Vjezbanje za kolokvij-planimetrija (objasnjenje gradiva)

[Black Mamba]

Tekst ide :

Unutar trokuta ABC odabrana je točka P tako da su kutevi PAC i PBC jednaki. Nožišta okomica iz P na AC i BC su M i N. Ako je D polovište od AB dokažite da je DM = DN.

[kenny]

Taj zadatak je napisan na stranici prije. Netko veli da je asistentica rekla da to nije dokazivo. Ali tvrdnja vrijedi, što se može provjeriti GeoGebrom.

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[kikyca]

Moze pomoc oko 11. zadatka? http://web.math.hr/nastava/eg/dodatni/Sukladnost0708.pdf

[pbakic]

evo 11:

srednjica= (a+c)/2 = 14, a znamo i a/c=4/3; iz te dvije jednadzbe se dobije c=12, a=16.

Onda je zadano v=14.
Znamo da je srediste opisane kruznice jednako udaljeno od svih vrhova (tj. nalazi se na sjecistu simetrala)
Ako s x oznacimo udaljenost sredista kruznice od osnovice a, onda spojimo srediste sa npr vrhom A i imamo po pitagori:
r^2=(a/2)^2+x^2
kad spojimo srediste s vrhom D, dobijemo
r^2=(c/2)^2+(14-x)^2

to dvoje se izjednaci i dobije se x (mislim x=6 koji se zatim uvrsti u jednu od ove dvije jednadzbe da bismo dobili r)

[kenny]

[Genaro]

Što se tiče 11. zadatka to da udaljenost od S do stranice AB siječe AB na dva jednaka dijela (analogno kod CD) slijedi iz toga da je ABCD jednakokračan trapez ili?

[kikyca]

a jel moze jos i pomoc oko 12 zadatka... neznam od kud bi pocela.. (btw hvala na 11.zadatku) http://web.math.hr/nastava/eg/dodatni/Sukladnost0708.pdf

[pbakic]

Evo hint za 12: Pogledaj ekstremni slucaj, tj. slucaj u kojem P=B (tada je PM=0) Trebalo bi samo pokazati da je u svakom slucaju PM+PN jednako bas onoj duzini PN koju dobijemo kad je P=B (a to se pokaze pomocu jedne sukladnosti)

[ante c]

u ovom 12 zadatku mi se čini da bi bilo najbolje upotrijebiti sličnost jer imamo paralelne stranice i pravi kut i još su nam rekli da je trokut jednakokračan tako da su nam i druga dva kuta sukladna tj imamo SSS sličnost trokuta BPM i PNC i onda upotrijebimo Talesa i proporcionalnost pa imamo |BP||PN|=|PC||PM|
sada po tome vidimo da gdje god točka P bila na dužini BC daje neki omejr sa PM I PN koji je jednak ...................
je li to legalno ????????

[NeonBlack]

[Black Mamba]

[maty321]

Zadatak sa prošlogodišnjeg kolokvija...

U trapez su upisane dvije kružnice tako da svaka dodiruje obje dijagonale i po jednu od osnovica. Ako su duljine osnovica 6 i 4, a radijus manje kružnice 2, odredite radijus veće....
Kako da počnem??

[pbakic]

Recimo da je T sjeciste dijagonala... Trebalo bi uociti da je ABT slican trokutu DTC (a traze se omjeri radijusa kruznica upisanih tim trokutima), pa se dalje iz toga da izvest zadatak

[kikyca]

opet ja... moze pomoc oko 11. zadatka... http://web.math.hr/nastava/eg/dodatni/Kruznica0708.pdf

[pbakic]

evo 11, kruznice:

Koristimo "potenciju tocke na kruznicu" tj. onaj zadatak sa vjezbi koji kaze:
Ako iz tocke T povucemo dvije sekante na kruznicu koje ju sijeku u tockama A, B, odnosno C,D, onda je TA*TB=TC*TD (to se dokaze pomocu svojstva tetivnog cetverokuta i slicnosti)

Sad u ovom 11. zadatku to nam konkretno znaci:

Promotrimo duzine CA, CB. One sijeku kruznicu u tockama E,A i T, S
iz toga zakljucujemo |CE|*|CA|=|CT|*|CS| (1)

S druge strane, promotrimo slicnu situaciju sa sekantama BA, BC iz tocke B
One sijeku kruznicu u tockama D,A i S,T pa zbog toga imamo |BD|*|BA|=|BS|*|BT| (2)

izrazimo iz (1) i (2)
Dobili smo:

Sad jos samo preostaje uociti |BT|=|CT| (jer je T poloviste, dakle to dvoje se krati) i

Kad se to sve uracuna, dobijemo , sto je i trebalo dokazati

[Black Mamba]

Tvrdnja:

p je okomit s q <=> Sp°Sq(T)=Sq°Sp(T)
(Sp,Sq su osne simetrije s obzirom na pravac p,odnosno q)

Mže pomoć oko <= smjera?

[amimoza]

Moze pomoc:
Dokazite da srednjica trokuta raspolavlja svaku duzinu kojoj je jedan kraj na stranici trokuta paralelnoj srednjici, a drugi kraj u nasuprotnom vrhu trokuta!
Ocito je da vrijedi, ali nikako da sam skuzim kako to napisati! Hvala

[pmli]

@Black Mamba: Primjeti da je zapravo rotacija oko sjecišta pravaca i za u pozitivnom smjeru, gdje je najmanji kut za koji se pravac može rotacijom preslikati u . Poanta, ne vrijedi (općenito), nego .

@amimoza: Tales

[amimoza]

@pmli znam da je Tales u igri, ali se toliko izvrtim da na kraju ne dobijem nista! :S

[pmli]

@amimoza: Po tm. o srednjici trokuta, srednjica je paralelna stranici trokuta koju ne sječe. Po Talesu, omjer u kojem srednjica sječe "dužinu u sredini" je jednak omjeru odsječaka stranice trokuta gdje je jedan vrh srednjice, a to je, vjerovao ili ne, 1:1.