Baze vektorskih prostora (zadatak)

[marty]

molila bih da li moze tko napisati rješenja ovih zadataka... znam da su neki rjeseni na demonstraturama, ali za one koji nisu bili....

4.Neka je skupbaza vektorskog prostora V te neka je a= .pokažite da je skup baza za V ako i samo ako je različito od 0.

5.Neka je skup baza vektorskog prostora .Dokaži da je on baza i za .

unaprijed hvala

[Luuka]

Oba su dosta lagana.
1.
→:
pretp suprotno, { a, b2, b3, ..., bn} baza i alfa1=0.
Tada je

pa je skup { a, b2, b3, ..., bn} očito linearno zavisan, pa ne može biti baza. Kontradikcija.

←
opet pretp suprotno:
neka je alfa1!=0 i { a, b2, b3, ..., bn} nije baza

Pošto nije baza, tada je taj skup linearno zavisan. To znači da se neki vektor (npr a) može prikazati pomoću ostalih, tj da postoje skalari beta_i takvi da a ima prikaz:


no, a je dan jedinstvenim prikazom u bazi . slijedi da je beta_i = alfa_i za i=2...n, i alfa1=0. Kontradikcija.

2.
jer je { b_1, ... b_n } baza za Rn, znači da se nul-vektor može samo na trivijalan način prikazat kao njihova linearna kombinacija (za skalare iz R).
Sad uzmemo skalare iz C ( alfa_k + i beta_k), i probamo nulu (0+0i) napisat pomoću njih. To ponovno vodi na trivijalan slučaj jer izjednačavanjem realnog i imaginarnog dijela na obje strane dobijemo isto - a to je prikaz nule pomoću realnih skalara.

p.s. drugi zadatak vrijedi samo za C^n nad poljem C. Kad imamo nad poljem R, onda baze nisu iste.

npr vektor (i,0) se ne može prikazat pomoću (0,1) i (1,0) upotrebom realnih skalara.

p.s. Ako netko ima precizniji dokaz drugog zadatka nek ga da, ovaj moj mi je sumnjiv... najteže je dokazat trivijalne stvari.

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[marty]

hvala hvala hvala....

[Luuka]

E da, u drugom zad je dokazano da je lin nezavisno, još treba dokazat da je sustav izvodnica, a to je lagano

Sad je ok skroz

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[ajaxcy]

[Luuka]

stvar je upravo u onom alfa1!=0. Jer ako je ==0, onda je a lin komb b2,b3,...,bn pa {a,b1,...,bn} nikako ne može bit baza. No, ako ima u sebi i dio od b1, onda će biti lin nazavisan s ostalim bi-jevima, i sa njima će moć činit bazu.

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[ajaxcy]

Aha..sad kužim!!! hvala