Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
ante c Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 10. 2009. (19:18:15) Postovi: (62)16
|
Postano: 17:01 sub, 9. 10. 2010 Naslov: zadatak iz kolokvija |
|
|
da li je L={(x,y,z,w) eR4: ||(x,y)||1+||(z,w)||oo <=1}
da li je L={(x,y,z,w) eR4: ||(x,y)||1+||(z,w)||oo <=1}
|
|
[Vrh] |
|
pmli Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05) Postovi: (2C8)16
Spol:
|
Postano: 23:52 sub, 9. 10. 2010 Naslov: |
|
|
Malo si požurio s postavljanjem pitanja, ali pogađam da se radi o 2. zadatku iz prošlogodišnjeg kolokvija. :)
Zatvorenost od L se može pokazati primjenom "nizovne" karakterizacije zatvorenosti (svaki konvergentni niz u tom skupu ima limes u tom istom skupu) i neprekidnosti normi.
Što se tiče ograničenosti, lako vidimo da mora vrijediti [latex]|x| \leq 1[/latex], [latex]|y| \leq 1[/latex], [latex]|z| \leq 1[/latex] i [latex]|w| \leq 1[/latex]. Iz toga slijedi [latex]||(x, y, z, w)|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + w^2} \leq \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2} = 2[/latex]. Dakle, [latex]L \subseteq \overline{K}(0, 2)[/latex].
Malo si požurio s postavljanjem pitanja, ali pogađam da se radi o 2. zadatku iz prošlogodišnjeg kolokvija.
Zatvorenost od L se može pokazati primjenom "nizovne" karakterizacije zatvorenosti (svaki konvergentni niz u tom skupu ima limes u tom istom skupu) i neprekidnosti normi.
Što se tiče ograničenosti, lako vidimo da mora vrijediti , , i . Iz toga slijedi . Dakle, .
|
|
[Vrh] |
|
Vip Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 10. 2007. (17:53:31) Postovi: (8E)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
palcica Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 06. 2010. (16:01:19) Postovi: (10)16
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
|
[Vrh] |
|
babybodom Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 06. 2009. (22:03:01) Postovi: (31)16
Lokacija: zagreb
|
Postano: 17:57 čet, 21. 10. 2010 Naslov: Re: zadatak iz kolokvija |
|
|
[quote="ante c"]da li je L={(x,y,z,w) eR4: ||(x,y)||1+||(z,w)||oo <=1}[/quote]
da li netko zna i za K skup rjesenje? ja se tu nesto petljam i vrtim u krug :oops:
ante c (napisa): | da li je L={(x,y,z,w) eR4: ||(x,y)||1+||(z,w)||oo ⇐1} |
da li netko zna i za K skup rjesenje? ja se tu nesto petljam i vrtim u krug
_________________ may the noobishness be with you
|
|
[Vrh] |
|
pbakic Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30) Postovi: (143)16
Spol:
|
Postano: 19:15 čet, 21. 10. 2010 Naslov: |
|
|
K nije kompaktan, jer nije ogranicen:
Svaki vektor oblika (a,a,0,0) je u skupu K, a onda je ocito da je to neogranicen skup (jer mozemo uzeti proizvoljno veliki a)
ostatak zadatka:
Da je K zatvoren se pokaze preko praslike funkcije f(x,y,z,w)=xw-yz
Tada imamo da su K, L zatvoreni pa je njihov presjek zatvoren.
Takodjer, presjek ogranicenog (L) i neogranicenog skupa (K) je ogranicen.
=> [latex]K\cap L[/latex] je zatvoren i ogranicen, dakle kompaktan
K nije kompaktan, jer nije ogranicen:
Svaki vektor oblika (a,a,0,0) je u skupu K, a onda je ocito da je to neogranicen skup (jer mozemo uzeti proizvoljno veliki a)
ostatak zadatka:
Da je K zatvoren se pokaze preko praslike funkcije f(x,y,z,w)=xw-yz
Tada imamo da su K, L zatvoreni pa je njihov presjek zatvoren.
Takodjer, presjek ogranicenog (L) i neogranicenog skupa (K) je ogranicen.
⇒ je zatvoren i ogranicen, dakle kompaktan
|
|
[Vrh] |
|
babybodom Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 06. 2009. (22:03:01) Postovi: (31)16
Lokacija: zagreb
|
|
[Vrh] |
|
pajopatak Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 10. 2009. (22:20:04) Postovi: (BE)16
|
|
[Vrh] |
|
pmli Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05) Postovi: (2C8)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
pajopatak Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 10. 2009. (22:20:04) Postovi: (BE)16
|
|
[Vrh] |
|
pbakic Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30) Postovi: (143)16
Spol:
|
Postano: 15:53 sub, 23. 10. 2010 Naslov: |
|
|
I meni se tak cinilo, samo mi je cudno bilo sto wolfram alpha kaze:
(limit does not exist)
(value depends on x, y path)
Uzmimo ovakav niz:
[latex]y_n=\frac{1}{n}-\frac{2}{n^3}[/latex]
[latex]x_n=\frac{1}{n}+\frac{2}{n^3}[/latex]
Očito je [latex]lim_n (x_n,y_n)=(0,0)[/latex]
i f je dobro definirana u svim tockama (xn,yn)
Sada imamo [latex]f(x_n,y_n)=\frac{\frac{2}{n}(\frac{1}{n}+\frac{2}{n^3})(\frac{1}{n}-\frac{2}{n^3})}{\frac{4}{n^3}}[/latex]
Kad se izraz sredi, dobije se [latex]f(x_n,y_n)=\frac{n^4-4}{2n^4}[/latex]
Ovaj izraz ocito tezi u 1/2 kad n ide u beskonacnost, dakle limes stvarno ne postoji (razlicit je, ovisno u prilazu koji izaberemo)
EDIT: sad vidim da si me prestigo surosev... al i nije tak bolestan, samo pol sata negdje :D
I meni se tak cinilo, samo mi je cudno bilo sto wolfram alpha kaze:
(limit does not exist)
(value depends on x, y path)
Uzmimo ovakav niz:
Očito je
i f je dobro definirana u svim tockama (xn,yn)
Sada imamo
Kad se izraz sredi, dobije se
Ovaj izraz ocito tezi u 1/2 kad n ide u beskonacnost, dakle limes stvarno ne postoji (razlicit je, ovisno u prilazu koji izaberemo)
EDIT: sad vidim da si me prestigo surosev... al i nije tak bolestan, samo pol sata negdje
Zadnja promjena: pbakic; 17:28 sub, 23. 10. 2010; ukupno mijenjano 2 put/a.
|
|
[Vrh] |
|
surosev Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 01. 2010. (20:08:09) Postovi: (9)16
|
|
[Vrh] |
|
pmli Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05) Postovi: (2C8)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
|
[Vrh] |
|
pbakic Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30) Postovi: (143)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
pmli Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05) Postovi: (2C8)16
Spol:
|
Postano: 17:56 sub, 23. 10. 2010 Naslov: |
|
|
Postojanje limesa treba provjeriti na [latex]\{ (0, 0, z) : z \in \mathbb{R}\}[/latex]. Lako je vidjeti da nema limesa u tim točkama, jer [latex]\displaystyle \lim_{(x, 0, z_0) \to (0, 0, z_0)} f(x, y, z)[/latex] divergira.
@pbakic: :/
Postojanje limesa treba provjeriti na . Lako je vidjeti da nema limesa u tim točkama, jer divergira.
@pbakic:
|
|
[Vrh] |
|
.anchy. Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 11. 2007. (20:03:46) Postovi: (1BC)16
Lokacija: Zgb
|
Postano: 18:48 sub, 23. 10. 2010 Naslov: |
|
|
ovaj zadatak nije iz kolokvija ali kada već govorimo o neprekidnosti i limesima:
f(x,y)=(x^2+y^2)sin(1/(xy))
neznam ni kako početi,tj,znam da je domena R2 bez x i y osi, i iz rješenja znam da postoji limes u (0,0),a za ovo drugo ne piše(x os,y os bez 0) pa ako bi ga netko please mogao rješiti?
i ako se može limes odrediti preko nizova,jer mi određivanje limesa preko konvergentnog niza(kada lim postoji) nije baš jasno?a ako ne,onda da mi netko objasni što točno radimo kada tako tražimo limes?
p.s.lim u (0,0) je 0 :D
ovaj zadatak nije iz kolokvija ali kada već govorimo o neprekidnosti i limesima:
f(x,y)=(x^2+y^2)sin(1/(xy))
neznam ni kako početi,tj,znam da je domena R2 bez x i y osi, i iz rješenja znam da postoji limes u (0,0),a za ovo drugo ne piše(x os,y os bez 0) pa ako bi ga netko please mogao rješiti?
i ako se može limes odrediti preko nizova,jer mi određivanje limesa preko konvergentnog niza(kada lim postoji) nije baš jasno?a ako ne,onda da mi netko objasni što točno radimo kada tako tražimo limes?
p.s.lim u (0,0) je 0
|
|
[Vrh] |
|
pajopatak Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 10. 2009. (22:20:04) Postovi: (BE)16
|
|
[Vrh] |
|
.anchy. Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 11. 2007. (20:03:46) Postovi: (1BC)16
Lokacija: Zgb
|
|
[Vrh] |
|
|