DZ

[4017]

Može li pomoć oko 4. zadatka: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/DZ/la2-1112-dz1.pdf ?
Unaprijed hvala!

[kikzmyster]

prvo, provjeravamo da je [tex]M \leq A[/tex].
[tex] x, y \in M
\Rightarrow A(\alpha x + \beta y) = \alpha Ax + \beta Ay = \alpha x + \beta y \Rightarrow \alpha x + \beta y \in M [/tex].

Za drugi dio zadatka, [tex] V \neq \{0\},\ A \neq 0 \Rightarrow \exists x_0 \ t.d. \ Ax_0 = y_0 \neq 0 [/tex]. Iskoristimo da je [tex] A^2 = A [/tex] i vidimo [tex] Ax_0 = A(Ax_0) \Rightarrow A(Ax_0) = y_0 [/tex] dakle [tex] Ay_0 = y_0 [/tex], pa kako [tex]y_0 \neq 0 [/tex], slijedi [tex]dimM \geq 1 [/tex] (jer [tex] y_0 \in M [/tex] ali i [tex]\lambda y_0, \forall \lambda \in \mathbb{R} [/tex])

[PermutiranoPrase]

Može i s 3.pomoć, i sa zadnjim pod c?
5. c) Neka je [tex]V \neq {0}[/tex]. Pokazite da je za egzistenciju operatora C ∈ L(V ) takvog da je Ker C = Im C = M nuzno i dovoljno da je dimM = [tex]1\over 2[/tex]dimV .

3. Neka je f proizvoljan linearan funkcional na prostoru [tex]\mathbb{C}^n[/tex] . Dokazite da postoje brojevi [tex]\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_n \in \mathbb{C}[/tex] takvi da za svaki vektor [tex]x =
(x_1, x_2,...x_n) \in \mathbb{C}^n[/tex]
vrijedi [tex]f(x) =\sum_{i=1}^n \alpha_ix_i[/tex].

Ovi teorijski su mi užas.

_________________
With great power comes great electricity bill.
n!!!!
Theorem 2: Alexander the Great did not exist and he had an infinite number of limbs.

[vsego]

5. c) Nuznost pokazes preko teorema o rangu i defektu, a obrat... sorry, ja sam matricar, pa mi je lakse u tim terminima. Treba ti da je [tex]C^2 = 0[/tex] i [tex]{\rm rang\ } C = \frac{1}{2} \dim V[/tex]. Uzmi neku bazu prostora [tex]V[/tex] i operator koji u toj bazi ima prikaz [tex]C = J \oplus J \oplus \dots \oplus J[/tex], tj.
[dtex]C = \begin{bmatrix} J \\ & J \\ & & \ddots \\ & & & J\end{bmatrix},[/dtex]
gdje je [tex]J = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}[/tex] Jordanov blok reda 2 sa svojstvenom vrijednoscu 0.

3. Primijeni to sto znas za sve x-eve na vektore baze i iskoristi linearnost operatora.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[kikota]

Kad trebamo predat zadaću??

_________________
i najduži put počinje prvim korakom... i tako sam ja upisala pmf...

[boksi]

grupa profesora Bakića u utorak, tj. sutra.
druga grupa, čini mi se da sam čula idući tjedan.

[jema]

zadaca se predaje sutra na predavanju

moze pitanje oko ovog 4.zad??--je li A projektor? jer znamo da je A lin. i da vrijedi Â^2=A i A:V->V.... iz toga bi slijedilo da je M=ImA....i sad uzmimo x iz V(sigurno ga ima jer je V != 0). i sad ako je Ax=x => x je u ImA i sigurno je dimM>=1....ako pak nije iz slike, onda je x iz jezgre => Ax=0, ali A!=0 pa mora biti x=0 => kerA={0} => d(A)=0 => r(A)>=1 zbog V!={0}. znaci dimM>=1....
jel moze to tako ic??

[anamarie]

[Shaman]

[jema]

dada, znam to hvala ti ) sad je sve u redu )

[gflegar]

[kikota]

hvalaaa

_________________
i najduži put počinje prvim korakom... i tako sam ja upisala pmf...

[Gost]

je li netko rjesavao aktualnu zadacu?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/DZ/la2-1112-dz2.pdf

3.zadatak: jel vam ispala jezgra trivijalna?
4.zadatak: da li je za dokazat da je A regularan operator dovoljno pokazat da je matrica operatora A u kanonskoj bazi regularna matrica?

hvala unaprijed!

[Zenon]

Da, jezgra je trivijalna jer je operator regularan

Da, dovoljno je. Detaljnije je objašnjeno u knjizi. Znači možeš pokazati da ima puni rang ili da ima determinantu različitu od nule, što lako napraviš Laplaceovim razvojem po zadnjem stupcu ili prvom retku.

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[pedro]

može samo netko 2 rješit u ovoj bazi
nekaj sam se zbunila i nemrem nikak dobit

[Zenon]

[tex]A(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_2,x_2-x_3,x_3)[/tex]
[tex]A(1,0,0)=(1,0,0)[/tex]
[tex]A(0,1,0)=(2,1,0)[/tex]
[tex]A(0,0,1)=(0,-1,1)[/tex]

[tex][A]_e^e=\begin{bmatrix}
1 & 2 &0\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}[/tex]

Neka je ona tamo zadana nekanonska baza [tex]e'[/tex].
Tada je [tex]A(e')=I(e',e)A(e)I(e,e')=I(e,e')^{-1}A(e)I(e,e')[/tex], gdje je

[tex]I(e,e')=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}[/tex].

Invertirati i množiti ćeš ipak morati sama

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[simon11]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/DZ/la2-1112-dz2.pdf
ako se nekom da baciti oko da vidi valja li ovdje stogod

1. [tex] x=\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 \\
x_3 & x_4
\end {bmatrix} A\cdot X+X\cdot A=\begin{bmatrix} 2x_1+x_2+2x_3 & 2x_1+2x_2+2x_4 \\ x_1+2x_3+x_4 & x_2+2x_3+2x_4 \end{bmatrix}

A(e)=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 & 0\\2 & 2 & 0 & 2\\1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} [/tex]

2. samo rjesenje
[tex]
[A]_{e'}^e=\begin{bmatrix}

1 & \frac{1}{2} &-1\\

0 & 1 & 0\\

1 & \frac{3}{2} & 0

\end{bmatrix} [/tex]

4.[tex] ([A]_{e}^e)^{-1}=\begin{bmatrix}

1 & -1 &-8\\

0 & 1 & 7\\

0 & 0 & -1

\end{bmatrix} [/tex]

5.[tex]\left|\begin{array}{ccc} -1-\lambda & 2 & 2\\2 & 2-\lambda & 2\\-3 & -6 & -6-\lambda\end{array}\right| \Rightarrow \lambda (\lambda+2)(\lambda+3)=0 \Rightarrow \sigma(A)=\{0,-2,-3\} [/tex]
[tex]
V_A(0)=\{s\cdot \left(\begin{bmatrix} 0\\-1\\1 \end{bmatrix}\right);s \in R\} [/tex]

[tex]
V_A(-2)=\{t\cdot \left(\begin{bmatrix} -2\\1\\0 \end{bmatrix}\right);t \in R\} [/tex]

[tex]
V_A(-3)=\{p\cdot \left(\begin{bmatrix} -1\\0\\1 \end{bmatrix}\right);p \in R\} [/tex]

_________________

getting recognized

[Zenon]

Prvi i drugi valjaju, četvrti još provjeri, a peti nisi ni raspisao

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[simon11]

[Zenon]