Dokaz:injekcija l.op.<=>jezgra trivijalna

[Gost]

Treba dokazati ekvivalenciju:
A je injekcija <=> kerA={0}
Dovoljnost(<=) smo dokazivali na vježbama,a nužnost (=>) je ostavljena za zadaću,pa jeli ovaj dokaz dobar:

imam injekciju,stoga imam sljedeću implikaciju:
v_1,v_2 iz V , v_1 =! v_2 => A(v_1) =! A(v_2) svojstvo injekcije

trebam pokazati da je jezgra lin.operatora trivijalna,pretpostavljam suprotno:kerA={v},v =! 0,v iz V

definiram v ovako:
v=v_1-v_2

zato što je lin.op. injekcija mora vrijediti:
A(v_1)-A(v_2) =! 0
iskoristim aditivnost:
A(v_1-v_2) =! 0
kako je v=v_1-v_2:
A(v) =! 0 što je kontradikcija jer sam pretpostavio da je v iz jezgre linearnog operatora A,dakle imam kontradikciju s pretpostavkom!

[veky]

[Gost]

Dakle dokaz bi išao ovako:

imam injekciju,stoga imam sljedeću implikaciju:
v_1,v_2 iz V , v_1 =! v_2 ⇒ A(v_1) =! A(v_2) svojstvo injekcije

moram dokazati: A je injekcija ⇒ kerA={0}

pretpostavljam suprotno,dakle negiram gornju implikaciju: A je injekcija i kerA=!{0}

Očito je da se radi o nejednakosti dvaju skupova,skupova kerA i {0},pa jedna od inkluzija neće vrijediti:
1.kerA ''sadržano u'' {0}
vrijedi jer svaka linearna funkcija po ''nekoj tamo'' lemi tvrdi da djelujući na nulvektor iz V preslikava ga u nulvektor iz W.

Onda nužno ne vrijedi druga inkluzija:
2.{0} ''sadržano u'' kerA
što će reći da skup kerA mora sadržavati još barem jedan vektor v=!0(v ne može biti jednak nuli jer je nula jedinstveni element,a već ju imamo u jezgri,čim imamo linearni operator nulu uvijek imamo u jezgri).
Kako je taj v iz kerA,to znači da preslikavanje toga vektora v mora nužno ići u 0 jer je to svojstvo skupa kojeg zovemo jezgra linearnog operatora,sve što je u njemu linearna funkcija ''baca'' u nulu.
Pa bi time imali dva različita elementa iz domene(točnije jezgre) koji su se preslikali u istu vrijednost,a to je kontradikcija jer je naša funkcija injekcija.
Imamo stoga kontradikciju s pretpostavkom,dakle bilo je krivo pretpostaviti kerA=!{0},a ako nije crno onda je bijelo,pa je dakle kerA={0}.

[steelworker]

Ja bi tvoj (1.) dokaz ovako preradio (legenda: dokaz - preinake - komentar):

[veky]

[Gost]

Hvala!