kolokviji.... (zadatak)

[eve]

Trebaš izbačeni vektor prikazat pomoću vektora koji su ti ostali u bazi te od tog prikaza uzet samo M komponentu, to je jedan vektor i dim L = 1, jer dim M+L=dimM+dimL-dim(MpresjekL)
3=2+2-dim(MpresjekL)..

[NeonBlack]

dimL=1?
Znam to sam i napravila ako malo bolje pogledaš,ali 2 su vektora iz M,kužiš,to me zbunjuje

0, 2, 3,−1)=2(1, 0, 1,−2)+ 3(0, 1, 0, 1) + (-1)(1,−1,−2, 0)
i sad bih trebala izbaciti (-1)(1,−1,−2, 0) jer je iz L kao i (0, 2, 3,−1)

[eve]

To sve stoji, ali sve ovo što je iz M pomnožiš i zbrojiš:
2(1, 0, 1,−2)+ 3(0, 1, 0, 1)=(2,0,2,-4)+(0,3,0,3)=(2,3,2,-1)
..pa je vektor (2,3,2,-1) baza presjeka

[NeonBlack]

eee to me zanimalo, to sam i napravila intuitivno ali nisam bila sigurna je li to legitiman način ,tnx

[eve]

Je, je, jer nemreš od jednog vektora napravit dva, nego ajmo reć taj vektor preobrazuješ u vektor koji je i u M i u L..
Nema na čem

[niveus]

Ako mi netko može rješiti ovaj zadatak: Neka su L i M potprostori prostora R^4 s bazama {(1,2,1,1), (1,3,2,2)} i {(1,0,-1,-1), (1,0,1,1), (2,1,1,1)} respektivno. Odreditie bazu za L presjek M.

[miam]

moze li mi netko rijesiti ovaj zadatak, molim vas...

za koje p iz R vekroti a=i+j+pk, b=-i+j-k, c=3i+pj+k iz V3(O) nekomplanarni?
ako su a, b i c komplanarni za koje L iz R vektr d= Li-j+k moze prikazati kao linearna kombinacija..?

[maty321]

jel mi moze neko ovo rijesiti...hvala unaprijed

A(1,0,1,0)+B(0,1,1,1)+C(1,1,1,-1)=(0,3,-2,-3)

[Gino]

[maty321]

Je li skup A = {p ∈ P2 : p(0) = 3} potprostor vektorskog prostora P2? Ako jest
odredite mu dimenziju i neku bazu.

[A_je_to]

Nije v.p. jer A nije zatvoren niti na zbrajanje vektora niti na množenje vektora skalarom.
Kontraprimjer:
p(x)=3, x e R, p e P2 tj. p e A
npr. neka ja alfa=4 => (alfa*p)(0)=4*p(0)=4*3 !=3 => alfa*p nije iz A pa A nije v. potprostor.
Nadam se da je jasno.

[maty321]

da jasno mi je i dal moze jos samo nesto

a koje su p ∈ R vektori
a = i + j + p*k ,
b = − i + j − k
c = 3i + pj +k
(O) nekomplanarni?
To znam!!!!
no medjutim ako su komplanarni za koje se A e R vektor d = Ai - j + k moze prikazati kao njihova lin komb??
postupak ....

[A_je_to]

Ubaciš taj p (mislim da je u ovom zadatku p=-1) u vektore a, b, c i tražiš lin. kombinaciju tj. staviš:
alfa*a+beta*b+gama*c=d, gdje su a=(1, 1, -1), b=(-1, 1, -1), c=(3, -1, 1) a d=( alfa, -1, 1).
U ovom slučaju dobiješ da sustav ima beskonačno rješenja pa to vrijedi za svaki alfa.

[maty321]

aha tako dakle.. e hvala ti puno!!!!!

Added after 8 minutes:

{(1, 1 − i), (1 + i, 1)} u C2...kako prikazati sistem izvodnica, uzeti samo proizvoljan x ili x+yi???

[gramzon]

Do kud smo uopce dosli s gradivom?

[eve]

Do matrica

[marijana07]

http://web.math.hr/nastava/la/kolokviji/03-04/la1/kol1b.pdf

Prva 3 zadatka (sigurna sam da su to najlaksi, ali ih ne znam... ne znam kako bi ih uopce postavila

[pbakic]

1) nadjes vektore OA, OB, OC i provjeris jesu li linearno nezavisni (preko definicije nezavisnosti, znaci mora vrijedit implikacija
aOA+bOB+cOC=0 ⇒ a=b=c=0) ako su zavisni, onda su sigurno u istoj ravnini...

2) operatore jos nismo radili

3)
ax + y= b /*(-4)
4x + ay= 2 /*a
zbrojis i dobijes

ax + y= b
(a^2-4)y = 2a -4b...
i sad imas slucajeve

I) a^2-4=0
a) 2a-4b!=0 ⇒ nema rj.
b) 2a-4b=0 ⇒ a=2b, a imamo a^2 -4 =0

ako je a=2, onda je b=4 ⇒ x=(4-y)/2
ako je a=-2 ⇒ b=-4 ⇒ x= (y+4)/2
dakle u I b) dobivas jednoparametarska rjesenja


II) a^2 - 4!=0
a) 2a-4b=0 ⇒ sustav nema rj.

b) 2a-4b!=0 ⇒ y= (2a-4b)/(a^2-4)
ako je a=0, onda je y=b pa u prvoj jednadzbi dobijemo
b=b... prema tome, x ne ovisi o y, pa pogledamo pocetne jednadzbe (jer smo tamo mnozili s a)
i vidimo da izgledaju ovako
y=b
4x=2 (pa dakle imamo jedinstveno rjesenje u ovisnosti o b) : y=b, x=1/2

ako je a!=0 onda imas x=(b-y)/a ⇒ opet jedinstveno
rjesenje, tj y= (2a-4b)/(a^2-4),
x= (b-2)/(a^2-4)

vektorsko-geometrijski argumenti bi valjda bili:
ako je a^2=2, 2a-4b!=0, onda su vektori (a,4) (kojeg mnozi skalar x)
i (1,a) (kojeg mnozi skalar y) kolinearni, a vektor (b,2) nije kolinearan s njima pa nema rjesenja... itd po slucajevima

[marijana07]

wow... hvala puno... kad vec ''vjezbas'' mi mos rijesit 1. i 3. iz ovog kolokvija:

http://web.math.hr/nastava/la/kolokviji/06-07/la1/kol1b.pdf

[pbakic]

nek ti bude

prvi je skroz slican ko i prvi iz proslog posta:
trazimo t takav da su ova 3 vektora (a,b,c) nezavisna
stavimo ih u uvjet za nezavisnost (recimo da su skalari x,y,z):

x(5i-2j) + y(3i + 4j) + z(2i + j + (t-3)k)=0, ovo grupiramo po i, j, k i dobijemo da mora biti (jer su i,j,k nezavisni pa su skalari uz njih 0):

5x+3y+2z=0
-2x+4y+z=0
(t-3)*z =0

sad trazimo takav t da rjesenje ovog sustava bude jedinstveno, i to x=y=z=0

ocito, mora biti t!=3 (!= znaci razlicito ofc), inace mozes izabrat bilo kakav z pa ti je u 3. jednadzbi svejedno 0=0...
dakle, kad je t razlicito od 3, mora biti x=y=z=0, pa su oni vektori na pocetku nekomplanarni => baza za V3O

3) ovaj skup je sistem izvodnica, reduciramo ga do baze:
drugi vektor se ocito ne moze prikazat pomocu prvog, a 3. (kad rijesis sustav ili uocis) se moze prikazat kao 2*prvi + drugi => zavisan je => izbacimo ga i dobijemo da je baza {(1,0,-1,0),(-1,1,1,1)}

Sad nadopunimo to sa kanonskom bazom za R4
{(1,0,-1,0),(-1,1,1,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}
Ovaj skup je ocito sistem izvodnica za R4, reduciramo ga do baze:
(neka su ovi vektori redom a,b,c,d,e,f, da ne moram pisat bas sve)
-prva 2 su nezavisna jer su bili baza za M
-odma mozes vidjet (al bolje je rjesit sustav) da se c ne moze prikazat pomocu a,b
-takodjer, d se ne moze prikazati pomocu a,b,c i to ti je dosta, jer vec imas 4 nezavisna vektora (a to je i max. moguc broj buduci si u R4), dakle znas da ce ostali bit zavisni pa ni ne moras provjeravat.
Ovime smo dobili da su a,b,c,d baza za R4, iz cega zakljucujemo da je
{c,d} baza za direktni komplement