DZ-EM2

[kiara]

Moze mi neko pomoci i dati neki pocetni hint za 2. i 3. zadatak? U prvoj zadaci koja je dosla. Hvala!

[student_92]

Evo ja ti mogu pomoći oko 2. zadatka. Ali meni bi dobro došla pomoć oko 4. i 5.

Vjerojatno postoji elegantnije rješenje, ali ni ovo nije krivo. Za početak vrlo precizno skiciraj da bi mogla pratiti oznake. Pogledaj trokute ABB1 i CBC1. Oni su slični pa su im odgovarajući kutovi jednaki, tj. BAB1 = C1CB, AB1B = CBC1 i B1BA = BC1C. Kako je četverokut ABCD paralelogram, to vrijedi za kutove DAB = BCD i ABC = CDA. Također slijedi |AB| = a = |CD|, |BC|= b = |AD|.

Sada se lako vidi da su trokuti DAB1 i C1CD sukladni po S-K-S teoremu o sukladnosti.
Tada je |C1D| = |DB1|.
Preostaje još dokazati da su kutovi C1DB1 i BAB1 jednaki. Tu opet ima raspisivanja, a do toga možeš doći ako kreneš od položaja kuta C1DB1 unutar paralelograma. Kada to dokažeš, onda ćeš dobiti da prema K-S-K teoremu o sličnosti slijedi tvrdnja.

[matkec]

Hint za 3. zadatak:
Spusti ortogonalne projekcije iz P na pravce OA i OB, pa gledaj pravokutne trokute koje dobiješ. Ne zaboravi da je .

Hint za 4. zadatak:
Samo raspiši sve jednake kutove koje imaš (imaš tri tetivna četverokuta). Bojice će pomoći. Dovoljno ti je za pokazati da je .

Hint za 5. zadatak:
Dokaži da je S upravo središte upisane kružnice tom novom četverokutu (tako što ćeš dokazati da leži na svim simetralama kutova). Ne zaboravi iskoristiti čari koje ti pružaju 5 tetivnih četverokuta na slici.

[kiara]

Hvala!
matkec, ako mozes samo raspisati cetvrti jer ne razumijem kakve veze imaju kutovi sa tim da su tocke kolinearne. Ja sam mislila da se to moze preko vektora. Hvala!

[matkec]

Nema problema.
Strategija ti je da kreneš od tog kuta, raspisuješ kojima je taj kut jednak i "približavaš" se točki N.

(Također, ako se na jednom dijelu zbuniš, i vidiš da ja spominjem nekih 180 stupnjeva koji će ti se činiti čudnima, to je zbog toga što vjerovatno imamo drugačije skice. Kod mene N leži na stranici CD, a točka M na produžetku pravca CB preko točke B.)

Dakle:
MSB
=MAB (zbog tetivnog MBSA, tetiva MB)
=MAS-BAS
=(180-MBS)-BAC (tetivni MBSA, zbroj nasuprotnih je 180)
=CBS-BAC
=CBD-BAC=
=CAD-BDC (tetivni ABCD, tetive CD i BC)

Nismo došli skroz do točke N, ali ako kreneš sad od kuta NSD sa sličan način kao ovdje, doći ćeš do iste zadnje linije.

Tako ćeš pokazati da je kut MSB = kut NSD. Razlog zašto ti se to "sviđa" je sljedeći:
Ti znaš da su točke B, S, D kolinearne. Zato ako vrijedi ova jednakost gore, tada će i točke M, S, N biti kolinearne. Formalno:
B, S, D kolinearne => kut BSD=180 => kut DSN + kut NSB = 180 => kut DSN + kut NSM - kut BSM = 180 => kut NSM = 180 => N, S, M kolinearne

[boksi]

ako nije problem, može li mi 5.zadatak ipak malo pobliže objasniti netko. ne uspijevam ni započeti pošteno unatoč hintu.
i, da, matkec, u hintu za treći zadatak, kut AOB = 90, ne 45

[gflegar]

U 5. zadatku radis nesto slicno onome u 4. zadatku. Imas puno tetivnih cetverokuta, a to znaci da ima i puno kuteva nad istim lukom
Npr. [tex]\angle DAC[/tex] je jednak kutu [tex]\angle DBC[/tex] jer su nad istim lukom [tex]CD[/tex].
I cini mi se da je matkec mislio na kut [tex]\angle OAB[/tex] u onom hintu

_________________
http://web.studenti.math.pmf.unizg.hr/~gflegar

[Zenon]

[gflegar]

Primjeti da je [tex]\vert OP \vert = \vert OA \vert = \vert OB \vert[/tex].
Neka je [tex]E[/tex] ortogonalna projekcija iz [tex]P[/tex] na [tex]OA[/tex] i [tex]F[/tex] ortogonalna projekcija na [tex]OB[/tex].
Gledaj trokute [tex]\bigtriangleup DFP[/tex], [tex]\bigtriangleup PEC[/tex] i [tex]\bigtriangleup FPO[/tex] (ili [tex]\bigtriangleup OPE[/tex]).

_________________
http://web.studenti.math.pmf.unizg.hr/~gflegar

[Zenon]

[5_ra]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/em/EM2/kolokviji/kol2009/0910em2kol1_2.pdf

jel netko rijesio 4. iz zadnje grupe?
kad se nacrta ispada da je jednako visini iz C, tj promjeru kruznice al to mi se cini prejednostavno????

stavila sam post u krivu temu

[aj_ca_volin_te]

ajmooo divljaci....tko je matkecu dao posudu

ps. ja sam ti samo dao zuti karton na kratke hintove, ali ovakvu podlost kolega nisam ocekiva

[Zenon]

[matkec]

@gflegar: Da, na to sam mislio, ispravljam.

@aj_ca_volin_te: Hvala lijepa što me branite, kolega...

@Zenon: Ako ti je tako draže i ako si uspio to dokazati (a mislim da nije teško), možeš i tako rješiti zadatak.