Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

limez niza realnih brojeva
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, nastavnički studiji -> Diferencijalni i integralni račun
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Cauchy
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 29. 12. 2010. (10:50:16)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 11:08 sri, 29. 12. 2010    Naslov: limez niza realnih brojeva Citirajte i odgovorite
Pozdrav svim forumašima!

Imala bih pitanje vezano za limes niza realnih brojeva, ako bi netko mogao pomoći...

Radi se o dokazu da je lim od sqrt(a)=1, radi se o n-tom korijenu... Ispričavam se, ali ne znam još koristiti latex... Zato ovako grozno to izgleda...

Išla sam po definiciji limesa i dobila da je a^1/n<E+1... imam jednu knjigu u kojoj je sljedeći korak da logaritmiram to i dobijem n>loga/log(E+1)... sad ne znam što bih dalje... vjerojatno uvedem n0 umjesto n, i onda mi je n0=[loga/log(E+1)] + 1... (ovo [] mi je oznaka za najveće cijelo).... ali dalje nemam pojma što bih...

Ispričavam se još jednom zbog nepreglednosti... stvarno bih bila zahvalna ako bi mi netko pomogao s ovim... :)
Pozdrav svim forumašima!

Imala bih pitanje vezano za limes niza realnih brojeva, ako bi netko mogao pomoći...

Radi se o dokazu da je lim od sqrt(a)=1, radi se o n-tom korijenu... Ispričavam se, ali ne znam još koristiti latex... Zato ovako grozno to izgleda...

Išla sam po definiciji limesa i dobila da je a^1/n<E+1... imam jednu knjigu u kojoj je sljedeći korak da logaritmiram to i dobijem n>loga/log(E+1)... sad ne znam što bih dalje... vjerojatno uvedem n0 umjesto n, i onda mi je n0=[loga/log(E+1)] + 1... (ovo [] mi je oznaka za najveće cijelo).... ali dalje nemam pojma što bih...

Ispričavam se još jednom zbog nepreglednosti... stvarno bih bila zahvalna ako bi mi netko pomogao s ovim... Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Luuka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
188 = 301 - 113
Lokacija: Hakuna Matata
PostPostano: 14:39 sri, 29. 12. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite
Evo kako bih ja to.
Odaberemo [latex]\epsilon> 0[/latex] po volji. Za njega želimo naći neki [latex]n_0 \in \mathbb{N}[/latex] takav da vrijedi [latex]| a^{\frac{1}{n}}-1 | < \epsilon [/latex] za sve [latex]n \geq n_0[/latex]. (to je definicija limesa)

za a=1 je tvrdnja trivijalna.
neka je a>1. Tada onu apsolutnu vrijednost možemo maknuti pa imamo:

[latex] a^{\frac{1}{n}}-1 < \epsilon [/latex] odnosno [latex] a^{\frac{1}{n}} < \epsilon +1 [/latex]
Želimo doći do n-a, pa cijelu nejednakost logaritmiramo (najljepše sa [latex]log_a[/latex] jer će nam onda onaj dio na lijevoj strani nestati, a znak nejednakosti se neće promijeniti jer je a>1 ). Ako logaritmiramo po bazi 10, onda ćemo dobiti ovo što si ti napisala.

Dobivamo:

[latex] \frac{1}{n} < log_a(\epsilon +1) [/latex] odnosno
[latex] n > \frac{1}{log_a(\epsilon +1)} [/latex]
(znak nejednakosti se neće promijeniti jer je ovaj log pozitivan)

Dakle [latex] a^{\frac{1}{n}}-1 < \epsilon [/latex] vrijedi čim je [latex] n > \frac{1}{log_a(\epsilon +1)} [/latex].
Pa uzmemo [latex]n_0 = \lfloor\frac{1}{log_a(\epsilon +1)} \rfloor +1[/latex]
pa ćemo imati da je za sve [latex]n \geq n_0[/latex] zadovoljeno [latex] a^{\frac{1}{n}}-1 < \epsilon [/latex] što daje da je 1 limes našeg niza.

Jako slično se radi za [latex]0<a<1[/latex], samo se treba paziti na predznake, i izraz unutar apsolutne vrijednosti se treba okrenuti. Probaj sama, pa ako neće ići pitaj :D
Evo kako bih ja to.
Odaberemo po volji. Za njega želimo naći neki takav da vrijedi za sve . (to je definicija limesa)

za a=1 je tvrdnja trivijalna.
neka je a>1. Tada onu apsolutnu vrijednost možemo maknuti pa imamo:

odnosno
Želimo doći do n-a, pa cijelu nejednakost logaritmiramo (najljepše sa jer će nam onda onaj dio na lijevoj strani nestati, a znak nejednakosti se neće promijeniti jer je a>1 ). Ako logaritmiramo po bazi 10, onda ćemo dobiti ovo što si ti napisala.

Dobivamo:

odnosno

(znak nejednakosti se neće promijeniti jer je ovaj log pozitivan)

Dakle vrijedi čim je .
Pa uzmemo
pa ćemo imati da je za sve zadovoljeno što daje da je 1 limes našeg niza.

Jako slično se radi za , samo se treba paziti na predznake, i izraz unutar apsolutne vrijednosti se treba okrenuti. Probaj sama, pa ako neće ići pitaj Very Happy



_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy Very Happy
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Cauchy
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 29. 12. 2010. (10:50:16)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 16:35 sri, 29. 12. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite
Uspjela sam i taj drugi slučaj, hvala puno... Da, puno je jednostavnije ako se ide logaritmirati tako... :)

A, imam jedan zadatak, može li s njime pomoć?
Treba izračunati limes (n u beskonačno) od n/sqrt(n faktorijel)... Radi se o en-tom korijenu također... Bi li to mogla na istu foru? sqrt(n faktorijel) od ovog je limes isto 1 ili?
Uspjela sam i taj drugi slučaj, hvala puno... Da, puno je jednostavnije ako se ide logaritmirati tako... Smile

A, imam jedan zadatak, može li s njime pomoć?
Treba izračunati limes (n u beskonačno) od n/sqrt(n faktorijel)... Radi se o en-tom korijenu također... Bi li to mogla na istu foru? sqrt(n faktorijel) od ovog je limes isto 1 ili?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Luuka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
188 = 301 - 113
Lokacija: Hakuna Matata
PostPostano: 1:10 čet, 30. 12. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite
Vrijedi da je [latex]\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{n}{\sqrt{n!}} = 0[/latex]

Ne preporučam koristiti definiciju, namučit ćeš se. Ja bih to ovako:
(koristit ću neprekidnost funkcije sqrt i da je limes umnoška=produkt limesa kada ta oba limesa postoje)

[latex]\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{n}{\sqrt{n!}} = \sqrt { \lim_{n\to \infty} \frac{n^2}{n!}} = \sqrt { \lim_{n\to \infty} \frac{n}{(n-1)(n-2)\dots \cdot 2\cdot1}} =\sqrt { \lim_{n\to \infty} \frac{n}{n-1} \cdot \lim_{n\to \infty} \frac{1}{(n-2)(n-3) \dots \cdot 2 \cdot 1} }= \sqrt{ 1 \cdot 0} = 0[/latex]
Vrijedi da je

Ne preporučam koristiti definiciju, namučit ćeš se. Ja bih to ovako:
(koristit ću neprekidnost funkcije sqrt i da je limes umnoška=produkt limesa kada ta oba limesa postoje)




_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy Very Happy
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3561)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init
PostPostano: 1:47 čet, 30. 12. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite
Trazi se [latex]\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}[/latex]. ;)
Trazi se . Wink



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju. Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Cauchy
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 29. 12. 2010. (10:50:16)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 9:01 čet, 30. 12. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite
a da, baš se i jesam namučila... shvatila sam i ovo :)
hvala :)
a da, baš se i jesam namučila... shvatila sam i ovo Smile
hvala Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Luuka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
188 = 301 - 113
Lokacija: Hakuna Matata
PostPostano: 12:16 čet, 30. 12. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="vsego"]Trazi se [latex]\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}[/latex]. ;)[/quote]

Da, stvarno... onaj postupak gore ne prolazi za taj... a wolframalpha kaže da je limes e... trenutno ne vidim kak to dobit, ali bum se ja vratil :D
vsego (napisa):
Trazi se . Wink


Da, stvarno... onaj postupak gore ne prolazi za taj... a wolframalpha kaže da je limes e... trenutno ne vidim kak to dobit, ali bum se ja vratil Very Happy



_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy Very Happy
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Cauchy
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 29. 12. 2010. (10:50:16)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 12:41 čet, 30. 12. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite
pa ček... i ja sam sad bolje pogledala... u brojniku je n*n*n....n*n (n puta) i ako rastavimo to kao limes produkata, na kraju imamo lim(n) a to je beskonačno... i onda dobijemo pod korijenom beskonačno? hm... :?
pa ček... i ja sam sad bolje pogledala... u brojniku je n*n*n....n*n (n puta) i ako rastavimo to kao limes produkata, na kraju imamo lim(n) a to je beskonačno... i onda dobijemo pod korijenom beskonačno? hm... Confused


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Luuka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
188 = 301 - 113
Lokacija: Hakuna Matata
PostPostano: 13:06 čet, 30. 12. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite
Ali ne možemo rastavit jer svi oni limesi ne postoje (neki su jednaki +beskonačno). Tako da ovo gore ne prolazi, morat ćemo nešt drugo smislit :D
Ali ne možemo rastavit jer svi oni limesi ne postoje (neki su jednaki +beskonačno). Tako da ovo gore ne prolazi, morat ćemo nešt drugo smislit Very Happy



_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy Very Happy
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
pmli
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05)
Postovi: (2C8)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
197 = 203 - 6
PostPostano: 13:58 čet, 30. 12. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite
[latex]\displaystyle $\begin{align}
\ln \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}
& = \lim_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}
= \lim_{n \to \infty} \frac{n \ln n - \ln n!}{n} \\
& \!\!\! \stackrel{\sf Stolz}{=} \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1) \ln (n + 1) - \ln (n + 1)! - n \ln n + \ln n!}{(n + 1) - n} \\
& = \lim_{n \to \infty} \left( (n + 1) \ln (n + 1) - \ln (n + 1) - n \ln n \right)
= \lim_{n \to \infty} n (\ln (n + 1) - \ln n) \\
& = \lim_{n \to \infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n
= \ln \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n
= 1
\end{align}$[/latex]
[latex]\displaystyle \Rightarrow \ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}} = e[/latex]
[url=http://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem]Stolz[/url]


Stolz




Zadnja promjena: pmli; 16:14 ned, 2. 1. 2011; ukupno mijenjano 1 put.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Luuka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
188 = 301 - 113
Lokacija: Hakuna Matata
PostPostano: 14:28 čet, 30. 12. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite
E to je to :D Koristan teorem pmli, hvala :D
E to je to Very Happy Koristan teorem pmli, hvala Very Happy



_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy Very Happy
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Cauchy
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 29. 12. 2010. (10:50:16)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 15:13 ned, 2. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite
Može li me netko uputiti na neki link ili knjigu gdje bih mogla pronaći dokaz ovog Stolzovog teorema, ili da ga netko ovdje napiše ako ste ga dokazivali na predavanjima?
Hvala :)

btw. što se tiče ovog zadatka što ste riješili, hvala :) još mi samo treba dokaz tog teorema :)
Može li me netko uputiti na neki link ili knjigu gdje bih mogla pronaći dokaz ovog Stolzovog teorema, ili da ga netko ovdje napiše ako ste ga dokazivali na predavanjima?
Hvala Smile

btw. što se tiče ovog zadatka što ste riješili, hvala Smile još mi samo treba dokaz tog teorema Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3561)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init
PostPostano: 15:40 ned, 2. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite
Sto fali dokazu s linka koji je dao pmli?
Sto fali dokazu s linka koji je dao pmli?



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju. Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Cauchy
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 29. 12. 2010. (10:50:16)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 15:50 ned, 2. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite
pa čini mi se da je to samo iskazan teorem... ne dokaz... no dobro... uredu je... :) dovoljan je i iskaz, samo sam znatiželjna :)
pa čini mi se da je to samo iskazan teorem... ne dokaz... no dobro... uredu je... Smile dovoljan je i iskaz, samo sam znatiželjna Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3561)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init
PostPostano: 16:09 ned, 2. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite
Pod "External links" nalazi se link [url=http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfStolzCesaroTheorem.html]Proof of Stolz–Cesàro theorem[/url].
Pod "External links" nalazi se link Proof of Stolz–Cesàro theorem.



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju. Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Cauchy
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 29. 12. 2010. (10:50:16)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
0 = 0 - 0
PostPostano: 17:07 ned, 2. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite
:oops:
hvala :)
Embarassed
hvala Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, nastavnički studiji -> Diferencijalni i integralni račun Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan