana tamo gdje je f definirana, tj. na nekoj okolini od (x,y) iz A (s obzirom da njih fiksiramo) td. (x+h,y+h) ne ispadaju iz te okoline.

#54: Autor/ica: frutabella,

Postano: 19:31 čet, 20. 12. 2012
—
Pozdrav,

molila bih da me netko obvijesti do kud je danas prof. Pandzic stigao s gradivom?

#55: Autor/ica: Hubert Cumberdale,

Postano: 13:19 sub, 22. 12. 2012
—
Par pitanja! Sad

1. Lema 11.8, nije mi jasan ovaj prelazak s treće na četvrtu nejednadžbu, kako se to dobije?

2. Teorem 14.4, zadnja nejednadžba, otkuda slijede nejednakosti? Što je zapravo taj integral? I ne bi li zadnja nejednadžba trebala slijediti iz pretpostavke ograničenosti diferencijala, zar možemo ograničiti i integral ograničene funkcije? Tu sam potpuno izgubljena... Ehm?

3. Samo kratko, u Korolaru 15.2., ne bi li pretpostavka trebala biti da je A iz [tex]R^n[/tex], a ne kako je tamo napisano iz [tex]R^m[/tex]?

Puno hvala unaprijed! Very Happy

#56: Autor/ica: Loo,

Postano: 15:19 sub, 22. 12. 2012
—
lema (nadam se da misliš na 3. i 4. jednadžbu Smile

):
[tex]\displaystyle\lim_{x\to c} \frac {(f(x)-f(c)-L(x-c)|e_i)}{||x-c||}=\displaystyle\lim_{x\to c} \frac {(f(x)|e_i)-(f(c)|e_i)-(L(x-c)|e_i)}{||x-c||}[/tex] (zbog linearnosti skalarnog produkta)

sada je [tex](f(x)|e_i)=f_i(x), (f(c)|e_i)=f_i(c)[/tex]
i sjeti se linearne, vrijedi [tex](L(x-c)|e_i)=(x-c|L^*ei)[/tex], no budući da je [tex]L\in L(R^n, R^m), L^*=L^T[/tex], pa je [tex](L(x-c)|e_i)=(x-c|L^Te_i)[/tex]
također zbog komutativnosti skalarnog produkta nad [tex]R^n[/tex] slijedi [tex](L(x-c)|e_i)=(L^Te_i| x-c)[/tex]

#57: Autor/ica: goranm,

Postano: 15:28 sub, 22. 12. 2012
—

Hubert Cumberdale (napisa):

Par pitanja! Sad

1. Lema 11.8, nije mi jasan ovaj prelazak s treće na četvrtu nejednadžbu, kako se to dobije?

Kada na funkciju f skalarno djelujes vektorom [tex]e_i[/tex], onda ti ostaje samo i-ta koordinata te funkcije, tj. [tex]f_i[/tex]; to objasnjava zasto je indeks i uz f(x) i f(c). Transponirana matrica se pojavila zbog sljedeceg: kako je (La|b)=(b|La) u realnom vektorskom prostoru, onda je (b|La)=(L*b|a), gdje je L* operator (matrica) adjungiran operatoru L, tj. ako L zapisujemo u paru standardnih baza, onda L* dobivamo iz L tako sto matricu od L konjugiramo i transponiramo. S obzirom da smo u realnom prostoru, konjugiranje nista ne radi pa se sve svodi na transponiranje, tj. L*=L^T.

Citat:

2. Teorem 14.4, zadnja nejednadžba, otkuda slijede nejednakosti? Što je zapravo taj integral? I ne bi li zadnja nejednadžba trebala slijediti iz pretpostavke ograničenosti diferencijala, zar možemo ograničiti i integral ograničene funkcije? Tu sam potpuno izgubljena... Ehm?

Prva nejednakost je jednakost (tako da, ako i stoji simbol za nejednakost, to ne mijenja nista). Druga nejednakost sljedi iz nejednakosti [tex]|\int_a^b f(x)dx|\leq\int_a^b|f(x)|dx[/tex]. Treca nejednakost slijedi iz toga sto je diferencijal ogranicen, a integral monoton linearni funkcional pa u iducem integralu diferencijal mozes zamijeniti nekom pozitivnom konstantom M (s tim da je ispred integrala [tex]\leq[/tex] jer diferencijal mozda nikada ne dostigne M, ali sigurno ga ne prestigne), a ||y-x|| ne ovisi o [tex]\lambda[/tex] pa to mozes izbaciti van iz integrala.

Citat:

3. Samo kratko, u Korolaru 15.2., ne bi li pretpostavka trebala biti da je A iz [tex]R^n[/tex], a ne kako je tamo napisano iz [tex]R^m[/tex]?

Da, sve funkcionira ako je A iz [tex]\mathbb{R}^n[/tex] (iako sam korolar nije neistinit; samo pokriva puno manje slucajeva Smile

)

Inace, kao drugu literaturu (a mozda i prvu!) preporucam da pogledate http://www.math.hr/~ungar/NASTAVA/MA/Analiza3.pdf
Neke stvari su detaljnije zapisane, a i ima puno manje tipfelera.

#58: Autor/ica: Hubert Cumberdale,

Postano: 16:07 sub, 22. 12. 2012
—
Puno ti hvala, sve je puno jasnije! Smile

Samo me još malo muči taj integral diferencijala...
Možeš li molim te to samo malo raspisati? Kako se integrira i može li se uopće integrirati unatoč normi? Nekako mi se čini da bismo morali na kraju imati ||Df(x)(y-x)||, jer tek kada to imamo iz pretpostavke teorema slijedi da je to manje od M||y-x||, a meni nikako nije jasno kako iz ovog integrala doći do ||Df(x)(y-x)||. Ehm?

Još jednom, puno hvala!

#59: Autor/ica: goranm,

Postano: 16:46 sub, 22. 12. 2012
—

Hubert Cumberdale (napisa):

Puno ti hvala, sve je puno jasnije! Smile

Još jednom, puno hvala!

Unutar integrala imas [tex]||Df((1-\lambda)x+\lambda y)(y-x)||[/tex]. Neka je A diferencijal od f u tocki [tex](1-\lambda)x+\lambda y[/tex], tj. [tex]A=Df((1-\lambda)x+\lambda y)[/tex]. Sada imas
[dtex]\int_0^1||Df((1-\lambda)x+\lambda y)(y-x)||d\lambda = \int_0^1 ||A(y-x)||d\lambda \leq \int_0^1 M||y-x||d\lambda=M||y-x||\int_0^1 d\lambda.[/dtex]

U pretpostavci zapravo imas da je [tex]||Df(x)||\leq M[/tex], za svaki x iz domene od f, no kako za svaki linearni operator A medju konacnodimenzionalnim vektorskim prostorima vrijedi [tex]||Ax||\leq ||A||\cdot ||x||[/tex], gdje je "srednja" norma operatorska, a "zadnja" norma euklidska, onda to automatski povlaci da je [tex]||Df(x)(y)||\leq ||Df(x)||\cdot ||y||\leq M||y||[/tex].

#60: Autor/ica: Hubert Cumberdale,

Postano: 17:09 sub, 22. 12. 2012
—
Aaaa, pa jasno! Malo sam debilko, nisam se sjetila da je [tex]M||y-x||=M||y-x||\int_0^1 d\lambda[/tex], pa nisam mogla povezati...

Po stoti put, hvala! Very Happy

#61: Autor/ica: Hubert Cumberdale,

Postano: 23:29 uto, 25. 12. 2012
—
Kod Schwartzovog teorema, i zapravo općenito, nije mi jasno kako se kod oznaka derivacije postavlja redoslijed u nazivniku, odnosno što je [tex]\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}[/tex], a što [tex]\frac{\partial^2f}{\partial y \partial x}[/tex]? Shvaćam da je na kraju krajeva upravo po navedenom teoremu to isto, ali mi zapis nije jasan...

I dakle nije li da u Schwartzovom teoremu u oba slučaja (grupirajući S(h,k) na jedan, pa na drugi način) prvo deriviramo po x, a zatim po y? Ne radimo li dakle jednu te istu stvar? Ehm?

Moguće da sam sasvim fulala poantu dokaza, u tom se slučaju ispričavam. Very Happy

#62: Autor/ica: goranm,

Postano: 1:03 sri, 26. 12. 2012
—

Hubert Cumberdale (napisa):

Kod Schwartzovog teorema, i zapravo općenito, nije mi jasno kako se kod oznaka derivacije postavlja redoslijed u nazivniku, odnosno što je [tex]\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}[/tex], a što [tex]\frac{\partial^2f}{\partial y \partial x}[/tex]? Shvaćam da je na kraju krajeva upravo po navedenom teoremu to isto, ali mi zapis nije jasan...

Operator deriviranja po varijabli x oznacava se sa [tex]\frac{\partial}{\partial x}[/tex] (ili [tex]\frac{\text{d}}{\text{d}x}[/tex]). Ako imas funkciju f koja ima parcijalne derivacije po x i y, onda po dogovoru [tex]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/tex] oznacava prvo djelovanje operatora [tex]\frac{\partial}{\partial y}[/tex] na f (dakle, prvo se parcijalno derivira s obzirom na y), a zatim djelovanje operatora [tex]\frac{\partial}{\partial x}[/tex] na [tex]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex]. S obzirom da zapravo imas kompoziciju dva operatora, onda to zapisujemo kako bi i inace zapisivali kompoziciju operatora. Isti dogovor stoji iza oznake [tex]\frac{\partial^2}{\partial x^2}[/tex]. To je dva puta iteriran operator [tex]\frac{\partial}{\partial x}[/tex].

Citat:

I dakle nije li da u Schwartzovom teoremu u oba slučaja (grupirajući S(h,k) na jedan, pa na drugi način) prvo deriviramo po x, a zatim po y? Ne radimo li dakle jednu te istu stvar? Ehm?

Ne radis istu stvar, deriviras u obrnutom redoslijedu. Ona funkcija g je u prvom slucaju definirana za neki fiksan y i derivirana po prvoj varijabli. U drugom slucaju tu funkciju definiras za fiksan x i deriviras po drugoj varijabli. Detaljniji raspis imas u http://www.math.hr/~ungar/NASTAVA/MA/Analiza3.pdf , str. 90.

#63: Autor/ica: Hubert Cumberdale,

Postano: 11:51 pet, 28. 12. 2012
—
Puno hvala goranm, za svu pomoć Smile

Moram ja još malo daviti...

Kod lokalnih ekstrema, teorem 16.5, muči me dokaz koji se daje prije samog iskaza teorema.

Kako znamo da f-ja poprima minimum na sferi? I ne bi li onda trebalo pisati [tex] f(\overline{x})=(H\overline{x}|\overline{x}) \geq H_m[/tex], za [tex]\overline{x} \epsilon S^{n-1}[/tex], a ne za [tex]\overline{x}\epsilon R^n[/tex]?
Ako ipak treba pisati [tex]\overline{x}\epsilon R^n[/tex], čemu onda ostatak dokaza, nismo li tako već odredili neku donju granicu? Ehm?

Hvaaala!

#64: Autor/ica: Loo,

Postano: 12:24 pet, 28. 12. 2012
—
u pravu si! i profesor je spomenuo da se radi o tipfeleru Smile

#65: Autor/ica: Hubert Cumberdale,

Postano: 13:34 pet, 28. 12. 2012
—

Loo (napisa):

u pravu si! i profesor je spomenuo da se radi o tipfeleru Smile

Oki super

Ali još me muči kako znamo da se postiže minimum.. Sad

#66: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 13:42 pet, 28. 12. 2012
—
Već je rečeno da je [tex]f[/tex] neprekidna funkcija, a uz to je [tex]S^{n-1}[/tex] kompaktan skup. Smile

#67: Autor/ica: Hubert Cumberdale,

Postano: 14:31 pet, 28. 12. 2012
—

Phoenix (napisa):

Već je rečeno da je [tex]f[/tex] neprekidna funkcija, a uz to je [tex]S^{n-1}[/tex] kompaktan skup. Smile

Sjajno, hvala!

#68: Autor/ica: Ryssa,

Postano: 21:18 sri, 2. 1. 2013
—
Zna li netko odgovor na pitanje u skripti koje se veže na korolar 14.3? Pitanje je vrijedi li tvrdnja ako skup nije konveksan. Profesor je tu spominjao nekakve zvjezdaste skupove i nisam sad sigurna vrijedi li i za njih?

#69: Autor/ica: quark,

Postano: 22:34 sri, 2. 1. 2013
—

Ryssa (napisa):

Zna li netko odgovor na pitanje u skripti koje se veže na korolar 14.3? Pitanje je vrijedi li tvrdnja ako skup nije konveksan. Profesor je tu spominjao nekakve zvjezdaste skupove i nisam sad sigurna vrijedi li i za njih?

Najšira klasa skupova koja zadovoljava tvrdnju jest klasa povezanih skupova Smile

A skup S je zvjezdast ako postoji točka [tex]p \in S[/tex] takva da je za [tex]\forall a \in S[/tex] skup [tex][p,a] \in S[/tex]; to povlači da je skup povezan putevima, pa je i povezan te tvrdnja vrijedi i za zvjezdaste skupove.

#70: Autor/ica: goranm,

Postano: 0:15 čet, 3. 1. 2013
—

quark (napisa):

Ryssa (napisa):

Najšira klasa skupova koja zadovoljava tvrdnju jest klasa povezanih skupova Smile

Nah, to je malo presiroka klasa. O diferencijabilnosti uopce ne mozes pricati ako ti skupovi nisu otvoreni. Smile

Citat:

Ovdje je pitanje sto znaci da je funkcija diferencijabilna na takvom skupu jer zvijezda s (ne)prebrojivo mnogo krakova je (u realnom prostoru dimenzije barem 2) ocito zatvoren skup.

Posebno, sto se dogadja s diferencijabilnoscu u ishodistu, ako zvjezda ima konacno mnogo krakova samo iz tocaka gornje poluravnine do ishodista.

Zadnja promjena: goranm; 0:27 čet, 3. 1. 2013; ukupno mijenjano 1 put.

#71: Autor/ica: quark,

Postano: 0:25 čet, 3. 1. 2013
—

goranm (napisa):

Nah, to je malo presiroka klasa. O diferencijabilnosti uopce ne mozes pricati ako ti skupovi nisu otvoreni. Smile

Da, bijah malo nejasan (kolegica je dobro sročila, ja ne); riječ konveksan može se zamijeniti riječju povezan, a uvjet otvorenosti ostaje, naravno.

Citat:

Ovdje je pitanje sto znaci da je funkcija diferencijabilna na takvom skupu jer zvijezda s prebrojivo mnogo krakova je (u realnom prostoru dimenzije barem 2) ocito zatvoren skup.

Ispričavam se onda na pomutnji, ni profesor nije bio previše precizan (nismo niti bili definirali zvjezdaste skupove), vjerojatno je onda to iskoristio za vizualizaciju nekih općenitih svojstava skupova, neovisno o ovom korolaru.

#72: Autor/ica: goranm,

Postano: 0:38 čet, 3. 1. 2013
—

quark (napisa):

Takvi skupovi su obicno protuprimjer za nesto. Trenutno ne mogu smisliti sto bi to nesto bilo, a da je u okviru kolegija, da se tice diferencijabilnosti i da je standardan protuprimjer.

#73: Autor/ica: Ryssa,

Postano: 22:08 čet, 3. 1. 2013
—
Hvala kolege Smile

Imam još pitanje u vezi teorema 17.5. Naime, nije mi sasvim jasan dokaz...(dokaz je iznad teorema).

#74: Autor/ica: goranm,

Postano: 23:38 čet, 3. 1. 2013
—

Ryssa (napisa):

Hvala kolege Smile

Imam još pitanje u vezi teorema 17.5. Naime, nije mi sasvim jasan dokaz...(dokaz je iznad teorema).

Dosta pomaze i tebi i nama da identificiras dijelove dokaza koji ti prave probleme.

#75: Autor/ica: Ryssa,

Postano: 0:29 pet, 4. 1. 2013
—

goranm (napisa):

Ryssa (napisa):

Hvala kolege Smile

Imam još pitanje u vezi teorema 17.5. Naime, nije mi sasvim jasan dokaz...(dokaz je iznad teorema).

Dosta pomaze i tebi i nama da identificiras dijelove dokaza koji ti prave probleme.

Ne razumijem zašto je tangenta [tex]{c}'(0) [/tex] okomita na svaki [tex]\bigtriangledown g_{i}(x^{0})[/tex] . I u zadnjoj rečenici mi nije jasno zašto slijedi da je [tex]grad f(x^{0})[/tex] u prostoru razapetom sa [tex]grad g_{i}(x^{0})[/tex] Smile

#76: Autor/ica: goranm,

Postano: 18:30 pet, 4. 1. 2013
—

Ryssa (napisa):

Ne razumijem zašto je tangenta [tex]{c}'(0) [/tex] okomita na svaki [tex]\bigtriangledown g_{i}(x^{0})[/tex]

Iz istog razloga kao u dokazu teorema 17.1, tj. ako je c put u S, onda je [tex]g_i(c(t))=0[/tex], za svaki i, pa je, nakon deriviranja po t, [tex]\text{D}g_i(c(t))\cdot c'(t)=0[/tex], odnosno [tex](\text{grad}g(x^0)|c(0))=0[/tex].

Citat:

I u zadnjoj rečenici mi nije jasno zašto slijedi da je [tex]grad f(x^{0})[/tex] u prostoru razapetom sa [tex]grad g_{i}(x^{0})[/tex] Smile

Ovaj dio, osim u slucaju k=n-1, trenutno ne vidim kako objasniti bez pozivanja na neke stvari iz diferencijalne geometrije (slican komentar je dan u dokazu teorema 17.1, tj. recenicom koja pocinje s "Uz pretpostavku da..." uvodi se dodatna pretpostavka koja je trivijalno zadovoljena u slucaju k=n-1). Ako je k=n-1, onda kao u dokazu teorema 17.1 [tex]\text{grad}f(x^0)[/tex] okomit je na c'(0), a c'(0) je okomit na svaki [tex]\text{grad} g_{i}(x^{0})[/tex]. To znaci da [tex]\{c'(0),\text{grad} g_{1}(x^{0}),\dots,\text{grad} g_{n-1}(x^{0})\}[/tex] razapinju citav prostor pa zato sto je [tex]\text{grad}f(x^0)[/tex] okomit na c'(0), mora biti u potprostoru razapetom s [tex]\{\text{grad} g_{1}(x^{0}),\dots,\text{grad} g_{n-1}(x^{0})\}[/tex].

#77: Autor/ica: sasha.f,

Postano: 9:26 sub, 19. 1. 2013
—
Može netko pojasniti: podskup A od R povezan putevima akko A interval. hvala

#78: Autor/ica: Tomy007,

Postano: 12:28 sub, 19. 1. 2013
—
Imam pitanje o definiciji kompaktnosti. U mojoj isprintanoj skripti piše da je skup kompaktan ako svaki niz u A ima konvergentan podniz čiji limes je u A i onda poslje propozicija da ako je K kompaktan i B podskup K zatvoren tada je i B kompaktan i poslje korolar da ako je skup K kompaktan ako i samo ako je omeđen i zatvoren. U predavanjima na stranici je suprotno, definicija je da je kompaktan ako je ograničen i zatvoren, a dokazuje se da je kompaktan ako svaki niz ima konvergentan podniz čiji je limes u A. Koje je ispravnije od toga i na koji način da naučim?

#79: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 13:15 sub, 19. 1. 2013
—
@sasha.f: Jesi li vidjela primjer [tex]8.5[/tex] s predavanja? Smile

Pitam jer možda to nisi vidjela u skripti, već, recimo, u nekom kolokviju, pa da nisi primijetila da je već objašnjeno.
Ako pitaš baš zbog nejasnog obrazloženja, što točno nije jasno? Smile

Ovo na kraju s fiksiranim [tex]a \in A[/tex], možda? Razz

@Tomy007: Definicija koju navodiš nalazi se i u skripti iz bivšeg kolegija Matematička analiza 3, stranica 49. LINK
No, postoji i treća, alternativna definicija kompaktnosti skupa: skup je kompaktan ako svaki njegov otvoreni pokrivač sadrži konačni potpokrivač. Smile

Tako je definiran, recimo, ovdje: LINK
Za kolegij preporučam da znaš definiciju koja se nudi u skripti iz kolegija, dakle da je skup kompaktan ako je ograničen i zatvoren. Ne bih ti znao reći koja je definicija "ispravnija", ako neka uopće jest, ali često se u matematici isti "objekti" različito definiraju u različitim literaturama i područjima matematike, ovisno o tome kako se ti "objekti" primjenjuju, ili, pak, kako se autoru iste literature više svidi. Very Happy

Primjer za to ćeš vidjeti na preostalim kolegijima - recimo, skup [tex]\mathbb{N}[/tex] u nekim kolegijima sadrži nulu, a u nekima ne. Ili, negdje je skup prebrojiv samo ako je ekvipotentan s [tex]\mathbb{N}[/tex], a negdje je i konačan skup prebrojiv. Very Happy

Rekao bih da ta različitost u definiranju objekata nije nužno sama po sebi kontradiktorna niti možda mora neka definicija biti "službenija" od druge. Korisno je držati se jedne, ali isto tako poznavati i ostale moguće, ako ih ima. Smile

Mislim da je isto tako u ovom slučaju s kompaktnosti skupa, s tim da se riječ "kompaktnost" često veže i uz skupove na kojima nije definirana ili (naoko) nije moguće definirati normu elementa, pa toliko o kompaktnosti u smislu ograničenosti, zatvorenosti ili konvergencije! Primjerice, na 62. stranici sljedećeg linka možeš pronaći teorem kompaktnosti za logiku sudova, a primjenjuje se na skup formula (formule poput [tex]P \vee Q[/tex] ili [tex]Q \rightarrow (P \wedge R)[/tex]). LINK Smile

#80: Autor/ica: sasha.f,

Postano: 13:46 sub, 19. 1. 2013
—

Phoenix (napisa):

@sasha.f: Jesi li vidjela primjer [tex]8.5[/tex] s predavanja? Smile

Pitam jer možda to nisi vidjela u skripti, već, recimo, u nekom kolokviju, pa da nisi primijetila da je već objašnjeno.
Ako pitaš baš zbog nejasnog obrazloženja, što točno nije jasno? Smile

Ovo na kraju s fiksiranim [tex]a \in A[/tex], možda? Razz

da, nije mi jasan taj a i kako slijedi da je A interval

#81: Autor/ica: Tomy007,

Postano: 13:49 sub, 19. 1. 2013
—
Hvala Phoenix. Sad mi je jasno.

#82: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 15:48 sub, 19. 1. 2013
—

sasha.f (napisa):

da, nije mi jasan taj a i kako slijedi da je A interval

Prvo treba naglasiti da segmenti mogu u presjeku dati prazan skup, tj. da gore opisani [tex]a[/tex] ne postoji. Primjerice, ako promatramo puteve od [tex]0[/tex] do [tex]1[/tex], od [tex]1[/tex] do [tex]2[/tex] te od [tex]2[/tex] do [tex]3[/tex] dane na sljedeći način:
[tex]x \mapsto x, x \in \left[ 0,1 \right][/tex]
[tex]x \mapsto x+1, x \in \left[ 0,1 \right][/tex]
[tex]x \mapsto x+2, x \in \left[ 0,1 \right][/tex]
slike tih puteva u presjeku su [tex]\left[ 0,1 \right] \cap \left[ 1,2 \right] \cap \left[ 2,3 \right] = \emptyset[/tex].
No, što hoće točno reći ova pretpostavka?
Unija dva zatvorena segmenta u [tex]\mathbb{R}[/tex] može biti jedno od sljedećeg:
- zatvoreni segment ([tex]\left[ 0,2 \right] \cup \left[ 1,3 \right] = \left[ 0,3 \right][/tex])
- dva disjunktna "razdvojena" segmenta ([tex]\left[ 0,1 \right] \cup \left[ 2,3 \right][/tex])
Slično očekujemo i za uniju više segmenata, no htjeli bismo da vrijedi isključivo prva crtica. A to očekujemo upravo jer je [tex]A[/tex] povezan skup, zar ne? Smile

Ukratko, moj komentar bi bio sljedeći: ako su [tex]a,b \in A[/tex] povezani putevima, tada je [tex]\left[ a,b \right] \subseteq A[/tex]. Za proizvoljne točku [tex]c, d \in A[/tex], [tex]c<d[/tex] vrijedi:
- ako je [tex]c \in A[/tex] ili [tex]d \in A[/tex], tada je [tex]\left[ a,b \right] \cup \left[ c,d \right][/tex] zatvoren segment
- ako je [tex]c, d \in A \backslash \left[ a,b \right][/tex], moguća su još dva slučaja. Ako vrijedi [tex]c<a[/tex] i [tex]d>b[/tex], onda je [tex]\left[ a,b \right] \subseteq \left[ c,d \right][/tex] pa je unija zatvoren skup. Inače dobivamo [tex]\left[ a,b \right] \cup \left[ c,d \right][/tex]. No, postoji put između [tex]e \in \left[ a,b \right][/tex] i [tex]f \in \left[ c,d \right][/tex] te je slika tog puta u uniji s ova dva segmenta zatvoren segment.
Dakle, odabirom proizvoljna dva puta, uz eventualno pomoćni treći put (između [tex]e[/tex] i [tex]f[/tex]), u uniji dobivamo zatvoreni segment. I to je ideja te tvrdnje. Smile

Da skratim filozofiranje, mislim da je bitno (barem ako ideš na usmeni ispit) da ovo shvatiš intuitivno, pa, kako god znala to objasniti ili pokazati, bit će dobro. Smile

#83: Autor/ica: sasha.f,

Postano: 18:34 ned, 20. 1. 2013
—
Hvala Phoenix!

teorem 16.7, druga tvrdnja, može netko objasniti od uvođenja funkcije g?

#84: Autor/ica: tiborr,

Postano: 14:57 čet, 12. 2. 2015
—
također me zanima teorem 16.7, otkud zaključujemo da postoji delta>0 t.d. |t|<delta => g(t)<g(0)?

#85: Autor/ica: pllook,

Postano: 21:11 uto, 24. 2. 2015
—
Tm.9.5. Zašto je A potpun?
Tm.15.5. Da li je Hesseova matrica dobro napisana ili treba biti obratno,tj. umjesto xixj svugdje xjxi?

#86: Autor/ica: room,

Postano: 2:26 sri, 25. 2. 2015
—

pllook (napisa):

Tm.9.5. Zašto je A potpun?

Imas u iskazu teorema da je A zatvoren skup, a po propoziciji 4.25. podskup A od Rn je zatvoren akko je potpun.

pllook (napisa):

Tm.15.5. Da li je Hesseova matrica dobro napisana ili treba biti obratno,tj. umjesto xixj svugdje xjxi?

Dobro je napisana. Zato sto Hesseovu matricu odredujes tako da nades parcijalne derivacije po xi, za i=1,...,n. I onda u prvi red matrice ide parcijalna derivacija od (parcijalne derivacije po x1) po xj,j=1,...,n , pa u drugi red ide parcijalna derivacija od (parcijalne derivacije po x2) po xj, j=1,...,n itd.

#87: Autor/ica: pllook,

Postano: 7:17 sri, 25. 2. 2015
—

room (napisa):

pllook (napisa):

Tm.9.5. Zašto je A potpun?

Imas u iskazu teorema da je A zatvoren skup, a po propoziciji 4.25. podskup A od Rn je zatvoren akko je potpun.

pllook (napisa):

Tm.15.5. Da li je Hesseova matrica dobro napisana ili treba biti obratno,tj. umjesto xixj svugdje xjxi?

Ja sam bila uvjerena da to ide po stupcima. Hvala Smile

#88: Autor/ica: beeing,

Postano: 16:11 čet, 24. 12. 2015
—
Teorem 12.7 u skripti. Zanima me rečenica: "Iz teorema o srednjoj vrijednosti za funkcije jedne varijable...". Je l' se tu funkcija f shvaća prvo kao fja jedna varijable uz fiksan y2, a zatim uz fiksan x1 ili? Inače ne razumijem kako se dobiju one dvije jednakosti u rečenici.

Forum@DeGiorgi -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.