| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
 Postano: 19:25 pet, 2. 4. 2004 Naslov: Dokaz:injekcija l.op.<=>jezgra trivijalna |
    |
|
|
Treba dokazati ekvivalenciju:
A je injekcija <=> kerA={0}
Dovoljnost(<=) smo dokazivali na vježbama,a nužnost (=>) je ostavljena za zadaću,pa jeli ovaj dokaz dobar:
imam injekciju,stoga imam sljedeću implikaciju:
v_1,v_2 iz V , v_1 =! v_2 => A(v_1) =! A(v_2) svojstvo injekcije
trebam pokazati da je jezgra lin.operatora trivijalna,pretpostavljam suprotno:kerA={v},v =! 0,v iz V
definiram v ovako:
v=v_1-v_2
zato što je lin.op. injekcija mora vrijediti:
A(v_1)-A(v_2) =! 0
iskoristim aditivnost:
A(v_1-v_2) =! 0
kako je v=v_1-v_2:
A(v) =! 0 što je kontradikcija jer sam pretpostavio da je v iz jezgre linearnog operatora A,dakle imam kontradikciju s pretpostavkom!
Treba dokazati ekvivalenciju:
A je injekcija <=> kerA={0}
Dovoljnost(<=) smo dokazivali na vježbama,a nužnost (=>) je ostavljena za zadaću,pa jeli ovaj dokaz dobar:
imam injekciju,stoga imam sljedeću implikaciju:
v_1,v_2 iz V , v_1 =! v_2 => A(v_1) =! A(v_2) svojstvo injekcije
trebam pokazati da je jezgra lin.operatora trivijalna,pretpostavljam suprotno:kerA={v},v =! 0,v iz V
definiram v ovako:
v=v_1-v_2
zato što je lin.op. injekcija mora vrijediti:
A(v_1)-A(v_2) =! 0
iskoristim aditivnost:
A(v_1-v_2) =! 0
kako je v=v_1-v_2:
A(v) =! 0 što je kontradikcija jer sam pretpostavio da je v iz jezgre linearnog operatora A,dakle imam kontradikciju s pretpostavkom!
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 20:54 pet, 2. 4. 2004 Naslov: Re: Dokaz:injekcija l.op.<=>jezgra trivijalna |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Treba dokazati ekvivalenciju:
A je injekcija <=> kerA={0}
Dovoljnost(<=) smo dokazivali na vježbama,a nužnost (=>) je ostavljena za zadaću,pa jeli ovaj dokaz dobar:
imam injekciju,stoga imam sljedeću implikaciju:
v_1,v_2 iz V , v_1 =! v_2 => A(v_1) =! A(v_2) svojstvo injekcije
trebam pokazati da je jezgra lin.operatora trivijalna,pretpostavljam suprotno:kerA={v},v =! 0,v iz V[/quote]
Tu je greška. To nije suprotno. Nitko ne kaže da je jezgra jednočlana uopće.
Sve što ti imaš je Ker A != {0} . To znači, po definiciji jednakosti skupova, da ne vrijedi jedna ili druga inkluzija. "nadskup" vrijedi (jer je 0@Ker A trivijalno, zbog A0=0 ), pa dakle ne vrijedi "podskup", odnosno postoji (još) neki v@Ker A , v != 0 . No tad je Av=0=A0 , dakle A baca dva vektora ( v i 0 ) u isti vektor 0 , pa nije injekcija. Ok?
| Anonymous (napisa): | Treba dokazati ekvivalenciju:
A je injekcija ⇔ kerA={0}
Dovoljnost(⇐) smo dokazivali na vježbama,a nužnost (⇒) je ostavljena za zadaću,pa jeli ovaj dokaz dobar:
imam injekciju,stoga imam sljedeću implikaciju:
v_1,v_2 iz V , v_1 =! v_2 ⇒ A(v_1) =! A(v_2) svojstvo injekcije
trebam pokazati da je jezgra lin.operatora trivijalna,pretpostavljam suprotno:kerA={v},v =! 0,v iz V |
Tu je greška. To nije suprotno. Nitko ne kaže da je jezgra jednočlana uopće.
Sve što ti imaš je Ker A != {0} . To znači, po definiciji jednakosti skupova, da ne vrijedi jedna ili druga inkluzija. "nadskup" vrijedi (jer je 0@Ker A trivijalno, zbog A0=0 ), pa dakle ne vrijedi "podskup", odnosno postoji (još) neki v@Ker A , v != 0 . No tad je Av=0=A0 , dakle A baca dva vektora ( v i 0 ) u isti vektor 0 , pa nije injekcija. Ok?
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 17:00 ned, 4. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
Dakle dokaz bi išao ovako:
imam injekciju,stoga imam sljedeću implikaciju:
v_1,v_2 iz V , v_1 =! v_2 => A(v_1) =! A(v_2) svojstvo injekcije
moram dokazati: A je injekcija => kerA={0}
pretpostavljam suprotno,dakle negiram gornju implikaciju: A je injekcija i kerA=!{0}
Očito je da se radi o nejednakosti dvaju skupova,skupova kerA i {0},pa jedna od inkluzija neće vrijediti:
1.kerA ''sadržano u'' {0}
vrijedi jer svaka linearna funkcija po ''nekoj tamo'' lemi tvrdi da djelujući na nulvektor iz V preslikava ga u nulvektor iz W.
Onda nužno ne vrijedi druga inkluzija:
2.{0} ''sadržano u'' kerA
što će reći da skup kerA mora sadržavati još barem jedan vektor v=!0(v ne može biti jednak nuli jer je nula jedinstveni element,a već ju imamo u jezgri,čim imamo linearni operator nulu uvijek imamo u jezgri).
Kako je taj v iz kerA,to znači da preslikavanje toga vektora v mora nužno ići u 0 jer je to svojstvo skupa kojeg zovemo jezgra linearnog operatora,sve što je u njemu linearna funkcija ''baca'' u nulu.
Pa bi time imali dva različita elementa iz domene(točnije jezgre) koji su se preslikali u istu vrijednost,a to je kontradikcija jer je naša funkcija injekcija.
Imamo stoga kontradikciju s pretpostavkom,dakle bilo je krivo pretpostaviti kerA=!{0},a ako nije crno onda je bijelo,pa je dakle kerA={0}.
[quote]Nitko ne kaže da je jezgra jednočlana uopće[/quote]
Pa nije li to tvrdnja implikacije?Taj koji je dokazao to kaže da je jezgra jednočlana :wink:
Dakle dokaz bi išao ovako:
imam injekciju,stoga imam sljedeću implikaciju:
v_1,v_2 iz V , v_1 =! v_2 ⇒ A(v_1) =! A(v_2) svojstvo injekcije
moram dokazati: A je injekcija ⇒ kerA={0}
pretpostavljam suprotno,dakle negiram gornju implikaciju: A je injekcija i kerA=!{0}
Očito je da se radi o nejednakosti dvaju skupova,skupova kerA i {0},pa jedna od inkluzija neće vrijediti:
1.kerA ''sadržano u'' {0}
vrijedi jer svaka linearna funkcija po ''nekoj tamo'' lemi tvrdi da djelujući na nulvektor iz V preslikava ga u nulvektor iz W.
Onda nužno ne vrijedi druga inkluzija:
2.{0} ''sadržano u'' kerA
što će reći da skup kerA mora sadržavati još barem jedan vektor v=!0(v ne može biti jednak nuli jer je nula jedinstveni element,a već ju imamo u jezgri,čim imamo linearni operator nulu uvijek imamo u jezgri).
Kako je taj v iz kerA,to znači da preslikavanje toga vektora v mora nužno ići u 0 jer je to svojstvo skupa kojeg zovemo jezgra linearnog operatora,sve što je u njemu linearna funkcija ''baca'' u nulu.
Pa bi time imali dva različita elementa iz domene(točnije jezgre) koji su se preslikali u istu vrijednost,a to je kontradikcija jer je naša funkcija injekcija.
Imamo stoga kontradikciju s pretpostavkom,dakle bilo je krivo pretpostaviti kerA=!{0},a ako nije crno onda je bijelo,pa je dakle kerA={0}.
| Citat: | | Nitko ne kaže da je jezgra jednočlana uopće |
Pa nije li to tvrdnja implikacije?Taj koji je dokazao to kaže da je jezgra jednočlana 
|
|
| [Vrh] |
|
steelworker
Site Admin
Pridružen/a: 25. 04. 2003. (11:21:04)
Postovi: (698)16
Lokacija: 4-dimensional space-time continuum. Or some 11-dimensional continuum? Dunna, it's all relative.
|
| Postano: 1:00 pon, 5. 4. 2004 Naslov: Re: Dokaz:injekcija l.op.<=>jezgra trivijalna |
|
|
|
Ja bi tvoj (1.) dokaz ovako preradio (legenda: [b]dokaz[/b] - [color=red][b]preinake[/b][/color] - [color=indigo]komentar[/color]):
[quote="Anonymous"][b]A je injekcija <=> kerA={0}
Dovoljnost(<=) smo dokazivali na vježbama, a nužnost (=>) je ostavljena za zadaću, pa je li ovaj dokaz dobar:
imam injekciju, stoga imam sljedeću implikaciju:
v_1,v_2 iz V , v_1 =! v_2 => A(v_1) =! A(v_2) svojstvo injekcije
trebam pokazati da je jezgra lin.operatora trivijalna, pretpostavljam suprotno: [color=red]postoji v @ V, v =! 0 t.d. v @ kerA
v != 0 => postoje v_1, v_2 @ V, v_1 =! v_2 t.d.[/color]
v=v_1-v_2
[/b]
[color=indigo](ono [i]definiramo v kao v_1 - v_2[/i] mi se cini malo nespretno receno, jer ti tvrdis da postoji _neki_ v@ kerA t.d v =! 0 (i to je sve s cim ga ogranicujes), a onda ga ides definirati (citaj precizirati) da je jos nesto. A ti njega zapravo ne definiras vec cisto navodis jedno svojstvo od V, mogao si reci da definiras v_1 i v_2 tako da vrijedi [i]v = v_1 - v_2[/i], al se meni ipak najvise svidja :roll: ovo kaj sam napisal)[/color]
[b]zato što je lin.op. injekcija mora vrijediti:
A(v_1)-A(v_2) =! 0
iskoristim aditivnost:
A(v_1-v_2) =! 0
kako je v=v_1-v_2:
A(v) =! 0 što je kontradikcija jer sam pretpostavio da je v iz jezgre linearnog operatora A, dakle imam kontradikciju s pretpostavkom!
[color=red]Dakle ne postoji v @ kerA, t.d. v =! 0 , a kako jezgra svakog lin. op. sadrzi 0 [/color][/b][color=indigo](dokaz pogledaj na kraju ovog posta)[/color][b][color=red] => kerA ={0}
Q.E.D. 8) [/color][/b][/quote]
[quote="Gost"][quote="veky"]Nitko ne kaže da je jezgra jednočlana uopće [/quote]
Pa nije li to tvrdnja implikacije?Taj koji je dokazao to kaže da je jezgra jednočlana.[/quote]
Da, ali mislim da je veky mislio na tvoju (krivu) suprotnu pretpostavku u prvom postu. Jer si za suprotnu pretpostavku od [i]kerA = {0}[/i] uzeo [i]kerA = {v}[/i]. Zasto ne bi moglo biti kerA = {0, v, -v}. Ili jos malo vise njih =! 0 unutra. Jezgra ne mora biti jednoclana u opcem slucaju (mislim da je to veky htio reci, tj. da je to rekao :wink: ).
A [i]kerA = {v}, v =! 0[/i] je nemoguce jer je uvijek [i]0 @ kerA[/i].
Dokaz:
Uzmimo proizvoljni LinO [size=9](linearni operator odmilja :wink: )[/size] A.
A(0)=?
Uzmemo neki v @ V i imamo 0 = v - v =>
[color=red]A(0) =[/color] A(v - v) = A(v) - A(v) [color=red]= 0[/color] => 0 @ kerA za svaki A
Q.E.D. 8)
P.S. Najvaznija poruka mog posta - iza Q.E.D. uvijek ide 8). 8)
Ja bi tvoj (1.) dokaz ovako preradio (legenda: dokaz - preinake - komentar):
| Anonymous (napisa): | A je injekcija ⇔ kerA={0}
Dovoljnost(⇐) smo dokazivali na vježbama, a nužnost (⇒) je ostavljena za zadaću, pa je li ovaj dokaz dobar:
imam injekciju, stoga imam sljedeću implikaciju:
v_1,v_2 iz V , v_1 =! v_2 ⇒ A(v_1) =! A(v_2) svojstvo injekcije
trebam pokazati da je jezgra lin.operatora trivijalna, pretpostavljam suprotno: postoji v @ V, v =! 0 t.d. v @ kerA
v != 0 ⇒ postoje v_1, v_2 @ V, v_1 =! v_2 t.d.
v=v_1-v_2
(ono definiramo v kao v_1 - v_2 mi se cini malo nespretno receno, jer ti tvrdis da postoji _neki_ v@ kerA t.d v =! 0 (i to je sve s cim ga ogranicujes), a onda ga ides definirati (citaj precizirati) da je jos nesto. A ti njega zapravo ne definiras vec cisto navodis jedno svojstvo od V, mogao si reci da definiras v_1 i v_2 tako da vrijedi v = v_1 - v_2, al se meni ipak najvise svidja  ovo kaj sam napisal)
zato što je lin.op. injekcija mora vrijediti:
A(v_1)-A(v_2) =! 0
iskoristim aditivnost:
A(v_1-v_2) =! 0
kako je v=v_1-v_2:
A(v) =! 0 što je kontradikcija jer sam pretpostavio da je v iz jezgre linearnog operatora A, dakle imam kontradikciju s pretpostavkom!
Dakle ne postoji v @ kerA, t.d. v =! 0 , a kako jezgra svakog lin. op. sadrzi 0 (dokaz pogledaj na kraju ovog posta) ⇒ kerA ={0}
Q.E.D.  |
| Gost (napisa): | | veky (napisa): | | Nitko ne kaže da je jezgra jednočlana uopće |
Pa nije li to tvrdnja implikacije?Taj koji je dokazao to kaže da je jezgra jednočlana. |
Da, ali mislim da je veky mislio na tvoju (krivu) suprotnu pretpostavku u prvom postu. Jer si za suprotnu pretpostavku od kerA = {0} uzeo kerA = {v}. Zasto ne bi moglo biti kerA = {0, v, -v}. Ili jos malo vise njih =! 0 unutra. Jezgra ne mora biti jednoclana u opcem slucaju (mislim da je to veky htio reci, tj. da je to rekao ).
A kerA = {v}, v =! 0 je nemoguce jer je uvijek 0 @ kerA.
Dokaz:
Uzmimo proizvoljni LinO (linearni operator odmilja ) A.
A(0)=?
Uzmemo neki v @ V i imamo 0 = v - v ⇒
A(0) = A(v - v) = A(v) - A(v) = 0 ⇒ 0 @ kerA za svaki A
Q.E.D.
P.S. Najvaznija poruka mog posta - iza Q.E.D. uvijek ide .
_________________
I live like this 'cause I like it
And I've seen too much to pretend
You can't ignore the beauty in the things that you love
Like you can't stand the hatred and the lies
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 11:13 pon, 5. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Dakle dokaz bi išao ovako:
imam injekciju,stoga imam sljedeću implikaciju:
v_1,v_2 iz V , v_1 =! v_2 => A(v_1) =! A(v_2) svojstvo injekcije
moram dokazati: A je injekcija => kerA={0}
pretpostavljam suprotno,dakle negiram gornju implikaciju: A je injekcija i kerA=!{0}
Očito je da se radi o nejednakosti dvaju skupova,skupova kerA i {0},pa jedna od inkluzija neće vrijediti:
1.kerA ''sadržano u'' {0}
vrijedi jer svaka linearna funkcija po ''nekoj tamo'' lemi tvrdi da djelujući na nulvektor iz V preslikava ga u nulvektor iz W.
Onda nužno ne vrijedi druga inkluzija:
2.{0} ''sadržano u'' kerA[/quote]
Ok, samo što su ti točke obrnute. :? Ispod (1) ti piše da je 0 element jezgre, odnosno da je {0} sadržano u Ker A . Dok (2) (negirano) kaže da je Ker A sadržano u {0} , odnosno da je _jedini_ element jezgre nulvektor.
[quote]što će reći da skup kerA mora sadržavati još barem jedan vektor v=!0(v ne može biti jednak nuli jer je nula jedinstveni element,a već ju imamo u jezgri,čim imamo linearni operator nulu uvijek imamo u jezgri).[/quote]
Ovo ne treba toliko raspisivati - to si već učinio u (1)...
[quote]Kako je taj v iz kerA,to znači da preslikavanje toga vektora v mora nužno ići u 0 jer je to svojstvo[/quote]
Bolje rečeno, definicija.
[quote] skupa kojeg zovemo jezgra linearnog operatora,sve što je u njemu linearna funkcija ''baca'' u nulu.
Pa bi time imali dva različita elementa iz domene(točnije jezgre) koji su se preslikali u istu vrijednost,a to je kontradikcija jer je naša funkcija injekcija.
Imamo stoga kontradikciju s pretpostavkom,dakle bilo je krivo pretpostaviti kerA=!{0},a ako nije crno onda je bijelo,pa je dakle kerA={0}.[/quote]
Točno, samo što to nema veze s crnim i bijelim. Boje su puno čudnije od dvovaljane logike. Ako nije crno, vrlo vjerojatno je zeleno. ;-)
[quote][quote]Nitko ne kaže da je jezgra jednočlana uopće[/quote]
Pa nije li to tvrdnja implikacije?Taj koji je dokazao to kaže da je jezgra jednočlana :wink:[/quote]
Right. No u toj liniji dokaza, to tek treba dokazati. Dakle, u tom trenutku to još nije argumentirano rečeno.
| Anonymous (napisa): | Dakle dokaz bi išao ovako:
imam injekciju,stoga imam sljedeću implikaciju:
v_1,v_2 iz V , v_1 =! v_2 ⇒ A(v_1) =! A(v_2) svojstvo injekcije
moram dokazati: A je injekcija ⇒ kerA={0}
pretpostavljam suprotno,dakle negiram gornju implikaciju: A je injekcija i kerA=!{0}
Očito je da se radi o nejednakosti dvaju skupova,skupova kerA i {0},pa jedna od inkluzija neće vrijediti:
1.kerA ''sadržano u'' {0}
vrijedi jer svaka linearna funkcija po ''nekoj tamo'' lemi tvrdi da djelujući na nulvektor iz V preslikava ga u nulvektor iz W.
Onda nužno ne vrijedi druga inkluzija:
2.{0} ''sadržano u'' kerA |
Ok, samo što su ti točke obrnute.  Ispod (1) ti piše da je 0 element jezgre, odnosno da je {0} sadržano u Ker A . Dok (2) (negirano) kaže da je Ker A sadržano u {0} , odnosno da je _jedini_ element jezgre nulvektor.
| Citat: | | što će reći da skup kerA mora sadržavati još barem jedan vektor v=!0(v ne može biti jednak nuli jer je nula jedinstveni element,a već ju imamo u jezgri,čim imamo linearni operator nulu uvijek imamo u jezgri). |
Ovo ne treba toliko raspisivati - to si već učinio u (1)...
| Citat: | | Kako je taj v iz kerA,to znači da preslikavanje toga vektora v mora nužno ići u 0 jer je to svojstvo |
Bolje rečeno, definicija.
| Citat: | skupa kojeg zovemo jezgra linearnog operatora,sve što je u njemu linearna funkcija ''baca'' u nulu.
Pa bi time imali dva različita elementa iz domene(točnije jezgre) koji su se preslikali u istu vrijednost,a to je kontradikcija jer je naša funkcija injekcija.
Imamo stoga kontradikciju s pretpostavkom,dakle bilo je krivo pretpostaviti kerA=!{0},a ako nije crno onda je bijelo,pa je dakle kerA={0}. |
Točno, samo što to nema veze s crnim i bijelim. Boje su puno čudnije od dvovaljane logike. Ako nije crno, vrlo vjerojatno je zeleno.
| Citat: | | Citat: | | Nitko ne kaže da je jezgra jednočlana uopće |
Pa nije li to tvrdnja implikacije?Taj koji je dokazao to kaže da je jezgra jednočlana |
Right. No u toj liniji dokaza, to tek treba dokazati. Dakle, u tom trenutku to još nije argumentirano rečeno.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
|
