1. kolokvij 2010.

[spot137]

Evo jedan zadatak ako se kome da rijesiti, pa da stavi, jer imamo nesuglasice oko riješenja
Bacamo 3 kocke, koje razlikujemo (svaka je druge boje). Koja je vjerojatnost da je na bijeloj kocki pala 4 ako je zbroj svih kocka 13?

[some_dude]

[eve]

Jel bi mogo neko rjesit zd: koja je najmanja sigma algebra koja sadrzi skupove A={2,5}, B={1,2,4}, C={3,6} omega={1,2,3,4,5,6}.

To je zd iz ovog kolokvija:
http://web.math.hr/nastava/uuv/files/uuv-0607-kol1.pdf

[pbakic]

E za ovaj zadatak s kockama ja dobivam nes skroz drugo...
stavimo ,
Ako je dogadjaj A={na bijeloj kocki pada 4} i B={zbroj je 13}, onda vrijedi:


brojimo nacine na koje moze pasti zbroj 13:
6,6,1 - 3 nacina
6,5,2 - 6 nacina
6,4,3 - 6 nacina
5,5,3 - 3 nacina
5,4,4 - 3 nacina
⇒ ukupno 21 nacin za dobit 13 na 3 kocke

ako je na bijeloj kocki 4, moramo prebrojati nacine na koje preostale dvije kocke u zbroju daju 9 (dakle ukupno 13) - to ce nam dati broj elementarnih dogadjaja iz :
6,3 - 2 nacina
5,4 - 2 nacina
⇒ ukupno 4 nacina

i


Kad se to podijeli, dobije se

[.anchy.]

[pbakic]

E u ovoj sigma-algebri fale jos neke stvari, npr {2} (a to je presjek A i B), ...
Dobar test je da konacna sigma algebra uvijek sadrzi 2^n elemenata...

EDIT: Ja ne znam, do sad nisam nasao neki brzi nacin za te zadatke
samo nac "najfiniju" (tj. najmnogobrojniju) particiju skupa omega koju sadrzi nasa sigma-algebra i onda radit sve unije iz tih skupova...

[some_dude]

[smajl]

Moze pomoc oko 3. zadatka iz 2007.? tamo di su kucni ljubimci u pitanju
http://web.math.hr/nastava/uuv/files/uuv-0708-kol1.pdf

[eve]

[pbakic]

Ne, tada bi bilo sigma-algebra= partitivni skup...

[.anchy.]

kada sam napisala prošli post mi je sinuo zadatak s vježbi i mislim da ne mora sadržavati 2^n elemenata, jer se traži "najmanja". mislim,ja to ne kužim skroz,ali evo zadatka s vježbi,isti tekst zadataka a skupovi su {1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4}, a najmanja sigma algebra toga je omega={1,2,3,4,5}-zadana u zadatku,prazan skup,ti zadani skupovi i {1},{2},{4},{3},{5}.

sad,ovdje npr nije u njoj {1,2,3,4}/{1,2}={3,4} napisan eksplicitno, ali je u njoj kao {3}U{4}, jer kod sigma algebre vrijedi A1,A2 e F -> A1uA2 e F
isto tako za komplemente

sve ja to kužim,ali neznam kako odrediti točne skupove.. pa može pomoć??

edit:i može rješenje 1. i 2. zadatka u http://web.math.hr/nastava/uuv/files/uuv-0607-kol1.pdf ako ne tražim previše?

[eve]

[pbakic]

Treba sadrzavati 2^n, al ne za n=broj elemenata u omega, nego nekakav n...
A za ovaj zadatak:
ako su zadani {1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4} i omega={1,2,3,4,5}
ocito da su u toj sigma algebri i skupovi
{1},{2},{3},{4},{5} (kao razlike ovih uzastopnih)
E sad, kad imamo ovakve skupove (particiju), onda je jasno da svaki podskup od omega mora biti u sigma algebri, jer se moze dobiti kao unija nekih od ovih 5 skupova ⇒ u ovom slucaju s.algebra=partitivni(omega)

Added after 2 minutes:

Evo 06/07 stize uskoro

Added after 11 minutes:

1) pretpostavimo da postoji takav niz disjunktnih dogadjaja. Tada je
P(UAi) = suma P(Ai) (naravno i ide od 0 do beskonacno)
ocito vrijedi
1>=P(UAi) = suma P(Ai)= suma 1/(2i+1)= beskonacno
(s analize 2 znamo da divergira ovaj red s desne strane )
dakle dobivamo 1>=oo (beskonacno ), sto je kontradikcija, tj. takav skup ne postoji

2) (da ne bi mor'o u texu, p=presjek, u=unija)
Ocito u ovakvoj sigma-algebri moraju biti sljedeci skupovi:
{2}
{5} (kao A \ ApB)
{1,4} (AuB \ A)
{3,6}
Sad samo napravimo sve moguce unije ovih skupova (ima ih 16) i provjerimo jesu li A,B,C medju tim skupovima (sve moguce unije neke particije su sigurno sigma-algebra)

unija moze imati...
0 clanova : prazan skup
1 clan: {2},{5},{1,4},{3,6}
2 clana: {2,5},{1,2,4},{2,3,6},{1,4,5},{3,5,6},{1,3,4,6}
3 clana: {1,3,4,5,6},{1,2,3,4,6},{2,3,5,6},{1,2,4,5}
4 clana: {1,2,3,4,5,6}

vidi se da su nasi A={2,5}, B={1,2,4} , C={3,6} medju ovim skupovima, a ovo je sigma algebra ⇒ to je to

[.anchy.]

jel je sada najmanja sigma algebra ({2} ,{5}, {1,4},{3,6},) ili još A,B,C i ove sve unije?
i naravno omega i prazan skup

PS.puno hvalaaaa

[pbakic]

Najmanja sigma algebra je skup ovih 16 skupova (unija) koje smo nabrojali
Np:D

[eve]

[pbakic]

Nije bas istina da se svi podskupovi od omega trebaju moc prikazat pomocu elemenata sigma-algebre...
Primjer
prazan skup, {1,2,3}, {4,5,6} i {1,2,3,4,5,6} cine sigma algebru na skupu {1,2,3,4,5,6}
(ocito mozes prikazat samo ova 4 skupa pomocu njih)
Fora je u tome da se svaki element sigma algebre moze dobiti pomocu operacija s ostalim elementima sigma-algebre.
Vrijedi i obrat: ako se neki skup moze dobiti pomocu elemenata sigma algebre, onda je on u toj s.algebri...
To smo koristili u prethodnom zadatku; nasli smo neke skupove koji moraju bit u salgebri (onih 5) i skuzili da sve njihove unije takodjer moraju bit...

[eve]

Ok, kuzim.. Hvala puno!!

[smajl]

[.anchy.]

je li ovo točno:
a={1,3,4}, b={2,4,6}, c={5}

namanja sigma algebra:
{4},{1,3},{2,6},{5}
prazan skup, {1,3,4}, {2,4,6},{4,5}, {1,2,3,6},{1,3,5}, {2,5,6},
{1,2,3,4,6},{2,4,5,6},{1,2,3,5,6},omega
i {1,3,4,5}

i još ovo: http://web.math.hr/nastava/uuv/files/uuv-0708-kol1.pdf
drugi zadatak:
vidimo da je [0,1] podskup [0,2] ... podskup [0,5]
pa mi se čini,ali samo čini ,da je najmanja sigma algebra
prazan skup,[0,5],<5,10],omega
pretpostavljam da nije točno,pa ako može točno rješenje?