Problem sa zadaćom (zadatak)

[sylar]

mislio sam da se ljudi baziraju na one predmete koje sad slušaju Elementarnu geometriju, da se ne zamaraju kolegijima koje će tek slušat

_________________
...we die and world will be poor for it...

[kenny]

Nikad nije na odmet naučiti nešto novo. Uostalom, kad budu slušali KMG će im olakšati jer će već znati konstruirati četvrtu proporcionalu.

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[Ignavia]

[nitko_nezna]

Znali netko mozda 11.zadatak iz trece zadace????

[lost_soul]

Bi li mi netko mogao pomoći oko 8. ili 14. zadatka iz zadaće?
Hvala

[kenny]

Zadatak: Što je kompozicija dviju centralnih simetrija?

Prvo krenimo od ovoga: što je uopće centralna simetrija? To možemo promatrati kao kompoziciju dviju osnih simetrija, s tim da su osi simetrije međusobno okomiti.

Neka su A i B centri simetrije. Te dvije točke određuju pravac c. U točkama A i B "dignimo" okomice na c i nazovimo ih pravcima a i b.

Sad možemo pisati: .

NAPOMENA: mogli smo ove kompozicije napisati i obrnuto: jer je kompozicija dviju osnih simetrija komutativna ako su osi simetrije okomiti pravci.

Nas sada zanima što je kompozicija tih dviju centralnih simetrija.

.

Kako je osna simetrija involutorno preslikavanje, odnosno vrijedi možemo pisati:

.

Dakle, dobili smo da je kompozicija dviju centralnih simetrija ujedno i kompozicija dviju osnih simetrija. Još ima jedan ključni dio: te dvije osne simetrije imaju paralelne pravce (to zaključujemo jer su obje osi simetrije okomite na spojnicu točaka A i B), pa konačno zaključujemo: kompozicija dviju centralnih simetrija je TRANSLACIJA za vektor . gdje su točke A i B zadani centri simetrija.

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[lost_soul]

hvala

[teapot]

molim vas jel zna netko rjesit 11. i 16. iz zadace?

[kenny]

16. zadatak:

Prvo se podsjetimo što je potencija točke na danu kružnicu. Neka je dana neka kružnica k i proizvoljna točka T koja nije na kružnici. Povucimo točkom T bilo koji pravac koji siječe kružnicu k u točkama A i B. Realan broj zove se potencija točke T na kružnicu k.

Idemo sada pogledati zadatak. Veli da se kružnice sijeku u točkama A i B i da je na pravcu određenom tim točkama uzeta neka točka T. Računamo prvo potenciju za prvu kružnicu:



I onda za drugu kružnicu:

.

Vidimo da su potencije jednake.

Basicly, zadatak veli ovo: dane su dvije kružnice koje se sijeku. Geometrijsko mjesto točaka koje imaju jednaku potenciju s obzirom na obje kružnice je na pravcu koji je određen sjecištima tih kružnica.

Added after 18 minutes:

11. zadatak (kad ste već toliko zapeli za njega):

Nadao sam se da ćete gledajući onaj zadatak koji sam prije rješio (o kompoziciju dviju osnih simetrija) shvatiti rješenje ovog zadatka.

Neka je dan pravac i točka na tom pravcu . Treba vidjeti da osna simetrija i centralna simetrija sa zadanim elementima komutiraju.

U točki konstruirajmo pravac koji je okomit na dani pravac .

Centralnu simetriju možemo napisati kao kompoziciju dviju osnih simetrija čije su osi međusobno okomite (ta kompozicija komutira!): .

Pogledajmo sada komutiraju li zadana osna i centralna simetrija:



Dakle, zaključak je: da, osna i centralna simetrija komutiraju ukoliko je centar simetrije na osi simetrije. U tom je slučaju kompozicija tih simetrija jednaka osnoj simetriji s obzirom na pravac koji je okomit na početnu os simetrije, a prolazi danom točkom.

NAPOMENA: ako nije jasno gdje nam se gore izgubila osna simetrija....osna simetrija je involutorno preslikavanje, odnosno dvostrukom primjenom tog preslikavanja dobije se identiteta...odnosno:

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[world_traveler]

ej ljudi.. dal mi može netko objasnit kompoziciju dvije osne simetrije. ja to ne znam.
puno hvala!!

[mawa]

zna li itko rijesiti 9. zadatak. il bar zna koliko bi mogucnosti trebalo bit?

[BeeBee]

neka je rotacija za neki kut alfa, onda je kompozicija rotacije i centralne simetrije rotacija za kut 180+alfa

a ako je alfa 180 onda je ta kompozicija funkcija identiteta

centralna simetrija je rotacija za 180 stupnjeva

ovo mi je poslao demos za 9. zadatak al mi nije mogao nacrtat ovako preko netapa eto ako to može šta pomoć...

[Serious Sam]

Kad se vec raspravlja o simetrijama, jel bi mi netko mogao pomoci sa 6. zadatkom? Sto je kompozicija 2 translacije?

[domokun]

[mawa]

puno hvala =)

Added after 19 minutes:

da li je tko rijesio 14.zadatak, zanima me samo rjesejne?

[lost_soul]

ja sam dobila a1= a /( 2√2)

[BeeBee]

a 1.? samo rješenje

[kenny]

Hm, prvo moram napomenuti da sam ja ovo položio jako davno i nisam siguran koliko ste vi radili toga na ovom kolegiju. Napominjem jer ću u rješavanju koristiti neke stvari koje neću dokazivati... Ako bude trebalo još to dokazivati, vičite, pa vam i to raspišem.

Zadatak 6 (kompozicija dviju translacija):

Za početak - translaciju možemo zapisati kao kompoziciju dviju osnih simetrija za koje vrijedi da su osi simetrije paralelni pravci.

E sad, neka su zadane dvije translacije: . Uzmimo točku po volji. U zadatku o kompoziciju dviju centralnih simetrija se dokazalo da je kompozicija dviju osnih simetrija ujedno i kompozicija dviju centralnih simetrija (uvažavajući činjenicu da te dvije osne simetrije imaju paralelne osi simetrije i da su centri centralnih simetrija sjecišta pravca okomitog na osi osne simetrije). Iz toga slijedi da . Uzmimo sada tu točku i na nju opet primjenimo isti zaključak: .

Zanima nas kompozicija translacija: . A znamo (u nekom prije zadatku sam dokazao): kompozicija dviju centralnih simetrija je translacija.

ZAKLJUČAK: kompozicija dviju translacija je TRANSLACIJA.

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[teapot]

hvala kenny

[mawa]

ja sam dobila (a√3)/3