| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
ceps
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07)
Postovi: (13A)16
|
|
| [Vrh] |
|
mornik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
|
|
| [Vrh] |
|
Lanek_
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 10. 2010. (18:51:42)
Postovi: (31)16
|
|
| [Vrh] |
|
mornik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
|
 Postano: 21:30 ned, 26. 12. 2010 Naslov: |
    |
|
|
A zašto ne prva grupa? :P (Mislim, princip je isti, pa pitam... :))
U svakom slučaju, čak sam, mislim, i riješio to tu negdje... aha, evo te! :D Daklem, [url=http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?p=147246#147246]ovdje[/url] sam svojedobno napisao to što ti tu zahtijevaš. :D
A zašto ne prva grupa?  (Mislim, princip je isti, pa pitam...  )
U svakom slučaju, čak sam, mislim, i riješio to tu negdje... aha, evo te!  Daklem, ovdje sam svojedobno napisao to što ti tu zahtijevaš.
|
|
| [Vrh] |
|
Lanek_
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 10. 2010. (18:51:42)
Postovi: (31)16
|
|
| [Vrh] |
|
mornik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
|
| Postano: 15:01 pon, 27. 12. 2010 Naslov: |
|
|
|
Dobro, gotovo pa kriminalna nepreciznost aside :P (nije [latex]=[/latex] nego [latex]\to[/latex], a ima i još jedan tipfeler :P), stvar je zapravo slična onome što ste vjerojatno radili na dosta zadataka.
Možda će biti lakše ako ovako napišemo. Dakle, znamo da za [latex]t\to 0[/latex] vrijedi [latex]\displaystyle\frac{e^t+e^{-t}-2}{t^2}\to 1[/latex]. Sad uvrstimo [latex]x\ln 4=:t[/latex]. Vidi se da je [latex]t\to 0[/latex] ekvivalentno s [latex]x\to 0[/latex] - to nam je bitno. Naime, onda znamo da je [latex]1=\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{e^t+e^{-t}-2}{t^2}=\lim_{x\to 0}\frac{e^t+e^{-t}-2}{t^2}[/latex]. Umjesto [latex]t[/latex] sad pišemo [latex]x\ln 4[/latex] i gotovo direktno dobivamo [latex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{4^x+4^{-x}-2}{(x\ln 4)^2}=1[/latex]. No, mi tražimo [latex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{4^x+4^{-x}-2}{x^2}[/latex], što znači da gornji izraz množimo s [latex]\ln^2 4[/latex] (da bismo dobili ono što tražimo) - od tuda to množenje koje te muči. :)
Iz [latex]\displaystyle\frac{4^x+4^{-x}-2}{(x\ln 4)^2}\to 1[/latex] imamo, dakle, [latex]\displaystyle\frac{4^x+4^{-x}-2}{(x\ln 4)^2}\ln^2 4\to \ln^2 4[/latex], tj. kad se stvar pokrati [latex]\displaystyle\frac{4^x+4^{-x}-2}{x^2}\to \ln^2 4[/latex]. Eto, sad smo gotovi. (Postupak je u svakom slučaju sasvim u redu. Iako, sjetiti se toga... moram reći da sam sumnjičav. :) But that's just me. :))
Dobro, gotovo pa kriminalna nepreciznost aside (nije  nego  , a ima i još jedan tipfeler ), stvar je zapravo slična onome što ste vjerojatno radili na dosta zadataka.
Možda će biti lakše ako ovako napišemo. Dakle, znamo da za  vrijedi  . Sad uvrstimo  . Vidi se da je ekvivalentno s  - to nam je bitno. Naime, onda znamo da je  . Umjesto  sad pišemo  i gotovo direktno dobivamo  . No, mi tražimo  , što znači da gornji izraz množimo s  (da bismo dobili ono što tražimo) - od tuda to množenje koje te muči.
Iz  imamo, dakle,  , tj. kad se stvar pokrati  . Eto, sad smo gotovi. (Postupak je u svakom slučaju sasvim u redu. Iako, sjetiti se toga... moram reći da sam sumnjičav. But that's just me. )
|
|
| [Vrh] |
|
Lanek_
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 10. 2010. (18:51:42)
Postovi: (31)16
|
|
| [Vrh] |
|
kre5o
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 09. 2009. (22:20:52)
Postovi: (32)16
|
|
| [Vrh] |
|
mornik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
|
| Postano: 18:05 sri, 29. 12. 2010 Naslov: |
|
|
|
A gle, kakve limese znamo (tj. kakve možemo naći u tablici)? Uglavnom one gdje [latex]x\to +\infty[/latex] i [latex]x\to 0[/latex] (ne znam ima li neki u kojem [latex]x\to 1[/latex]). Stoga, ideja je dovesti stvar na neki od njih. E, sad, uzevši to u obzir, čini se smisleno da umjesto [latex]x\to 7[/latex] gledamo [latex]x-7\to 0[/latex]. Dakle, idemo uzeti [latex]t:=x-7[/latex].
Sad je [latex]t\to 0[/latex] ekvivalentno s [latex]x\to 7[/latex], pa tražimo [latex]\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}[/latex]. Sad ćemo umjesto [latex]x[/latex] pisati [latex]t+7[/latex] i dobiti [latex]\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{2-\sqrt{t+4}}{t^2+14t}[/latex].
E, a ovo nam se već sviđa. :) Sad znamo kako dalje - množimo i brojnik i nazivnik s [latex]2+\sqrt{t+4}[/latex] i dobivamo razlomak [latex]\displaystyle\frac{-t}{t(t+14)(2+\sqrt{t+4})}[/latex]. Pokratimo [latex]t[/latex] i sad nam je limes jasan: iznosi [latex]\displaystyle-\frac{1}{56}[/latex].
Evo, to je to. Ta se ideja inače javlja u dosta zadataka, pa ju je valjda korisno zapamtiti. :)
(Inače, ne znam treba li komentirati, valjda ne, ali za svaki slučaj da spomenem, kad sam se sad sjetio: tražiti ovaj limes ima smisla u kontekstu definiranosti jer je funkcija [latex]\displaystyle f(x)=\frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}[/latex] definirana na nekoj otvorenoj okolini točke [latex]7[/latex]. Na primjer, tražiti [latex]\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}[/latex] ne bi imalo smisla tražiti jer gornja funkcija [latex]f[/latex] nije definirana ni za koji [latex]x<3[/latex]. Imalo bi smisla tražiti limes kad [latex]x\to 3+[/latex], ali to je druga stvar.)
A gle, kakve limese znamo (tj. kakve možemo naći u tablici)? Uglavnom one gdje  i (ne znam ima li neki u kojem  ). Stoga, ideja je dovesti stvar na neki od njih. E, sad, uzevši to u obzir, čini se smisleno da umjesto  gledamo  . Dakle, idemo uzeti  .
Sad je ekvivalentno s , pa tražimo  . Sad ćemo umjesto  pisati  i dobiti  .
E, a ovo nam se već sviđa. Sad znamo kako dalje - množimo i brojnik i nazivnik s  i dobivamo razlomak  . Pokratimo i sad nam je limes jasan: iznosi  .
Evo, to je to. Ta se ideja inače javlja u dosta zadataka, pa ju je valjda korisno zapamtiti.
(Inače, ne znam treba li komentirati, valjda ne, ali za svaki slučaj da spomenem, kad sam se sad sjetio: tražiti ovaj limes ima smisla u kontekstu definiranosti jer je funkcija  definirana na nekoj otvorenoj okolini točke  . Na primjer, tražiti  ne bi imalo smisla tražiti jer gornja funkcija  nije definirana ni za koji  . Imalo bi smisla tražiti limes kad  , ali to je druga stvar.)
|
|
| [Vrh] |
|
kre5o
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 09. 2009. (22:20:52)
Postovi: (32)16
|
|
| [Vrh] |
|
mornik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
|
| Postano: 19:02 sri, 29. 12. 2010 Naslov: |
|
|
|
Sad sam shvatio, moj predivni rad i mudre pouke na stranu :D, ima i znatno lakši način rješavanja, ne treba uopće uvoditi supstituciju - samo pomnoži i brojnik i nazivnik s [latex]2+\sqrt{x-3}[/latex], kako ste to već radili na puno zadataka. Tada imamo [latex]\displaystyle\frac{7-x}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}[/latex]. [latex]x-7[/latex] se pokrati i onda limes lako dobivamo. Naravno, i dalje iznosi [latex]\displaystyle -\frac{1}{(7+7)(2+\sqrt{7-3})}=-\frac{1}{56}[/latex]. :P
Sorry na ovom nepotrebnom kompliciranju. :)
Sad sam shvatio, moj predivni rad i mudre pouke na stranu , ima i znatno lakši način rješavanja, ne treba uopće uvoditi supstituciju - samo pomnoži i brojnik i nazivnik s  , kako ste to već radili na puno zadataka. Tada imamo  .  se pokrati i onda limes lako dobivamo. Naravno, i dalje iznosi  .
Sorry na ovom nepotrebnom kompliciranju.
|
|
| [Vrh] |
|
ceps
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07)
Postovi: (13A)16
|
|
| [Vrh] |
|
pbakic
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30)
Postovi: (143)16
Spol: 
|
| Postano: 18:00 čet, 30. 12. 2010 Naslov: |
|
|
|
A sa ln je uvijek ista finta: kad imas ln(f(x)) gdje f(x) tezi u 1, onda je to isto kao da imas f(x)-1. Tocnije, [latex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\ln x}{x-1}[/latex]
Iz toga vidis da je korisno sve pomnoziti i podijeliti s cosx-1, pa dobijemo
[latex]\frac{\sin^2 x + x^2}{\cos x -1}\frac{\cos x - 1}{\ln(\cos x)}[/latex]
Sad ovaj desni razlomak tezi u 1 (zbog ovog limesa gore), pa promatramo samo lijevi. Tu nam je ocito dobro podijelit i pomnozit s x^2, jer znamo [latex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}[/latex]
Sad imamo znaci
[latex]\frac{\sin^2 x + x^2}{x^2}\frac{x^2}{\cos x - 1}[/latex]
Prvi razlomcic ocito ide u 2, a drugi u -2, pa ukupno sve ide u -4
A sa ln je uvijek ista finta: kad imas ln(f(x)) gdje f(x) tezi u 1, onda je to isto kao da imas f(x)-1. Tocnije, 
Iz toga vidis da je korisno sve pomnoziti i podijeliti s cosx-1, pa dobijemo
Sad ovaj desni razlomak tezi u 1 (zbog ovog limesa gore), pa promatramo samo lijevi. Tu nam je ocito dobro podijelit i pomnozit s x^2, jer znamo 
Sad imamo znaci
Prvi razlomcic ocito ide u 2, a drugi u -2, pa ukupno sve ide u -4
|
|
| [Vrh] |
|
frutabella
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
|
| Postano: 16:23 sub, 1. 1. 2011 Naslov: |
|
|
|
[quote="pbakic"]A sa ln je uvijek ista finta: kad imas ln(f(x)) gdje f(x) tezi u 1, onda je to isto kao da imas f(x)-1. Tocnije, [latex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\ln x}{x-1}[/latex]
Iz toga vidis da je korisno sve pomnoziti i podijeliti s cosx-1, pa dobijemo
[latex]\frac{\sin^2 x + x^2}{\cos x -1}\frac{\cos x - 1}{\ln(\cos x)}[/latex]
Sad ovaj desni razlomak tezi u 1 (zbog ovog limesa gore), pa promatramo samo lijevi. Tu nam je ocito dobro podijelit i pomnozit s x^2, jer znamo [latex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}[/latex]
Sad imamo znaci
[latex]\frac{\sin^2 x + x^2}{x^2}\frac{x^2}{\cos x - 1}[/latex]
HVALA NE POMOCI!
Ako se nekome da, zamolila bih da objasni kako u wolf.izracunati limese, to bi mi dobro doslo, da ne pitam tu bas za rezultat svakog zadatka cijeg rjesenja nemam.
Zanima me 5. zadatak s kolokvija 2007. :
lim (ch ( 1/ sq(X) ))^ x , limes tezi u +BESK.
sq = KORJEN
Nadam se da je razumljivo, znaci rijecimo jos: kosinus hiper. ( 1 kroz korjen x,) pa sve to na x.
[quote="pbakic"]A sa ln je uvijek ista finta: kad imas ln(f(x)) gdje f(x) tezi u 1, onda je to isto kao da imas f(x)-1. Tocnije,
Iz toga vidis da je korisno sve pomnoziti i podijeliti s cosx-1, pa dobijemo
Sad ovaj desni razlomak tezi u 1 (zbog ovog limesa gore), pa promatramo samo lijevi. Tu nam je ocito dobro podijelit i pomnozit s x^2, jer znamo
Sad imamo znaci
HVALA NE POMOCI!
Ako se nekome da, zamolila bih da objasni kako u wolf.izracunati limese, to bi mi dobro doslo, da ne pitam tu bas za rezultat svakog zadatka cijeg rjesenja nemam.
Zanima me 5. zadatak s kolokvija 2007. :
lim (ch ( 1/ sq(X) ))^ x , limes tezi u +BESK.
sq = KORJEN
Nadam se da je razumljivo, znaci rijecimo jos: kosinus hiper. ( 1 kroz korjen x,) pa sve to na x.
|
|
| [Vrh] |
|
kenny
Petica iz zalaganja
Pridružen/a: 28. 03. 2003. (09:18:36)
Postovi: (3B7)16
Spol: 
Lokacija: ...somewhere over the rainbow...
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
| Postano: 17:14 sub, 1. 1. 2011 Naslov: |
|
|
|
Kada koristiš Wolfram Alphu za limese, moraš napisati "limit *varijabla* to *vrijednost*" i onda pišeš izraz kojemu tražiš limes. Jedino zna biti problem kada tipkaš imena nekih funkcija; npr., u ovom primjeru ch je zapravo cosh za Wolfram Alphu, jer on "ch" interpretira kao kotangens hiperbolni.
Evo ti link kako to izgleda: [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+x+to+infinity+%28ch%281%2Fsqrt%28x%29%29^x]primjer[/url].
Ako varijabla teži u (plus) beskonačno, onda možeš navesti samo "limit", ali onda je moguće da navede više mogućih limesa, kao npr., [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28cosh%281%2Fsqrt%28x%29%29^x]ovdje[/url].
A sad na zadatak:
[latex]\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(ch(\frac{1}{\sqrt x}))^x=[1^+^\infty]=e^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(ch(\frac{1}{\sqrt x})-1)*x}=e^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{ch(\frac{1}{\sqrt x})-1}{(\frac{1}{\sqrt x})^2}}=e^\frac{1}{2}=\sqrt e[/latex]
U početku je dobro provjeriti je li ovo oblika [latex][1^+^\infty][/latex] (jer imamo bazu i eksponent). Uočavamo da je to traženi oblik i raspišemo formulu po eksponentu (a baza je e). Sada, kako nam je ch najviše problematičan, želimo po poznatoj formuli namjestiti nazivnik tako da u njemu imamo [latex](\frac{1}{\sqrt x})^2[/latex], a to možemo raditi jer izraz unutar funkcije ch teži u 0 (baš kao i u općoj formuli). Ali u ovom primjeru nemamo potrebe za namještanjem jer je taj izraz recipročna vrijednost samog x-a, kojeg imamo kao jedan od faktora. (Ako to ne primijetiš, nije problem - samo namjesti nazivnik kakav ti odgovara i, kada pomnožiš izraz sa nazivnikom (da izraz ostane isti; sve množiš i dijeliš s istim izrazom), "skratit" će se s x-om.) Limes je sada poznat.
Kada koristiš Wolfram Alphu za limese, moraš napisati "limit *varijabla* to *vrijednost*" i onda pišeš izraz kojemu tražiš limes. Jedino zna biti problem kada tipkaš imena nekih funkcija; npr., u ovom primjeru ch je zapravo cosh za Wolfram Alphu, jer on "ch" interpretira kao kotangens hiperbolni.
Evo ti link kako to izgleda: primjer.
Ako varijabla teži u (plus) beskonačno, onda možeš navesti samo "limit", ali onda je moguće da navede više mogućih limesa, kao npr., ovdje.
A sad na zadatak:
U početku je dobro provjeriti je li ovo oblika  (jer imamo bazu i eksponent). Uočavamo da je to traženi oblik i raspišemo formulu po eksponentu (a baza je e). Sada, kako nam je ch najviše problematičan, želimo po poznatoj formuli namjestiti nazivnik tako da u njemu imamo  , a to možemo raditi jer izraz unutar funkcije ch teži u 0 (baš kao i u općoj formuli). Ali u ovom primjeru nemamo potrebe za namještanjem jer je taj izraz recipročna vrijednost samog x-a, kojeg imamo kao jedan od faktora. (Ako to ne primijetiš, nije problem - samo namjesti nazivnik kakav ti odgovara i, kada pomnožiš izraz sa nazivnikom (da izraz ostane isti; sve množiš i dijeliš s istim izrazom), "skratit" će se s x-om.) Limes je sada poznat.
|
|
| [Vrh] |
|
Buki
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 10. 2010. (20:15:17)
Postovi: (56)16
|
| Postano: 14:48 sri, 5. 1. 2011 Naslov: |
|
|
|
[quote="mornik"]Evo hint :) :
Limes od [latex]\displaystyle\frac{x^2}{\tan(x^2)}[/latex] znaš. Znaš i limes od [latex]\displaystyle\frac{x^2}{\sin(x^2)}[/latex]. U brojniku, [latex](\tan(x)-\sin(x))^2=\tan^2(x)\cdot\displaystyle(1-\cos(x))^2[/latex]. To znaš usporediti s [latex]x^6[/latex].
E, sad, kad pomnožimo ta tri limesa koja smo gore spomenuli, dobivamo traženi limes. Ili? :)
Reci ako treba još šta.[/quote]
zanima me koliko iznose ti navedeni limes, i jel se na kolokviju kao poznati limesi priznaju samo oni iz tablica ili i oni koje smo na vjezbama radili?
| mornik (napisa): | Evo hint :
Limes od  znaš. Znaš i limes od  . U brojniku,  . To znaš usporediti s  .
E, sad, kad pomnožimo ta tri limesa koja smo gore spomenuli, dobivamo traženi limes. Ili?
Reci ako treba još šta. |
zanima me koliko iznose ti navedeni limes, i jel se na kolokviju kao poznati limesi priznaju samo oni iz tablica ili i oni koje smo na vjezbama radili?
|
|
| [Vrh] |
|
mornik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
|
| Postano: 15:13 sri, 5. 1. 2011 Naslov: |
|
|
|
Iznose [latex]1[/latex], [latex]1[/latex] i [latex]1\cdot 0.25=0.25[/latex], ako se ne varam. Mislim, to ti zbilja nije teško izračunati, ne znam baš što predstavlja problem... :) Znaš da [latex]\displaystyle\frac{\sin(x)}{x}\to 1[/latex], pa i [latex]\displaystyle\frac{\tan(x)}{x}=\cos(x)\cdot\frac{\sin(x)}{x}\to 1\cdot 1=1[/latex]. Sad onda znaš i limese od [latex]\displaystyle\frac{x^2}{\tan(x^2)}[/latex], [latex]\displaystyle\frac{x^2}{\sin(x^2)}[/latex] (primijeti da [latex]x\to 0 \Leftrightarrow x^2\to 0[/latex], pa možeš formalno uvesti supstituciju [latex]t:=x^2[/latex]). Za ovaj treći limes, znaš da [latex]\displaystyle\frac{1-\cos(x)}{x^2}\to 0.5[/latex], pa [latex]\displaystyle\frac{(1-\cos(x))^2}{x^4}\to 0.25[/latex]. Kako [latex]\displaystyle\frac{\tan^2(x)}{x^2}\to 1[/latex], gotovi smo. :)
A što se tiče ovog drugog pitanja, ne znam baš definitivan odgovor, ali u svakom slučaju, vjerojatno je "dopustivije" tvrditi bez dokaza da [latex]\displaystyle\frac{\tan(x)}{x}\to 1[/latex] nego reći "ovo direktno slijedi iz 17. zadatka s vježbi kod asis. Gogića, samo uvrstimo [latex]a=2[/latex]". :D Eto, znam da nisam bio od neke pomoći. :)
Iznose  , i  , ako se ne varam. Mislim, to ti zbilja nije teško izračunati, ne znam baš što predstavlja problem... Znaš da  , pa i  . Sad onda znaš i limese od , (primijeti da  , pa možeš formalno uvesti supstituciju  ). Za ovaj treći limes, znaš da  , pa  . Kako  , gotovi smo.
A što se tiče ovog drugog pitanja, ne znam baš definitivan odgovor, ali u svakom slučaju, vjerojatno je "dopustivije" tvrditi bez dokaza da  nego reći "ovo direktno slijedi iz 17. zadatka s vježbi kod asis. Gogića, samo uvrstimo  ". Eto, znam da nisam bio od neke pomoći.
|
|
| [Vrh] |
|
medonja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 10. 2009. (17:01:04)
Postovi: (45)16
|
|
| [Vrh] |
|
Luuka
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol:
Lokacija: Hakuna Matata
|
|
| [Vrh] |
|
|
)
