| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Shaman
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 24. 09. 2011. (22:21:43)
Postovi: (76)16
Spol: 
|
 Postano: 18:13 sub, 31. 3. 2012 Naslov: |
    |
|
|
[quote="marsupial"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol1.pdf
Zadatak.1., pod b), druga grupa, help![/quote]
provjeris da li je f-ja f derivabilna u tockama (pi/2,-pi/2)+2k(pi), ocito je derivabilna u ostalim.
deriviras funkciju i vidis da je ch(x)+cos(x)>0 sto znaci da je f-ja f strogo rastuca na R, a time je i injekcija.
pogledas limese f-je kada x tezi + i - beskonacno. kada tezi u + beskonacno limes je +beskonacno, a kada x tezi u-beskonacno limes je -beskonacno sto znaci da je f-ja surjekcija.
dakle f-ja je bijekcija.
f^(-1) je derivabilna na cijelom R-u jer je f-ja f derivabilna na citavom R-u i derivacija je razlicita od 0 za svaki x iz R.
[size=9][color=#999999]Added after 2 minutes:[/color][/size]
sry shvatio sam da sam rijesio iz krive grupe
| marsupial (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol1.pdf
Zadatak.1., pod b), druga grupa, help! |
provjeris da li je f-ja f derivabilna u tockama (pi/2,-pi/2)+2k(pi), ocito je derivabilna u ostalim.
deriviras funkciju i vidis da je ch(x)+cos(x)>0 sto znaci da je f-ja f strogo rastuca na R, a time je i injekcija.
pogledas limese f-je kada x tezi + i - beskonacno. kada tezi u + beskonacno limes je +beskonacno, a kada x tezi u-beskonacno limes je -beskonacno sto znaci da je f-ja surjekcija.
dakle f-ja je bijekcija.
f^(-1) je derivabilna na cijelom R-u jer je f-ja f derivabilna na citavom R-u i derivacija je razlicita od 0 za svaki x iz R.
Added after 2 minutes:
sry shvatio sam da sam rijesio iz krive grupe
_________________
it was merely a setback
|
|
| [Vrh] |
|
marsupial
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 01. 2012. (22:46:33)
Postovi: (63)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
quark
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 10. 2011. (16:47:39)
Postovi: (DA)16
Spol:
|
| Postano: 20:08 ned, 1. 4. 2012 Naslov: |
|
|
|
Dakle, zadatak 1.75 [url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_5.pdf[/url]
Imamo:
[dtex]\lim_{x \to 0 } \frac{x^2\sin(x^{-1})}{\sin(x)} \Leftrightarrow \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}}{\frac{\sin(x)}{x}} = \frac{0}{0}
[/dtex]
Dakle, možemo iskoristiti L'H. Samo, nikako ga ne mogu izračunati; smeta mi [tex]\cos(\frac{1}{x})[/tex].
Ako iskoristim L'H, ispadne mi ovo:
[tex]\lim_{x \to 0 } \frac{2x\sin(x^{-1}) +\cos(x^{-1})}{\cos(x)}
[/tex]
Pokušao sam podijeliti na dva razlomka, kod sinusa iskoristim isti trik, ali
[tex]\lim_{x \to 0 } \frac{\cos(x^{-1})}{\cos(x)}[/tex] ne postoji.
Hvala :)
Dakle, zadatak 1.75 http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_5.pdf
Imamo:
[dtex]\lim_{x \to 0 } \frac{x^2\sin(x^{-1})}{\sin(x)} \Leftrightarrow \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}}{\frac{\sin(x)}{x}} = \frac{0}{0}
[/dtex]
Dakle, možemo iskoristiti L'H. Samo, nikako ga ne mogu izračunati; smeta mi [tex]\cos(\frac{1}{x})[/tex].
Ako iskoristim L'H, ispadne mi ovo:
[tex]\lim_{x \to 0 } \frac{2x\sin(x^{-1}) +\cos(x^{-1})}{\cos(x)}
[/tex]
Pokušao sam podijeliti na dva razlomka, kod sinusa iskoristim isti trik, ali
[tex]\lim_{x \to 0 } \frac{\cos(x^{-1})}{\cos(x)}[/tex] ne postoji.
Hvala 
|
|
| [Vrh] |
|
Shaman
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 24. 09. 2011. (22:21:43)
Postovi: (76)16
Spol:
|
| Postano: 20:31 ned, 1. 4. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="quark"]Dakle, zadatak 1.75 [url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_5.pdf[/url]
Imamo:
[dtex]\lim_{x \to 0 } \frac{x^2\sin(x^{-1})}{\sin(x)} \Leftrightarrow \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}}{\frac{\sin(x)}{x}} = \frac{0}{0}
[/dtex]
Dakle, možemo iskoristiti L'H. Samo, nikako ga ne mogu izračunati; smeta mi [tex]\cos(\frac{1}{x})[/tex].
Ako iskoristim L'H, ispadne mi ovo:
[tex]\lim_{x \to 0 } \frac{2x\sin(x^{-1}) +\cos(x^{-1})}{\cos(x)}
[/tex]
Pokušao sam podijeliti na dva razlomka, kod sinusa iskoristim isti trik, ali
[tex]\lim_{x \to 0 } \frac{\cos(x^{-1})}{\cos(x)}[/tex] ne postoji.
Hvala :)[/quote]
limes kada x->0 od sin(x)/x=1 pa ti nije 0/0 nego 0/1=0, dakle limes danog izraza postoji. Kako imas x^2 * nesto sto nije beskonacno kroz sinx, a x tezi u 0 imas izraz tipa (0/0) pa smijes probati primjeniti L'H, ali nakon toga dobijes izraz takav da ne postoji limes kada x->0 pa zakljucis da ipak ne smijes koristiti L'H.
| quark (napisa): | Dakle, zadatak 1.75 http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_5.pdf
Imamo:
[dtex]\lim_{x \to 0 } \frac{x^2\sin(x^{-1})}{\sin(x)} \Leftrightarrow \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}}{\frac{\sin(x)}{x}} = \frac{0}{0}
[/dtex]
Dakle, možemo iskoristiti L'H. Samo, nikako ga ne mogu izračunati; smeta mi [tex]\cos(\frac{1}{x})[/tex].
Ako iskoristim L'H, ispadne mi ovo:
[tex]\lim_{x \to 0 } \frac{2x\sin(x^{-1}) +\cos(x^{-1})}{\cos(x)}
[/tex]
Pokušao sam podijeliti na dva razlomka, kod sinusa iskoristim isti trik, ali
[tex]\lim_{x \to 0 } \frac{\cos(x^{-1})}{\cos(x)}[/tex] ne postoji.
Hvala |
limes kada x→0 od sin(x)/x=1 pa ti nije 0/0 nego 0/1=0, dakle limes danog izraza postoji. Kako imas x^2 * nesto sto nije beskonacno kroz sinx, a x tezi u 0 imas izraz tipa (0/0) pa smijes probati primjeniti L'H, ali nakon toga dobijes izraz takav da ne postoji limes kada x→0 pa zakljucis da ipak ne smijes koristiti L'H.
_________________
it was merely a setback
|
|
| [Vrh] |
|
Zenon
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
| Postano: 20:40 ned, 1. 4. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="quark"][dtex]\lim_{x \to 0 } \frac{x^2\sin(x^{-1})}{\sin(x)} \Leftrightarrow \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}}{\frac{\sin(x)}{x}} = \frac{0}{0}
[/dtex]
[/quote]
Ovo ti nije točno:
[dtex]\lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}}{\frac{\sin(x)}{x}} = \frac{\text{nešto}}{1}[/dtex] u nekom slučaju, s tim da ni to ne valja jer limes kad x ide u 0 od [tex]x^{-1}=\frac 1x[/tex] ne postoji.
Sad, kako to riješiti, iskreno, ne da mi se :P
Možeš se riješiti tog sinusa iz brojnika po teoremu o sendviču, onda i brojnik i nazivnik idu u nulu, pa možeš L'Hopitala, ali onda moraš računati za svaku stranu posebno i ako ne dobiješ isti broj i s lijeve i s desne strane onda opet ne možeš reći da traženi limes ne postoji. Tako da ne znam, snađi se. Možda ti bude lakše sada kada znaš da si već u startu pogriješio.
EDIT: Riješi kako ti je Shaman rekao, s tim da i on krivo tvrdi da [tex]\displaystyle \frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}[/tex] ide u nulu direkno, ali ne ide, to isto moraš pokazati. E to je sad već lagano preko teorema o sendviču.
| quark (napisa): | [dtex]\lim_{x \to 0 } \frac{x^2\sin(x^{-1})}{\sin(x)} \Leftrightarrow \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}}{\frac{\sin(x)}{x}} = \frac{0}{0}
[/dtex]
|
Ovo ti nije točno:
[dtex]\lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}}{\frac{\sin(x)}{x}} = \frac{\text{nešto}}{1}[/dtex] u nekom slučaju, s tim da ni to ne valja jer limes kad x ide u 0 od [tex]x^{-1}=\frac 1x[/tex] ne postoji.
Sad, kako to riješiti, iskreno, ne da mi se 
Možeš se riješiti tog sinusa iz brojnika po teoremu o sendviču, onda i brojnik i nazivnik idu u nulu, pa možeš L'Hopitala, ali onda moraš računati za svaku stranu posebno i ako ne dobiješ isti broj i s lijeve i s desne strane onda opet ne možeš reći da traženi limes ne postoji. Tako da ne znam, snađi se. Možda ti bude lakše sada kada znaš da si već u startu pogriješio.
EDIT: Riješi kako ti je Shaman rekao, s tim da i on krivo tvrdi da [tex]\displaystyle \frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}[/tex] ide u nulu direkno, ali ne ide, to isto moraš pokazati. E to je sad već lagano preko teorema o sendviču.
Zadnja promjena: Zenon; 20:43 ned, 1. 4. 2012; ukupno mijenjano 3 put/a.
|
|
| [Vrh] |
|
quark
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 10. 2011. (16:47:39)
Postovi: (DA)16
Spol:
|
| Postano: 20:40 ned, 1. 4. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="Shaman"]
limes kada x->0 od sin(x)/x=1 pa ti nije 0/0 nego 0/1=0, dakle limes danog izraza postoji. Kako imas x^2 * nesto sto nije beskonacno kroz sinx, a x tezi u 0 imas izraz tipa (0/0) pa smijes probati primjeniti L'H, ali nakon toga dobijes izraz takav da ne postoji limes kada x->0 pa zakljucis da ipak ne smijes koristiti L'H.[/quote]
:facepalm:
Da da, sve pet, hvala :D
@zenon: hvala također, riješih sada :D
| Shaman (napisa): |
limes kada x→0 od sin(x)/x=1 pa ti nije 0/0 nego 0/1=0, dakle limes danog izraza postoji. Kako imas x^2 * nesto sto nije beskonacno kroz sinx, a x tezi u 0 imas izraz tipa (0/0) pa smijes probati primjeniti L'H, ali nakon toga dobijes izraz takav da ne postoji limes kada x→0 pa zakljucis da ipak ne smijes koristiti L'H. |
Da da, sve pet, hvala 
@zenon: hvala također, riješih sada
|
|
| [Vrh] |
|
Shaman
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 24. 09. 2011. (22:21:43)
Postovi: (76)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
rom
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2010. (11:10:35)
Postovi: (2D)16
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
rom
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2010. (11:10:35)
Postovi: (2D)16
|
|
| [Vrh] |
|
Zenon
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol:
|
| Postano: 18:25 čet, 5. 4. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="rom"]ja sam nasao u vjezbama samo f-ju [tex]g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/tex] pa ne mogu provjeriti jesam dobio dobru rekurziju, tj. rjesenje..ugl. ja sam dobio [tex]g^{(n-2)}(0)=(n-3)g^{(n-4)}(0)[/tex] jel to ok?[/quote]
To nazalost nije dobro.
Oznacimo [tex]y=g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]. Deriviranjem i mnozenjem slijedi diferencijalna jednadzba:
[tex](1-x^2)y' = xy[/tex].
Deriviranjem n puta i koristenjem Leibnizove formule dobijemo rekurziju:
[tex]g^{(n+1)}(0) = n^2 g^{(n-1)}(0)[/tex],
cije rjesavanje daje
[tex]g^{(2k)}(0) = \Big((2k-1)!!\Big)^2[/tex]
[tex]g^{(2k+1)}(0) = 0[/tex]
[quote="Zenon"][quote="vjekovac"]Dakle, zapravo samo trebamo naci [tex]g^{(n-2)}(0)[/tex] za jednostavniju funkciju [tex]g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex].
Tu posljednju funkciju smo vec imali na vjezbama. Standardno se izvede diferencijalna jednadzba, primjeni Leibnizova formula, izvede rekurzija i rijesi.[/quote]
Može li se to riješiti i ovako ( [tex]\displaystyle g(x)=(1-x^2)^{-\frac 12}[/tex] ):
[dtex]g^{(n)}(x)=\left(-\frac 12\right)\left(-\frac 32\right)\cdots \left(-\frac{2n-1}{2}\right)(-2)^n(1-x^2)^{-\frac 12 -n}=\cdots =\frac{(2n-1)!}{\sqrt{(1-x^2)^{2n+1}}},[/dtex]
pa bi onda bilo [tex]\displaystyle g^{(n-2)}(0)=\frac{(2(n-2)-1)!}{\sqrt{(1-0^2)^{2(n-2)+1}}}=(2n-5)![/tex].[/quote]
Nazalost taj postupak je pogresan. Ne postoji jednostavno pravilo za n-tu derivaciju kompozicije. Drugim rijecima, ne mozemo najprije n puta derivirati [tex]\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex] pa onda dokomponirati s [tex]1-x^2[/tex]. Lancano pravilo vrijedi samo za prvu derivaciju kompozicije a ne za n-tu. To je razlog sto nam je tablica n-tih derivacija malena, tj jako malo funkcija znamo eksplicitno n puta derivirati.
Cisto da se uvjerite da gornji postupak nije dobar, primijetite da ste na ovom primjeru dobili pogresno rjesenje. Ako hocete radikalniji primjer, komponirajte [tex]g\circ f[/tex], pri cemu je f proizvoljna, a g(x)=x. Ispalo bi da je derivacija reda [tex]n\geq 2[/tex] svake funkcije jednaka konstanti 0.
[quote="Zenon"]Može pomoć i oko ovoga:
[tex]f(x)=x\cdot e^{\arctan x}[/tex]
[dtex]f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^{(k)}(e^{\arctan x})^{(n-k)}=x(e^{\arctan x})^{(n)}+n(e^{\arctan x})^{(n-1)}[/dtex]
[tex]y(x):=e^{\arctan x}[/tex]
[tex]\displaystyle y'(x)=e^{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^2}=y(x)\cdot\frac{1}{1+x^2} \Longrightarrow (1+x^2)y'(x)-y(x)=0[/tex]
Sada to deriviram [tex]n-1[/tex] puta i na kraju dobijem:
[dtex]y^{n}(0)=y^{n-1}(0)-(n-1)(n-2)y^{n-2}(0).[/dtex]
Što sad? :P[/quote]
I sad vise nista. :) Sada bi trebalo rijesiti ovu rekurziju sto nije bas lako, ako se uopce i moze eksplicitno. Pretpostavljam da se taj zadatak greskom nasao medju zadacima za vjezbu jer netko nije provjerio da se dobije rekurzija koja se ne moze rijesiti kao ostale.
| rom (napisa): | | ja sam nasao u vjezbama samo f-ju [tex]g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/tex] pa ne mogu provjeriti jesam dobio dobru rekurziju, tj. rjesenje..ugl. ja sam dobio [tex]g^{(n-2)}(0)=(n-3)g^{(n-4)}(0)[/tex] jel to ok? |
To nazalost nije dobro.
Oznacimo [tex]y=g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]. Deriviranjem i mnozenjem slijedi diferencijalna jednadzba:
[tex](1-x^2)y' = xy[/tex].
Deriviranjem n puta i koristenjem Leibnizove formule dobijemo rekurziju:
[tex]g^{(n+1)}(0) = n^2 g^{(n-1)}(0)[/tex],
cije rjesavanje daje
[tex]g^{(2k)}(0) = \Big((2k-1)!!\Big)^2[/tex]
[tex]g^{(2k+1)}(0) = 0[/tex]
| Zenon (napisa): | | vjekovac (napisa): | Dakle, zapravo samo trebamo naci [tex]g^{(n-2)}(0)[/tex] za jednostavniju funkciju [tex]g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex].
Tu posljednju funkciju smo vec imali na vjezbama. Standardno se izvede diferencijalna jednadzba, primjeni Leibnizova formula, izvede rekurzija i rijesi. |
Može li se to riješiti i ovako ( [tex]\displaystyle g(x)=(1-x^2)^{-\frac 12}[/tex] ):
[dtex]g^{(n)}(x)=\left(-\frac 12\right)\left(-\frac 32\right)\cdots \left(-\frac{2n-1}{2}\right)(-2)^n(1-x^2)^{-\frac 12 -n}=\cdots =\frac{(2n-1)!}{\sqrt{(1-x^2)^{2n+1}}},[/dtex]
pa bi onda bilo [tex]\displaystyle g^{(n-2)}(0)=\frac{(2(n-2)-1)!}{\sqrt{(1-0^2)^{2(n-2)+1}}}=(2n-5)![/tex]. |
Nazalost taj postupak je pogresan. Ne postoji jednostavno pravilo za n-tu derivaciju kompozicije. Drugim rijecima, ne mozemo najprije n puta derivirati [tex]\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex] pa onda dokomponirati s [tex]1-x^2[/tex]. Lancano pravilo vrijedi samo za prvu derivaciju kompozicije a ne za n-tu. To je razlog sto nam je tablica n-tih derivacija malena, tj jako malo funkcija znamo eksplicitno n puta derivirati.
Cisto da se uvjerite da gornji postupak nije dobar, primijetite da ste na ovom primjeru dobili pogresno rjesenje. Ako hocete radikalniji primjer, komponirajte [tex]g\circ f[/tex], pri cemu je f proizvoljna, a g(x)=x. Ispalo bi da je derivacija reda [tex]n\geq 2[/tex] svake funkcije jednaka konstanti 0.
| Zenon (napisa): | Može pomoć i oko ovoga:
[tex]f(x)=x\cdot e^{\arctan x}[/tex]
[dtex]f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^{(k)}(e^{\arctan x})^{(n-k)}=x(e^{\arctan x})^{(n)}+n(e^{\arctan x})^{(n-1)}[/dtex]
[tex]y(x):=e^{\arctan x}[/tex]
[tex]\displaystyle y'(x)=e^{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^2}=y(x)\cdot\frac{1}{1+x^2} \Longrightarrow (1+x^2)y'(x)-y(x)=0[/tex]
Sada to deriviram [tex]n-1[/tex] puta i na kraju dobijem:
[dtex]y^{n}(0)=y^{n-1}(0)-(n-1)(n-2)y^{n-2}(0).[/dtex]
Što sad? |
I sad vise nista. Sada bi trebalo rijesiti ovu rekurziju sto nije bas lako, ako se uopce i moze eksplicitno. Pretpostavljam da se taj zadatak greskom nasao medju zadacima za vjezbu jer netko nije provjerio da se dobije rekurzija koja se ne moze rijesiti kao ostale.
|
|
| [Vrh] |
|
Zenon
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
| [Vrh] |
|
rom
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2010. (11:10:35)
Postovi: (2D)16
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
|
| [Vrh] |
|
rom
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2010. (11:10:35)
Postovi: (2D)16
|
|
| [Vrh] |
|
Ryssa
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 12. 2011. (00:10:28)
Postovi: (57)16
|
|
| [Vrh] |
|
5_ra
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 12. 2011. (15:37:14)
Postovi: (28)16
|
|
| [Vrh] |
|
Alia3
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 01. 2011. (23:07:02)
Postovi: (22)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
Optimum
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 09. 2011. (09:16:23)
Postovi: (41)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
|
)
