Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

zadatak iz 2. kolokvija (zadatak)
WWW:
Idite na Prethodno  1, 2
Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 2. godine -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
maloka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 05. 02. 2009. (22:00:18)
Postovi: (32)16
Sarma = la pohva - posuda
= 8 - 1

PostPostano: 11:07 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

3. zadatak iz 2009. sam rješavala preko formule za površinu područja omeđenog krivuljom P(D)=1/2 integral po rubu (-ydx+xdy)dt. Ali dobila sam na kraju -1/4 a^2, dakle predznak mi ne štima, ne znam jesam možda negdje u rješavanju izgubila minus ili je veća greška.
3. zadatak iz 2009. sam rješavala preko formule za površinu područja omeđenog krivuljom P(D)=1/2 integral po rubu (-ydx+xdy)dt. Ali dobila sam na kraju -1/4 a^2, dakle predznak mi ne štima, ne znam jesam možda negdje u rješavanju izgubila minus ili je veća greška.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Gost






PostPostano: 11:38 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

3.zadatak 2009: ja sam dobio 12*a2*pi
3.zadatak 2009: ja sam dobio 12*a2*pi


[Vrh]
Gost






PostPostano: 11:51 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ja sam dobila 24a^2pi :)
Ja sam dobila 24a^2pi Smile


[Vrh]
(s)Venn
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 18. 02. 2009. (17:59:25)
Postovi: (40)16
Sarma = la pohva - posuda
= 8 - 6
Lokacija: Velika Gorica

PostPostano: 12:01 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

2. zadatak od prošle godine:

Uočite da u zadatku imamo zadanu kutnu formu koja je zatvorena funkcija te da gama parametrizira sferu radijusa a. Po teoremu kojeg smo spomenuli na vježbama, zatvorena forma na 1-povezanom području jest egzaktna, a integral egzaktne forme po putu ovisi samo o rubnim točkama koje su u ovom slučaju -3pi i 15pi. Dakle, pronađimo 2-povezana područja u koja ćemo utrpati sferu koju parametrizira gama i zadatak bi nam se trebao bitno pojednostaviti. Budući da je u zadatku riječ o 3-dim prostoru, trebamo biti oprezni pri odabirima prikladnih područja. Moja ideja jest ta da sferu zatvorimo u konačan broj kugli koje, naravno, ne sadrže ishodište. Tada je naša forma na tim kuglama egzaktna, odnosno postoji funkcija f t.d. je F = gradf. Jedino bi još trebalo namjestiti te kugle kako bismo u konačnom računu dobili lijepe brojeve.


Treći zadatak sam riješavao po ranije spominjatoj fori P = 1/2 integral(-ydx + xdy), no dobio sam pravu slavonsku kobasičetinu u raspisu tog integrala. Postoji li kakav jednostavniji način da se dođe do rješenja, ili su sastavljači prošlogodišnjeg kolokvija bili uistinu toliko nemilosrdni..? :(

I još bih molio onu/onog koji ima ideju kako riješiti prvi zadatak da mi/nam je izloži na forumu. Hvala unaprijed.
2. zadatak od prošle godine:

Uočite da u zadatku imamo zadanu kutnu formu koja je zatvorena funkcija te da gama parametrizira sferu radijusa a. Po teoremu kojeg smo spomenuli na vježbama, zatvorena forma na 1-povezanom području jest egzaktna, a integral egzaktne forme po putu ovisi samo o rubnim točkama koje su u ovom slučaju -3pi i 15pi. Dakle, pronađimo 2-povezana područja u koja ćemo utrpati sferu koju parametrizira gama i zadatak bi nam se trebao bitno pojednostaviti. Budući da je u zadatku riječ o 3-dim prostoru, trebamo biti oprezni pri odabirima prikladnih područja. Moja ideja jest ta da sferu zatvorimo u konačan broj kugli koje, naravno, ne sadrže ishodište. Tada je naša forma na tim kuglama egzaktna, odnosno postoji funkcija f t.d. je F = gradf. Jedino bi još trebalo namjestiti te kugle kako bismo u konačnom računu dobili lijepe brojeve.


Treći zadatak sam riješavao po ranije spominjatoj fori P = 1/2 integral(-ydx + xdy), no dobio sam pravu slavonsku kobasičetinu u raspisu tog integrala. Postoji li kakav jednostavniji način da se dođe do rješenja, ili su sastavljači prošlogodišnjeg kolokvija bili uistinu toliko nemilosrdni..? Sad

I još bih molio onu/onog koji ima ideju kako riješiti prvi zadatak da mi/nam je izloži na forumu. Hvala unaprijed.



_________________
..pišem pjesme, sviram bluz, radost i tugu na stihove lomim..
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Gost






PostPostano: 12:22 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

kad uvrstiš i središ("-ydx" i "xdy") dobiješ (1-sin(t)*sin(3t)-cos(t)*cos(3t))*(9a2+3a2) i onda koristiš adicionu formulu cos(a+b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)
kad uvrstiš i središ("-ydx" i "xdy") dobiješ (1-sin(t)*sin(3t)-cos(t)*cos(3t))*(9a2+3a2) i onda koristiš adicionu formulu cos(a+b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)


[Vrh]
bozidarsevo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 09. 2008. (10:15:01)
Postovi: (1D1)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-24 = 52 - 76
Lokacija: Samobor

PostPostano: 15:18 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

ja sam u 3. dobio 12*a*a*pi

[size=9][color=#999999]Added after 37 minutes:[/color][/size]

jel može netko napisat dio postupka iz 4.zad od prošle godine..meni nikak da dobro ispadne
ja sam u 3. dobio 12*a*a*pi

Added after 37 minutes:

jel može netko napisat dio postupka iz 4.zad od prošle godine..meni nikak da dobro ispadne



_________________
misli globalno, djeluj lokalno!
http://backway.me/
http://seodoa.com
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Milojko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 11. 2008. (14:57:52)
Postovi: (453)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
17 = 68 - 51
Lokacija: Hilbertov hotel

PostPostano: 15:30 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

rekob da ti valja bozidarsevo, i ja tak dobio.

a ovaj četvrti, to je ono integral od korijena determinante. to sam izračuno ove retke i stupce tih matrica, al mise neda raspisivat sve to. opet neka slavonska kobasa, al vald se negdje nešt treba pokratit, neam pojma
rekob da ti valja bozidarsevo, i ja tak dobio.

a ovaj četvrti, to je ono integral od korijena determinante. to sam izračuno ove retke i stupce tih matrica, al mise neda raspisivat sve to. opet neka slavonska kobasa, al vald se negdje nešt treba pokratit, neam pojma



_________________
Sedam je prost broj Smile

Bolonja je smeće i to pod hitno treba mijenjat
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku MSNM
Gost






PostPostano: 16:02 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

u 4. nema nikake slavonske kobase:) bar ne kod mene (osim one u frižideru) Uglavnom, radiš preko onih E,F,G pa korijen iz EG-F^2. E mi je (2cosv-3)^2, F=0, G=4, tražiš integral od 0do2pi, integral od 0do2pi od 2korijena(2cosv-3)^2, pošto je to u zagradi uvijek manje od 0 pokratiš korijen i kvadrat i još promijeniš predznak. dalje je lagano i dobijem 24pi^2
u 4. nema nikake slavonske kobase:) bar ne kod mene (osim one u frižideru) Uglavnom, radiš preko onih E,F,G pa korijen iz EG-F^2. E mi je (2cosv-3)^2, F=0, G=4, tražiš integral od 0do2pi, integral od 0do2pi od 2korijena(2cosv-3)^2, pošto je to u zagradi uvijek manje od 0 pokratiš korijen i kvadrat i još promijeniš predznak. dalje je lagano i dobijem 24pi^2


[Vrh]
ddduuu
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 16. 11. 2008. (12:31:48)
Postovi: (109)16
Sarma = la pohva - posuda
= 20 - 16

PostPostano: 16:15 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

Neko 5 i 6 napisat ? :D:D
Neko 5 i 6 napisat ? Very HappyVery Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mirjana
Gost





PostPostano: 16:33 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

2. zadatak iz kolokvija molila bih nekog da napise,stvarno bi mi bio od velike pomoci,ja neznam kaj s onim u nazivniku,a vidjela sam da neki spominju i rot f u tom zadatku,al nisam znala da treba to uopce pa ak bi neko bio toliko ljubazan i to napisao i rjesio,HVALA
2. zadatak iz kolokvija molila bih nekog da napise,stvarno bi mi bio od velike pomoci,ja neznam kaj s onim u nazivniku,a vidjela sam da neki spominju i rot f u tom zadatku,al nisam znala da treba to uopce pa ak bi neko bio toliko ljubazan i to napisao i rjesio,HVALA


[Vrh]
maloka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 05. 02. 2009. (22:00:18)
Postovi: (32)16
Sarma = la pohva - posuda
= 8 - 1

PostPostano: 16:39 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

ovako sam ja 6. : nacrtaš si i vidiš kako izgleda trokut. Normala je c(1,1,1) ali za svaki c su to kolinearni vektori pa uzmeš recimo c=1 (mislim da to smijemo tako), onda je normala (1,1,1). Tada je to zadatak kao na vježbama gdje smo imali da je to skup S----> x+y+z=1 pa je parametrizacija tog skupa fi(u,v)=(u,v,1-u-v) gdje u i v idu od 0do1. Nađemo nabla(fi), i onda imamo da je dy^dz=1, x=u tj tražiš dvostruki integral 0do1 od u i to ispadne 1/2.
Nadam se da će me netko ispraviti ako ovo nije dobro jer sam ja to ovako naučila:)
ovako sam ja 6. : nacrtaš si i vidiš kako izgleda trokut. Normala je c(1,1,1) ali za svaki c su to kolinearni vektori pa uzmeš recimo c=1 (mislim da to smijemo tako), onda je normala (1,1,1). Tada je to zadatak kao na vježbama gdje smo imali da je to skup S----> x+y+z=1 pa je parametrizacija tog skupa fi(u,v)=(u,v,1-u-v) gdje u i v idu od 0do1. Nađemo nabla(fi), i onda imamo da je dy^dz=1, x=u tj tražiš dvostruki integral 0do1 od u i to ispadne 1/2.
Nadam se da će me netko ispraviti ako ovo nije dobro jer sam ja to ovako naučila:)


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Tindariel
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 12. 2008. (00:49:03)
Postovi: (71)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 2 - 0
Lokacija: Zagreb

PostPostano: 17:03 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="mirjana"]2. zadatak iz kolokvija molila bih nekog da napise,stvarno bi mi bio od velike pomoci,ja neznam kaj s onim u nazivniku,a vidjela sam da neki spominju i rot f u tom zadatku,al nisam znala da treba to uopce pa ak bi neko bio toliko ljubazan i to napisao i rjesio,HVALA[/quote]

Pa recimo da nisam sigurna, ali mi se čini da je ova parametrizacija zapravo neka kružnica na sferi radijusa a - dakle zatvorena krivulja. Domena je veća od 2pi, pa možemo uzeti neku restrikciju (ja sam uzela [-pi/2, 3pi/2] da mi kasnije ne bude sin0 ili tak neka gadna stvar u nazivniku) i pomnožit s brojem obilazaka oko ishodišta - u ovom slučaju 9.

Onda vidiš da ti je (0, y, 0) problematično pa rastaviš danu parametrizaciju na 2 polukružnice tako da možeš odabrati skup u kojem se one nalaze a (0, y, 0) ne. (Mislim da je ok ako nacrtaš u xz-ravnini i ignoriraš y :D )

Sad, kako je forma konzervativna (može se na dva načina pokazati da jest - isto kao na vježbama, samo ovaj put u R^3) možemo gledati samo vrijednosti potencijala u krajnjim točkama ovih polukružnica. Svaki od tih integrala po polukružnicama je meni ispao nula, a traži se 9*(zbroj integrala po te dvije polukružnice) = 0.

Ako sam nešto krivo napisala, neka me netko ispravi :)
mirjana (napisa):
2. zadatak iz kolokvija molila bih nekog da napise,stvarno bi mi bio od velike pomoci,ja neznam kaj s onim u nazivniku,a vidjela sam da neki spominju i rot f u tom zadatku,al nisam znala da treba to uopce pa ak bi neko bio toliko ljubazan i to napisao i rjesio,HVALA


Pa recimo da nisam sigurna, ali mi se čini da je ova parametrizacija zapravo neka kružnica na sferi radijusa a - dakle zatvorena krivulja. Domena je veća od 2pi, pa možemo uzeti neku restrikciju (ja sam uzela [-pi/2, 3pi/2] da mi kasnije ne bude sin0 ili tak neka gadna stvar u nazivniku) i pomnožit s brojem obilazaka oko ishodišta - u ovom slučaju 9.

Onda vidiš da ti je (0, y, 0) problematično pa rastaviš danu parametrizaciju na 2 polukružnice tako da možeš odabrati skup u kojem se one nalaze a (0, y, 0) ne. (Mislim da je ok ako nacrtaš u xz-ravnini i ignoriraš y Very Happy )

Sad, kako je forma konzervativna (može se na dva načina pokazati da jest - isto kao na vježbama, samo ovaj put u R^3) možemo gledati samo vrijednosti potencijala u krajnjim točkama ovih polukružnica. Svaki od tih integrala po polukružnicama je meni ispao nula, a traži se 9*(zbroj integrala po te dvije polukružnice) = 0.

Ako sam nešto krivo napisala, neka me netko ispravi Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
behemont
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 02. 2008. (21:21:19)
Postovi: (124)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-8 = 53 - 61

PostPostano: 19:41 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="maloka"]ovako sam ja 6. : nacrtaš si i vidiš kako izgleda trokut. Normala je c(1,1,1) ali za svaki c su to kolinearni vektori pa uzmeš recimo c=1 (mislim da to smijemo tako), onda je normala (1,1,1). Tada je to zadatak kao na vježbama gdje smo imali da je to skup S----> x+y+z=1 pa je parametrizacija tog skupa fi(u,v)=(u,v,1-u-v) gdje u i v idu od 0do1. Nađemo nabla(fi), i onda imamo da je dy^dz=1, x=u tj tražiš dvostruki integral 0do1 od u i to ispadne 1/2.
Nadam se da će me netko ispraviti ako ovo nije dobro jer sam ja to ovako naučila:)[/quote]

Tako nekako ali ne idu oba od 0 do 1.....jer kad su oba jednaka 1, zadnja koordinata ti je -1...malo samo namjesti granice
maloka (napisa):
ovako sam ja 6. : nacrtaš si i vidiš kako izgleda trokut. Normala je c(1,1,1) ali za svaki c su to kolinearni vektori pa uzmeš recimo c=1 (mislim da to smijemo tako), onda je normala (1,1,1). Tada je to zadatak kao na vježbama gdje smo imali da je to skup S----> x+y+z=1 pa je parametrizacija tog skupa fi(u,v)=(u,v,1-u-v) gdje u i v idu od 0do1. Nađemo nabla(fi), i onda imamo da je dy^dz=1, x=u tj tražiš dvostruki integral 0do1 od u i to ispadne 1/2.
Nadam se da će me netko ispraviti ako ovo nije dobro jer sam ja to ovako naučila:)


Tako nekako ali ne idu oba od 0 do 1.....jer kad su oba jednaka 1, zadnja koordinata ti je -1...malo samo namjesti granice


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
tidus
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 16. 02. 2009. (12:47:59)
Postovi: (A5)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-1 = 15 - 16

PostPostano: 20:51 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="mirjana"]2. zadatak iz kolokvija molila bih nekog da napise,stvarno bi mi bio od velike pomoci,ja neznam kaj s onim u nazivniku,a vidjela sam da neki spominju i rot f u tom zadatku,al nisam znala da treba to uopce pa ak bi neko bio toliko ljubazan i to napisao i rjesio,HVALA[/quote]

Ja sam to ovako: pošto je to kutna forma u x-z ravnini ona zapravo mjeri kut koji napravimo kad obilazimo krivulju u x-z ravnini = ignoriraš y. Sada u x-z ravnini ta krivulja je elipsa. Kad bi područje intagracije u x-z ravnini bilo 1-povezano onda bi rezultat trebao biti 0 (postojao bi potencijal za cijelo područje = kraj=početak). Budući da nije, očekujem rezultat jednak kutu koji napravim po krivulji, a to je 18pi(više puta obilazim krivulju). Sada znam potencijal kutne forme=arctg(z/x). On nije definiran na x osi, pa rastavim područje u x-z ravnini kako smo radili na vježbama s tim da mi ostanu dva dodatna manja područja na početku i kraju : od -3pi do -2.5pi i od 14.5pi do 15pi. Sad zaparvo moram izračunati 4 integrala : ova dva manja i ona dva veća koja se ponavljaju sa arctg(kraj)-arctg(početak) s tim da su kraj i početak točke dobijene kada u gamu uvrstim umjesto t odgovarajuće kuteve. Na kraju dobijem rezultat (zbroj svih integrala) kao prvo manje područje + drugo manje područje + 9*prvo veće područje + 8*drugo veće područje. tj. (pi/2) + (pi/2) + 9pi + 8pi=18pi

Što se tiče prvog zadatka, to nije naše gradivo. To smo radili na prvom kolokviju - poglavlje funkcija zadana integralom.
mirjana (napisa):
2. zadatak iz kolokvija molila bih nekog da napise,stvarno bi mi bio od velike pomoci,ja neznam kaj s onim u nazivniku,a vidjela sam da neki spominju i rot f u tom zadatku,al nisam znala da treba to uopce pa ak bi neko bio toliko ljubazan i to napisao i rjesio,HVALA


Ja sam to ovako: pošto je to kutna forma u x-z ravnini ona zapravo mjeri kut koji napravimo kad obilazimo krivulju u x-z ravnini = ignoriraš y. Sada u x-z ravnini ta krivulja je elipsa. Kad bi područje intagracije u x-z ravnini bilo 1-povezano onda bi rezultat trebao biti 0 (postojao bi potencijal za cijelo područje = kraj=početak). Budući da nije, očekujem rezultat jednak kutu koji napravim po krivulji, a to je 18pi(više puta obilazim krivulju). Sada znam potencijal kutne forme=arctg(z/x). On nije definiran na x osi, pa rastavim područje u x-z ravnini kako smo radili na vježbama s tim da mi ostanu dva dodatna manja područja na početku i kraju : od -3pi do -2.5pi i od 14.5pi do 15pi. Sad zaparvo moram izračunati 4 integrala : ova dva manja i ona dva veća koja se ponavljaju sa arctg(kraj)-arctg(početak) s tim da su kraj i početak točke dobijene kada u gamu uvrstim umjesto t odgovarajuće kuteve. Na kraju dobijem rezultat (zbroj svih integrala) kao prvo manje područje + drugo manje područje + 9*prvo veće područje + 8*drugo veće područje. tj. (pi/2) + (pi/2) + 9pi + 8pi=18pi

Što se tiče prvog zadatka, to nije naše gradivo. To smo radili na prvom kolokviju - poglavlje funkcija zadana integralom.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Gost






PostPostano: 21:10 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

meni nije jasno zašto ti gledaš dy^dz,kad imaš dydz? ja sam stavio isto od [0,1] ali fakat ne ide :?
meni nije jasno zašto ti gledaš dy^dz,kad imaš dydz? ja sam stavio isto od [0,1] ali fakat ne ide Confused


[Vrh]
Gost






PostPostano: 21:20 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

mislim da je asistentica rekla da je greška, da treba biti dy^dz
mislim da je asistentica rekla da je greška, da treba biti dy^dz


[Vrh]
ddduuu
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 16. 11. 2008. (12:31:48)
Postovi: (109)16
Sarma = la pohva - posuda
= 20 - 16

PostPostano: 21:46 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

Meni nije jasno kako znamo da je ovo sfera, odnosno kako dodemo do toga pismeno:S:S:S
Meni nije jasno kako znamo da je ovo sfera, odnosno kako dodemo do toga pismeno:S:S:S


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
čungalunga
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 25. 11. 2009. (20:50:12)
Postovi: (4C)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 3 - 1
Lokacija: varaždin/zagreb

PostPostano: 22:46 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

meni nije baš jasan 5.zadatak od prošle godine pa ako neko može nek ga objsni malo :)
meni nije baš jasan 5.zadatak od prošle godine pa ako neko može nek ga objsni malo Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Gost






PostPostano: 23:42 čet, 3. 6. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

mislim da je asistentica rekla da je greška, da treba biti dy^dz
mislim da je asistentica rekla da je greška, da treba biti dy^dz


[Vrh]
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 2. godine -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli Vremenska zona: GMT + 01:00.
Idite na Prethodno  1, 2
Stranica 2 / 2.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan