Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

LIouvilleov teorem (objasnjenje gradiva)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Kompleksna analiza
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
HijenA
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2004. (16:46:04)
Postovi: (3D2)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-26 = 44 - 70
Lokacija: Prazan skup ;-)

PostPostano: 16:52 čet, 12. 2. 2009    Naslov: LIouvilleov teorem Citirajte i odgovorite

imam problem sa shvacanjem ovog teorema, vjerojatno je neka glupa greska ali ja fakat jednu stvar ne razumijem.

dakle, Liouvilleov teorem kaze sljedece:

Svaka holomorfna funkcija, za koju postoji [latex]M \in \mathbb{N}[/latex] takav da vrijedi [latex]\lvert f(z) \rvert \leq M \quad \forall z \in \mathbb{C}[/latex], je konstantna.

dokaz teorema:
dokaz koristi cinjenicu da je svaka holomorfna funkcija analiticka. buduci da je f cijela funkcija, mozemo je razviti u Taylorov red (oko 0):
[latex]f(z)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty} a_k z^k[/latex]
gdje je [latex]a_k[/latex] (preko Cauchyeve integralne formule) jednak
[latex]a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_ {C_r} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{k+1}}\text{d}\zeta[/latex]
[latex]C_r[/latex] je kruznica radijusa r oko ishodista i r>0. sada mozemo direktno procijeniti:
[latex]\lvert a_k \rvert \leq \frac{1}{2\pi i}\oint\limits_ {C_r} \frac{\lvert f(\zeta) \rvert}{\lvert \zeta\rvert^{k+1}}\text{d}\zeta \leq \frac{1}{2\pi} \oint\limits_ {C_r} \frac{M}{r^{k+1}}}\text{d}\zeta=\frac{M}{2\pi r^{k+1}}\oint\limits_{C_r}\text{d}\zeta=\frac{M}{2\pi r^{k+1}}2\pi r=\frac{M}{r^k}[/latex]

gdje smo u drugoj nejedakosti koristili pretpostavku da je [latex]f(z)\leq M \quad \forall z\in \mathbb{C}[/latex] te cinjenicu da je [latex] \lvert z \rvert = r[/latex] na kruznici [latex]C_r[/latex]. izbor za r je potpuno proizvoljan. stoga, ako r pustamo u beskonacnost, dolazimo do toga da je [latex]a_k=0 \quad \forall k \geq 1[/latex]. iz toga slijedi da je f(z) konstantna funkcija, odnosno [latex]f(z)=a_k[/latex].

ok, sad slijedi pitanje. ovaj sredisnji dio je u biti maksimum funkcije na kruznici C_r. pretpostavka teorema je da je funkcija omedjena s gornje strane sa nekakvim M, sto znaci da je maksimum funkcije uvijek manji od tog M. i sad, koliko god mi povecavali ili smanjivali r (od 0 do beskonacno), sredisnji dio ce uvijek biti strogo manji od onog dijela desno jer je maksimum funkcije uvijek strogo manji od M. da li je ovo dovoljno dobar opis ovoga sto se gore desava? i jos nesto, zasto pustamo [latex]r\to +\infty[/latex]?
imam problem sa shvacanjem ovog teorema, vjerojatno je neka glupa greska ali ja fakat jednu stvar ne razumijem.

dakle, Liouvilleov teorem kaze sljedece:

Svaka holomorfna funkcija, za koju postoji takav da vrijedi , je konstantna.

dokaz teorema:
dokaz koristi cinjenicu da je svaka holomorfna funkcija analiticka. buduci da je f cijela funkcija, mozemo je razviti u Taylorov red (oko 0):

gdje je (preko Cauchyeve integralne formule) jednak

je kruznica radijusa r oko ishodista i r>0. sada mozemo direktno procijeniti:


gdje smo u drugoj nejedakosti koristili pretpostavku da je te cinjenicu da je na kruznici . izbor za r je potpuno proizvoljan. stoga, ako r pustamo u beskonacnost, dolazimo do toga da je . iz toga slijedi da je f(z) konstantna funkcija, odnosno .

ok, sad slijedi pitanje. ovaj sredisnji dio je u biti maksimum funkcije na kruznici C_r. pretpostavka teorema je da je funkcija omedjena s gornje strane sa nekakvim M, sto znaci da je maksimum funkcije uvijek manji od tog M. i sad, koliko god mi povecavali ili smanjivali r (od 0 do beskonacno), sredisnji dio ce uvijek biti strogo manji od onog dijela desno jer je maksimum funkcije uvijek strogo manji od M. da li je ovo dovoljno dobar opis ovoga sto se gore desava? i jos nesto, zasto pustamo ?



_________________
Chuck Norris can divide by zero.

I bow before you Veliki Limun, on je kiseo i zut Bow to the left

[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Kompleksna analiza Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan