Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Duh prošlih kolokvija (zadatak)
WWW:
Idite na Prethodno  1, 2, 3
Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
mornik
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
Sarma = la pohva - posuda
118 = 124 - 6

PostPostano: 11:26 pet, 7. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ma nije to teoretski. :) Uglavnom, to se vjerojatno isto javljalo po forumu, ali da sad ne tražim...

Ima, naravno, hrpa primjera, mislim da sam se ja prvo sjetio nečega ogavnog što je sadržavalo [latex]\displaystyle\frac{1}{x}[/latex], ali vjerojatno je najjednostavniji kontraprimjer [latex]f(x)=\mathrm{sign}(x)[/latex], gdje je [latex]\mathrm{sign}[/latex] "funkcija predznaka" - za pozitivne [latex]x[/latex] je [latex]1[/latex], a za negativne [latex]-1[/latex] (da nam je nula u domeni, u njoj bi bila [latex]0[/latex]).

Funkcija očito nema limes u [latex]0[/latex] (zdesna je uvijek [latex]1[/latex], a slijeva [latex]-1[/latex]), a postoji limes od [latex]f(x^2)[/latex]. Naime, [latex]x^2>0[/latex], pa je u ovom slučaju vrijednost funkcije uvijek [latex]1[/latex]. Naravno, i sve druge grupe su potpuno iste i isti kontraprimjer vrijedi - poanta je da uvijek imamo uvjet da postoji limes od [latex]f(g(x))[/latex], gdje je [latex]g[/latex] neka funkcija veća od [latex]0[/latex].

Kažem, ovo je samo jedan od primjera - lako se vidi, mislim, da je nužni i dovoljni uvjet da funkcija bude kontraprimjer (za sve grupe) da ima limes u nuli zdesna, a da limes u nuli slijeva ili nema ili, ako ima, da on nije jednak limesu zdesna.
Ma nije to teoretski. Smile Uglavnom, to se vjerojatno isto javljalo po forumu, ali da sad ne tražim...

Ima, naravno, hrpa primjera, mislim da sam se ja prvo sjetio nečega ogavnog što je sadržavalo , ali vjerojatno je najjednostavniji kontraprimjer , gdje je "funkcija predznaka" - za pozitivne je , a za negativne (da nam je nula u domeni, u njoj bi bila ).

Funkcija očito nema limes u (zdesna je uvijek , a slijeva ), a postoji limes od . Naime, , pa je u ovom slučaju vrijednost funkcije uvijek . Naravno, i sve druge grupe su potpuno iste i isti kontraprimjer vrijedi - poanta je da uvijek imamo uvjet da postoji limes od , gdje je neka funkcija veća od .

Kažem, ovo je samo jedan od primjera - lako se vidi, mislim, da je nužni i dovoljni uvjet da funkcija bude kontraprimjer (za sve grupe) da ima limes u nuli zdesna, a da limes u nuli slijeva ili nema ili, ako ima, da on nije jednak limesu zdesna.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
zvonkec
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 04. 11. 2010. (20:56:30)
Postovi: (37)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
12 = 14 - 2

PostPostano: 12:21 pet, 7. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

To je bilo brzo. Puno hvala :D
To je bilo brzo. Puno hvala Very Happy



_________________
nekad sam bio umišljen al sam se promijenio sad sam savršen
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Togepi
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 21. 11. 2010. (14:31:41)
Postovi: (2B)16
Sarma = la pohva - posuda
= 2 - 1

PostPostano: 11:18 sub, 8. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

http://web.math.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0506-kol2.pdf
Zanima me 3. zadatak.
Ako S=A*B, kako naći inf i sup od A(skup koji u sebi sadrži n-ove)?
http://web.math.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0506-kol2.pdf
Zanima me 3. zadatak.
Ako S=A*B, kako naći inf i sup od A(skup koji u sebi sadrži n-ove)?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mornik
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
Sarma = la pohva - posuda
118 = 124 - 6

PostPostano: 11:49 sub, 8. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Nisi napisao/la o kojoj se grupi radi, a podosta su različite... no dobro, pretpostavljam da je u pitanju prva grupa jer se u trećoj ne radi o podjeli na "umnožak" skupova, a druga i četvrta ne bi trebale stvarati neke probleme s infimumima i supremumima (gledaj odvojeno parne i neparne [latex]m[/latex]).

E, a kod ove prve grupe radi se, u određenoj mjeri, o "zamci". Naime, niz od kojeg uzimamo najveće cijelo konvergira u dvije trećine, pa je sigurno da će nakon nekog (nadamo se kratkog) "vremena" svi članovi niza biti između [latex]0[/latex] i [latex]1[/latex]. Tada će to najveće cijelo biti [latex]0[/latex].

No dobro, pogledajmo kad je [latex]0\leq\displaystyle\frac{2n+3}{3n-8}<1[/latex]. Kao prvo, stavit ćemo uvjet da je [latex]n\geq 3[/latex] (jedinicu i dvojku lako provjerimo ručno). Dakle, ovo gore je u tom slučaju ekvivalentno s [latex]0\leq 2n+3<3n-8[/latex], tj. s [latex]n>11[/latex]. Dakle, sad znamo da će za sve [latex]n>11[/latex] najveće cijelo biti [latex]0[/latex].

Ove manje ili jednake [latex]11[/latex] možeš provjeriti i ručno, a možda je smisleno i ovako: dakle, računamo da (ako izuzmemo ovu prvu dvojicu, kad je nazivnik negativan), ako već ovaj razlomak nije manji od [latex]1[/latex], možda je za neke [latex]n[/latex] od [latex]3[/latex] do [latex]11[/latex] manji od [latex]2[/latex], a veći ili jednak [latex]1[/latex], pa mu opet znamo najveće cijelo. Pogledajmo: [latex]1\leq\displaystyle\frac{2n+3}{3n-8}<2[/latex] je ekvivalentno s [latex]n\leq 11[/latex] i [latex]n\geq 5[/latex].

I eto, sad smo manje-više gotovi: za [latex]n=1,2,3,4[/latex] ručno provjeri vrijednosti najvećeg cijelog (mislim da su [latex]-1[/latex], [latex]-4[/latex], [latex]9[/latex] i [latex]2[/latex], respektivno), a dalje se pojavljuju samo jedinice i nule. Stoga, supremum ovog skupa je najveći od spomenutih brojeva, [latex]9[/latex], a infimum najmanji: [latex]-4[/latex].

Eto, to je to. Nadam se da sam pogodio grupu. :)

(Naravno, u ovome gore, druga opcija koja ti se nudi je da uvidiš da je nakon trećeg člana ovaj pripadajući niz padajuć, a kako je najveće cijelo rastuća funkcija, tada je supremum ili u trećem članu ili u nekom od prve dvojice, a infimum ili u limesu za [latex]n\to +\infty[/latex] ili, ponovno, u nekom od prve dvojice. Tako ti je možda i lakše. :))

EDIT: Najveće cijelo nije neprekidna funkcija, naravno. :oops: Ispričavam se. Doduše, to ne mijenja ništa na ovom drugom ponuđenom rješenju - čak i kad bi išli tim putem, neprekidna je u [latex]2/3[/latex], gdje nam je bitno.
Nisi napisao/la o kojoj se grupi radi, a podosta su različite... no dobro, pretpostavljam da je u pitanju prva grupa jer se u trećoj ne radi o podjeli na "umnožak" skupova, a druga i četvrta ne bi trebale stvarati neke probleme s infimumima i supremumima (gledaj odvojeno parne i neparne ).

E, a kod ove prve grupe radi se, u određenoj mjeri, o "zamci". Naime, niz od kojeg uzimamo najveće cijelo konvergira u dvije trećine, pa je sigurno da će nakon nekog (nadamo se kratkog) "vremena" svi članovi niza biti između i . Tada će to najveće cijelo biti .

No dobro, pogledajmo kad je . Kao prvo, stavit ćemo uvjet da je (jedinicu i dvojku lako provjerimo ručno). Dakle, ovo gore je u tom slučaju ekvivalentno s , tj. s . Dakle, sad znamo da će za sve najveće cijelo biti .

Ove manje ili jednake možeš provjeriti i ručno, a možda je smisleno i ovako: dakle, računamo da (ako izuzmemo ovu prvu dvojicu, kad je nazivnik negativan), ako već ovaj razlomak nije manji od , možda je za neke od do manji od , a veći ili jednak , pa mu opet znamo najveće cijelo. Pogledajmo: je ekvivalentno s i .

I eto, sad smo manje-više gotovi: za ručno provjeri vrijednosti najvećeg cijelog (mislim da su , , i , respektivno), a dalje se pojavljuju samo jedinice i nule. Stoga, supremum ovog skupa je najveći od spomenutih brojeva, , a infimum najmanji: .

Eto, to je to. Nadam se da sam pogodio grupu. Smile

(Naravno, u ovome gore, druga opcija koja ti se nudi je da uvidiš da je nakon trećeg člana ovaj pripadajući niz padajuć, a kako je najveće cijelo rastuća funkcija, tada je supremum ili u trećem članu ili u nekom od prve dvojice, a infimum ili u limesu za ili, ponovno, u nekom od prve dvojice. Tako ti je možda i lakše. Smile)

EDIT: Najveće cijelo nije neprekidna funkcija, naravno. Embarassed Ispričavam se. Doduše, to ne mijenja ništa na ovom drugom ponuđenom rješenju - čak i kad bi išli tim putem, neprekidna je u , gdje nam je bitno.




Zadnja promjena: mornik; 11:58 sub, 8. 1. 2011; ukupno mijenjano 3 put/a.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
Togepi
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 21. 11. 2010. (14:31:41)
Postovi: (2B)16
Sarma = la pohva - posuda
= 2 - 1

PostPostano: 11:54 sub, 8. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Da, dobra je grupa. I hvala na odgovoru. :)
Da, dobra je grupa. I hvala na odgovoru. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Togepi
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 21. 11. 2010. (14:31:41)
Postovi: (2B)16
Sarma = la pohva - posuda
= 2 - 1

PostPostano: 16:51 sub, 8. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Imam još jedno pitanje:
http://web.math.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0708-kol2.pdf (4.grupa)
Zanima me 3 zadatak.
Uzmem n=1 i zaključujem da je inf=0. Koji su moji argumenti da je baš 0 infimum? Tj. kako to "formalno" zapisati?
Imam još jedno pitanje:
http://web.math.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0708-kol2.pdf (4.grupa)
Zanima me 3 zadatak.
Uzmem n=1 i zaključujem da je inf=0. Koji su moji argumenti da je baš 0 infimum? Tj. kako to "formalno" zapisati?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Tomislav
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 04. 10. 2010. (20:18:25)
Postovi: (181)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
23 = 116 - 93

PostPostano: 17:04 sub, 8. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Znaci ovako, posto su m,n pozitivni brojevi, izraz je takodjer strogo pozitivan, tako da ako imas neki izbor m,n (a imas) tako da postignes 0 od izraza, sigurno je to inf, jer ne postoji broj manji od 0, koji je pozitivan.

Znaci formalno je ovako: Neka je A=izraz. Zbog onog sto sam gore napisao je da je A>0. Sad n=1 i m->infinity, pa je lim A=0, stoga, dokazano.

Edit:

Drugi nacin bi bio ovakav.

0<A<epsilon (za neki fiksan epsilon) i za neke m>=m_0. Sada prema arhimedovom aksiomu postoji m_0 takav da je A<epsilon, za svaki epsilon, pa je prema teoremu o sendvicu limesA=0=infA
Znaci ovako, posto su m,n pozitivni brojevi, izraz je takodjer strogo pozitivan, tako da ako imas neki izbor m,n (a imas) tako da postignes 0 od izraza, sigurno je to inf, jer ne postoji broj manji od 0, koji je pozitivan.

Znaci formalno je ovako: Neka je A=izraz. Zbog onog sto sam gore napisao je da je A>0. Sad n=1 i m->infinity, pa je lim A=0, stoga, dokazano.

Edit:

Drugi nacin bi bio ovakav.

0<A<epsilon (za neki fiksan epsilon) i za neke m>=m_0. Sada prema arhimedovom aksiomu postoji m_0 takav da je A<epsilon, za svaki epsilon, pa je prema teoremu o sendvicu limesA=0=infA


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Buki
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 10. 2010. (20:15:17)
Postovi: (56)16
Sarma = la pohva - posuda
= 4 - 0

PostPostano: 18:15 sub, 8. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Tomislav"]Znaci ovako, posto su m,n pozitivni brojevi, izraz je takodjer strogo pozitivan, tako da ako imas neki izbor m,n (a imas) tako da postignes 0 od izraza, sigurno je to inf, jer ne postoji broj manji od 0, koji je pozitivan.

Znaci formalno je ovako: Neka je A=izraz. Zbog onog sto sam gore napisao je da je A>0. Sad n=1 i m->infinity, pa je lim A=0, stoga, dokazano.

Edit:

Drugi nacin bi bio ovakav.

0<A<epsilon (za neki fiksan epsilon) i za neke m>=m_0. Sada prema arhimedovom aksiomu postoji m_0 takav da je A<epsilon, za svaki epsilon, pa je prema teoremu o sendvicu limesA=0=infA[/quote]

vidio sam da se koristi finta da se kad je n=1 postize infinum, a kada je m=1 supremum,jel to dopusteno?
Tomislav (napisa):
Znaci ovako, posto su m,n pozitivni brojevi, izraz je takodjer strogo pozitivan, tako da ako imas neki izbor m,n (a imas) tako da postignes 0 od izraza, sigurno je to inf, jer ne postoji broj manji od 0, koji je pozitivan.

Znaci formalno je ovako: Neka je A=izraz. Zbog onog sto sam gore napisao je da je A>0. Sad n=1 i m→infinity, pa je lim A=0, stoga, dokazano.

Edit:

Drugi nacin bi bio ovakav.

0<A<epsilon (za neki fiksan epsilon) i za neke m>=m_0. Sada prema arhimedovom aksiomu postoji m_0 takav da je A<epsilon, za svaki epsilon, pa je prema teoremu o sendvicu limesA=0=infA


vidio sam da se koristi finta da se kad je n=1 postize infinum, a kada je m=1 supremum,jel to dopusteno?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Tomislav
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 04. 10. 2010. (20:18:25)
Postovi: (181)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
23 = 116 - 93

PostPostano: 19:23 sub, 8. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Svako uvrstavanje n=a, m=b, ili n->inf i slicno je dopusteno, samo sto to funkcionira (npr u ovom primjeru) sto se postigla 0, no nije nuzno da ce uvrstavanje n=1 ili n=beskonacno dati inf i sup.. a i nakon toga se svakako mora pokazati da to zaista i je inf/sup. :)
Svako uvrstavanje n=a, m=b, ili n->inf i slicno je dopusteno, samo sto to funkcionira (npr u ovom primjeru) sto se postigla 0, no nije nuzno da ce uvrstavanje n=1 ili n=beskonacno dati inf i sup.. a i nakon toga se svakako mora pokazati da to zaista i je inf/sup. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
zbunjena
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 28. 06. 2010. (09:50:31)
Postovi: (14)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 13:32 ned, 9. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

molila bih pomoć ..... lako dođem do rješenja pa mi je čudno...

lim(n) (sin(n!*5^n) / n^5)

hvala...
molila bih pomoć ..... lako dođem do rješenja pa mi je čudno...

lim(n) (sin(n!*5^n) / n^5)

hvala...


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Phoenix
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -

PostPostano: 14:41 ned, 9. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Zadatak je jako kratak, a evo i hinta: teorem o sendviču. :)
Zadatak je jako kratak, a evo i hinta: teorem o sendviču. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Idite na Prethodno  1, 2, 3
Stranica 3 / 3.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan