Demonstrature 2011./2012.

[sz]

Četvrtkom 18-20 održavat ću demonstrature na forumu - odgovarat ću na vaša pitanja postavljena na forumu do četvrtka u 18 (tako da ne sjedim bezveze 2 sata za računalom ako pitanja nema). Kojiput ću baciti pogled na forum i tijekom tjedna, ali u četvrtak u 18 sam sigurno tu.

Molim vas da prije postavljanja pitanja provjerite nije li ono možda već prije odgovoreno negdje na forumu.

Ako ga budete trebali, moj mail je szunar na student.math.hr.

P.S.: Ovaj i sljedeći post odnosi se isključivo na demonstrature iz Diferencijalnog računa, tj. na zimski semestar 2011./2012..

[sz]

Ana Radošević držat će (klasične) demonstrature:

- ponedjeljkom 13-14 u 004;
- srijedom 18-19 u 105.

Obvezna najava mailom, najkasnije dan prije demonstratura!

vjeverica90 na gmail.com

[sz]

Vrijedi li za

Odgovor: da.

Prije samog dokaza, evo male sistematizacije topoloških stvarčica čije ću rezultate koristiti, a možda vam i inače pomogne:

Promatramo neki skup . Za svaku točku vrijedi točno jedno od sljedećeg:

(1) postoji otvorena kugla sa središtem u x koja je cijela sadržana u ;
(2) postoji otvorena kugla sa središtem u x koja je cijela sadržana u ;
(3) svaka otvorena kugla sa središtem u x sadrži bar jednu točku iz i bar jednu točku iz .

je sad (disjunktna!) unija (1) i (3), tj. skup svih točaka iz t. d. u svakoj kugli oko njih postoji bar jedna točka skupa .

Dakle, skupovi (1), (2) i (3) u disjunktnoj uniji daju cijeli , i ako ih u danoj situaciji odredite, što nije teško kad se malo naviknete na zamišljanje malih kugli, većina muka - nestaje.

Čak se i gomilišta mogu donekle dovesti u vezu s ovim gore: očito su sve točke skupa (1) gomilišta od , sve točke skupa (2) gomilišta od , a samo skup (3) je nepredvidiv - njegove točke mogu biti i gomilišta od i gomilišta od i oboje (ali moraju biti gomilište bar jednog od njih).

A evo sad i dokaza (od ovoga gore koristimo samo tvrdnju: je skup svih točaka iz t. d. u svakoj kugli oko njih postoji bar jedna točka iz skupa ; kugle gledamo u max-normi (dokaz je tako najjednostavniji)):

Označimo za , gdje označava "podvektor" sastavljen od prvih k, a od sljedećih l koordinata vektora x. Sad vrijedi:





(y je ona točka koja postoji u kugli )



(ovdje smo samo koristili da je te da je maksimum manji od za sve -eve akko to vrijedi i za prvih k i za sljedećih l -eva)





Postoje i drugi načini da se ovo dokaže. Npr., kad se malo ufurate u nizove i limese, moći ćete ovo dokazati pomoću njih. Hint: je skup svih mogućih limesa nizova u koji konvergiraju u .

[sz]

Sljedeći tjedan Ana će na demonstraturama rješavati 1. kolokvij od prošle godine (ako stigne, i od pretprošle) pa... navratite ako vas zanima.

[Gost]

jel se to sljedeci tjedan odnosi na ponedjeljak ili srijedu?

[sz]

I na ponedjeljak (24. 10.) i na srijedu (26. 10.) (budući da jedan termin bolje odgovara jednoj, a drugi drugoj grupi, pa da nitko ne bude zakinut).

[googol]

Sutra ima demonstratura? Zasto nisu u jednom terminu, ovako je poprilicno
nezgodno.

[sz]

Demonstrature su svaki tjedan u redovitim terminima, ali samo ako se netko najavi Ani mailom (inače se najvjerojatnije neće pojaviti). Da se sad ne zamaraš, ja ću joj reći da sutra svakako bude tamo.

Istina, malo je nezgodno što demonstrature nisu u jednom terminu, ali prilikom određivanja u rasporedu jednostavno nije postojao jedinstveni termin koji bi odgovarao objema grupama i Aninu rasporedu , pa ćete se morati snaći ovako...

[sz]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10/kolokvij2.pdf

3. (b) (na demonstraturama je dana malo kriva uputa pa evo ispravka:)

Očito, trebamo maksimizirati fju [tex]V(x,y,z)=xyz[/tex] na skupu [tex]xy+xz+yz=27[/tex] (naravno, zanimaju nas samo točke sa x, y, z >0).

E sad, ima više načina kako krenuti:

1. klasični uvjetni ekstremi:
[dtex](yz,xz,xy)=\lambda (y+z,x+z,x+y)[/dtex]
[dtex]\frac{y+z}{yz}=\frac{x+z}{xz}=\frac{x+y}{xy}(=\frac{1}{\lambda})[/dtex]
[dtex]\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}[/dtex]
odakle se lako vidi da mora biti x=y=z=3.

Dakle, jedini kandidat za globalni maksimum nam je (3, 3, 3) (za x, y, z > 0).

2. Nećemo uvjetne ekstreme: maksimiziramo fju
[dtex]V(x,y)=xy\frac{27-xy}{x+y}[/dtex]
Tražimo stacionarne točke, opet nas zanima samo (3, 3, 3), pomoću Hessea sad možemo i provjeriti da se radi o lokalnom maksimumu.

Ali u oba načina još nismo pokazali da se radi o globalnom maksimumu, to se može npr. uz malo petljanja sa sredinama:

pretp. da je za neku (y, z) [tex]V(y, z) > 27 = V(3, 3)[/tex].
[dtex]\frac{27-yz}{y+z}yz>27[/dtex]
[dtex]27yz>y^2z^2+27y+27z\stackrel{A-G}{\geq}3\sqrt[3]{(y^2z^2)(27y)(27z)}=27yz[/dtex]
Kontradikcija!

Dakle, stvarno se radi o globalnom maksimumu.

3. Može vam pasti na pamet da malo promijenite slova i drastično pojednostavite zadatak:

uočimo da je za x, y, z > 0 točka (x, y, z) jedinstveno određena ako znamo (xy, xz, yz). Pa uvedimo nova slova:
[dtex]a:=xy, b:= xz, c:= yz[/dtex]
Uz uvjet a+b+c=27 pokušavamo maksimizirati fju
[dtex]V(a,b,c)=\sqrt{abc}[/dtex]
Maknimo prvo korijen i maksimizirajmo radije
[dtex]f(a,b,c)=abc[/dtex]
Sad možemo dalje kao i na prva dva načina, a možemo i samo iskoristiti sredine:
[dtex]abc\stackrel{G-A}{\leq}(\frac{a+b+c}{3})^3=(\frac{27}{3})^3=3^6[/dtex]
a jednakost vrijedi akko a = b = c (= 9), tj. x = y = z = 3.
I zadatak riješen!

[kobila krsto]

jel postoji kakva mogućnost da se stave skenirani ti riješeni zadaci s demonstratura ?

[sz]

Ne postoji, barem ne od strane demosa. Jedini na papiru riješeni zadaci s demonstratura na brzinu su riješeni zadaci s prošlogodišnjeg kolokvija (valjda na njih misliš). Original više nije kod Ane. Studenti koji su taj put bili na demonstraturama kopirali su ta rješenja, pa jedino ako se među njima nađe koja dobra duša...

[Tomy007]

Trebao bi pomoć sa dokazom teorema 12.1 (http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o12.pdf).
Koji je cijeli postupak da se iz 12.7 dobije 12.6 (uz M=1+L i korištenjem ograničenosti linearnog operatora) i koji je postupak da se dokaže neprekidnost iz 12.6 (deltaneprekidnosti je min{delta, epsilon/M}?

[fejky]

[tex]||x-c||+||D_f(c)(x-c)|| \leq ||x-c|| + L||(x-c)|| = ||x-c|| (1+L) =||x-c||M, M = (1+L)[/tex]

Drugi dio: Neka je , definiramo . Sada imamo:


Mislim barem