| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
inga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 06. 2008. (12:53:49)
Postovi: (27)16
|
|
| [Vrh] |
|
Borgcube
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2010. (21:14:10)
Postovi: (56)16
Lokacija: Tu i tamo.
|
 Postano: 15:04 pet, 22. 6. 2012 Naslov: Re: Gomilište niza |
    |
|
|
[quote="inga"]Odredite sva gomilišta niza
[tex] (1+(-1)^n, \frac{n+1}{n} , \cos n\frac{\pi}{4} ) [/tex]
Ako može neko riješiti s što više objašnjenja, jer nisam uopće shvatila.[/quote]
Neka je [tex] a_n = (1+(-1)^n, \frac{n+1}{n} , \cos n\frac{\pi}{4} ) [/tex]. Trebamo naći sva gomilišta tog niza. Da bi to našli, moramo naći gomilišta komponentnih nizova.
Neka su redom [tex] a1_n = 1+(-1)^n, a2_n = \frac{n+1}{n}, a3_n = \cos n \frac{\pi}{4}[/tex]. Ovo su naravno komponentni nizovi, da bi našli gomilište našeg niza moramo prvo naći gomilišta svih ovih komponentnih nizova.
Očito je da [tex]a1_n[/tex] poprima isključivo vrijednosti 1 i 2, točnije, za paran n poprima vrijednost 2, a za neparan 1.
Nadalje, [tex] \lim_n \frac{n+1}{n} = 1 [/tex], što se lako vidi (ako treba raspisati, reci, za ovaj zadatak treba poznavanje osnovnih limesa..)
Ostaje dakle samo [tex] a3_n [/tex]. Izraz [tex] n\frac{\pi}{4} [/tex] će se za prirodne n-ove poklopiti sa točno 8 kuteva (u smislu da će svi članovi niza odgovarati jednoj od sljedećih 8 točaka na brojevnoj kružnici) -
[tex]\{ 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4} \}[/tex].
Dakle, [tex]a3_n[/tex] će poprimati vrijednosti:
[tex]\{ 1, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{-1}{\sqrt{2}}, -1, \frac{-1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\} [/tex]
redom za odgovarajuće članove niza.
Preciznije, za parne n-ove [tex] n\frac{\pi}{4}[/tex] će odgovarati kutevima:
[tex]\{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}[/tex],
a [tex]a3_n \}[/tex]:
[tex]\{ 0, 1 \} [/tex],
a za neparne n-ove će [tex] n\frac{\pi}{4}[/tex] odgovarati kutevimai:
[tex]\{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \}[/tex]
dakle [tex]a3_n[/tex] će biti iz:
[tex]\{ \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}} \}[/tex]
Kad kombiniramo sve, kako znamo gomilišta za [tex]a1_n[/tex] i to za parne i neparne n-ove, a isto tako znamo gomilišta za [tex]a3_n[/tex] za parne i neparne, dok [tex]a2_n[/tex] ima pravi limes, jasno je da su gomilišta upravo:
[tex]\{ (2, 1, 0), (2,1,1), (1,1,\frac{1}{\sqrt{2}}), (1,1,\frac{-1}{\sqrt{2}})[/tex]
Malo sam zbrzao, pomoglo bi da kažeš koji ti je točno korak nejasan.
| inga (napisa): | Odredite sva gomilišta niza
[tex] (1+(-1)^n, \frac{n+1}{n} , \cos n\frac{\pi}{4} ) [/tex]
Ako može neko riješiti s što više objašnjenja, jer nisam uopće shvatila. |
Neka je [tex] a_n = (1+(-1)^n, \frac{n+1}{n} , \cos n\frac{\pi}{4} ) [/tex]. Trebamo naći sva gomilišta tog niza. Da bi to našli, moramo naći gomilišta komponentnih nizova.
Neka su redom [tex] a1_n = 1+(-1)^n, a2_n = \frac{n+1}{n}, a3_n = \cos n \frac{\pi}{4}[/tex]. Ovo su naravno komponentni nizovi, da bi našli gomilište našeg niza moramo prvo naći gomilišta svih ovih komponentnih nizova.
Očito je da [tex]a1_n[/tex] poprima isključivo vrijednosti 1 i 2, točnije, za paran n poprima vrijednost 2, a za neparan 1.
Nadalje, [tex] \lim_n \frac{n+1}{n} = 1 [/tex], što se lako vidi (ako treba raspisati, reci, za ovaj zadatak treba poznavanje osnovnih limesa..)
Ostaje dakle samo [tex] a3_n [/tex]. Izraz [tex] n\frac{\pi}{4} [/tex] će se za prirodne n-ove poklopiti sa točno 8 kuteva (u smislu da će svi članovi niza odgovarati jednoj od sljedećih 8 točaka na brojevnoj kružnici) -
[tex]\{ 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4} \}[/tex].
Dakle, [tex]a3_n[/tex] će poprimati vrijednosti:
[tex]\{ 1, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{-1}{\sqrt{2}}, -1, \frac{-1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\} [/tex]
redom za odgovarajuće članove niza.
Preciznije, za parne n-ove [tex] n\frac{\pi}{4}[/tex] će odgovarati kutevima:
[tex]\{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}[/tex],
a [tex]a3_n \}[/tex]:
[tex]\{ 0, 1 \} [/tex],
a za neparne n-ove će [tex] n\frac{\pi}{4}[/tex] odgovarati kutevimai:
[tex]\{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \}[/tex]
dakle [tex]a3_n[/tex] će biti iz:
[tex]\{ \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}} \}[/tex]
Kad kombiniramo sve, kako znamo gomilišta za [tex]a1_n[/tex] i to za parne i neparne n-ove, a isto tako znamo gomilišta za [tex]a3_n[/tex] za parne i neparne, dok [tex]a2_n[/tex] ima pravi limes, jasno je da su gomilišta upravo:
[tex]\{ (2, 1, 0), (2,1,1), (1,1,\frac{1}{\sqrt{2}}), (1,1,\frac{-1}{\sqrt{2}})[/tex]
Malo sam zbrzao, pomoglo bi da kažeš koji ti je točno korak nejasan.
_________________
Ceterum censeo Carthaginem esse delendam.
|
|
| [Vrh] |
|
inga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 06. 2008. (12:53:49)
Postovi: (27)16
|
| Postano: 17:19 pet, 22. 6. 2012 Naslov: Re: Gomilište niza |
|
|
|
[quote="Borgcube"][quote="inga"]Odredite sva gomilišta niza
[tex] (1+(-1)^n, \frac{n+1}{n} , \cos n\frac{\pi}{4} ) [/tex]
Ako može neko riješiti s što više objašnjenja, jer nisam uopće shvatila.[/quote]
Neka je [tex] a_n = (1+(-1)^n, \frac{n+1}{n} , \cos n\frac{\pi}{4} ) [/tex]. Trebamo naći sva gomilišta tog niza. Da bi to našli, moramo naći gomilišta komponentnih nizova.
Neka su redom [tex] a1_n = 1+(-1)^n, a2_n = \frac{n+1}{n}, a3_n = \cos n \frac{\pi}{4}[/tex]. Ovo su naravno komponentni nizovi, da bi našli gomilište našeg niza moramo prvo naći gomilišta svih ovih komponentnih nizova.
Očito je da [tex]a1_n[/tex] poprima isključivo vrijednosti 1 i 2, točnije, za paran n poprima vrijednost 2, a za neparan 1.
Nadalje, [tex] \lim_n \frac{n+1}{n} = 1 [/tex], što se lako vidi (ako treba raspisati, reci, za ovaj zadatak treba poznavanje osnovnih limesa..)
Ostaje dakle samo [tex] a3_n [/tex]. Izraz [tex] n\frac{\pi}{4} [/tex] će se za prirodne n-ove poklopiti sa točno 8 kuteva (u smislu da će svi članovi niza odgovarati jednoj od sljedećih 8 točaka na brojevnoj kružnici) -
[tex]\{ 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4} \}[/tex].
Dakle, [tex]a3_n[/tex] će poprimati vrijednosti:
[tex]\{ 1, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{-1}{\sqrt{2}}, -1, \frac{-1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\} [/tex]
redom za odgovarajuće članove niza.
Preciznije, za parne n-ove [tex] n\frac{\pi}{4}[/tex] će odgovarati kutevima:
[tex]\{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}[/tex],
a [tex]a3_n \}[/tex]:
[tex]\{ 0, 1 \} [/tex],
a za neparne n-ove će [tex] n\frac{\pi}{4}[/tex] odgovarati kutevimai:
[tex]\{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \}[/tex]
dakle [tex]a3_n[/tex] će biti iz:
[tex]\{ \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}} \}[/tex]
Kad kombiniramo sve, kako znamo gomilišta za [tex]a1_n[/tex] i to za parne i neparne n-ove, a isto tako znamo gomilišta za [tex]a3_n[/tex] za parne i neparne, dok [tex]a2_n[/tex] ima pravi limes, jasno je da su gomilišta upravo:
[tex]\{ (2, 1, 0), (2,1,1), (1,1,\frac{1}{\sqrt{2}}), (1,1,\frac{-1}{\sqrt{2}})[/tex]
Malo sam zbrzao, pomoglo bi da kažeš koji ti je točno korak nejasan.[/quote]
Sve jasno hvala puno :)
| Borgcube (napisa): | | inga (napisa): | Odredite sva gomilišta niza
[tex] (1+(-1)^n, \frac{n+1}{n} , \cos n\frac{\pi}{4} ) [/tex]
Ako može neko riješiti s što više objašnjenja, jer nisam uopće shvatila. |
Neka je [tex] a_n = (1+(-1)^n, \frac{n+1}{n} , \cos n\frac{\pi}{4} ) [/tex]. Trebamo naći sva gomilišta tog niza. Da bi to našli, moramo naći gomilišta komponentnih nizova.
Neka su redom [tex] a1_n = 1+(-1)^n, a2_n = \frac{n+1}{n}, a3_n = \cos n \frac{\pi}{4}[/tex]. Ovo su naravno komponentni nizovi, da bi našli gomilište našeg niza moramo prvo naći gomilišta svih ovih komponentnih nizova.
Očito je da [tex]a1_n[/tex] poprima isključivo vrijednosti 1 i 2, točnije, za paran n poprima vrijednost 2, a za neparan 1.
Nadalje, [tex] \lim_n \frac{n+1}{n} = 1 [/tex], što se lako vidi (ako treba raspisati, reci, za ovaj zadatak treba poznavanje osnovnih limesa..)
Ostaje dakle samo [tex] a3_n [/tex]. Izraz [tex] n\frac{\pi}{4} [/tex] će se za prirodne n-ove poklopiti sa točno 8 kuteva (u smislu da će svi članovi niza odgovarati jednoj od sljedećih 8 točaka na brojevnoj kružnici) -
[tex]\{ 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4} \}[/tex].
Dakle, [tex]a3_n[/tex] će poprimati vrijednosti:
[tex]\{ 1, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{-1}{\sqrt{2}}, -1, \frac{-1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\} [/tex]
redom za odgovarajuće članove niza.
Preciznije, za parne n-ove [tex] n\frac{\pi}{4}[/tex] će odgovarati kutevima:
[tex]\{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}[/tex],
a [tex]a3_n \}[/tex]:
[tex]\{ 0, 1 \} [/tex],
a za neparne n-ove će [tex] n\frac{\pi}{4}[/tex] odgovarati kutevimai:
[tex]\{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \}[/tex]
dakle [tex]a3_n[/tex] će biti iz:
[tex]\{ \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}} \}[/tex]
Kad kombiniramo sve, kako znamo gomilišta za [tex]a1_n[/tex] i to za parne i neparne n-ove, a isto tako znamo gomilišta za [tex]a3_n[/tex] za parne i neparne, dok [tex]a2_n[/tex] ima pravi limes, jasno je da su gomilišta upravo:
[tex]\{ (2, 1, 0), (2,1,1), (1,1,\frac{1}{\sqrt{2}}), (1,1,\frac{-1}{\sqrt{2}})[/tex]
Malo sam zbrzao, pomoglo bi da kažeš koji ti je točno korak nejasan. |
Sve jasno hvala puno 
|
|
| [Vrh] |
|
inga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 06. 2008. (12:53:49)
Postovi: (27)16
|
|
| [Vrh] |
|
Borgcube
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2010. (21:14:10)
Postovi: (56)16
Lokacija: Tu i tamo.
|
|
| [Vrh] |
|
inga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 06. 2008. (12:53:49)
Postovi: (27)16
|
|
| [Vrh] |
|
Borgcube
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2010. (21:14:10)
Postovi: (56)16
Lokacija: Tu i tamo.
|
| Postano: 14:11 sub, 23. 6. 2012 Naslov: Re: Gomilište niza |
|
|
|
U smislu da gomilišta nisu [tex]\{ (2, 1, 0), (2,1,1), (1,1,\frac{1}{\sqrt{2}}), (1,1,\frac{-1}{\sqrt{2}})[/tex]
nego
[tex]\{ (2, 1, 0), (2,1,1), (0,1,\frac{1}{\sqrt{2}}), (0,1,\frac{-1}{\sqrt{2}})[/tex]
U smislu da gomilišta nisu [tex]\{ (2, 1, 0), (2,1,1), (1,1,\frac{1}{\sqrt{2}}), (1,1,\frac{-1}{\sqrt{2}})[/tex]
nego
[tex]\{ (2, 1, 0), (2,1,1), (0,1,\frac{1}{\sqrt{2}}), (0,1,\frac{-1}{\sqrt{2}})[/tex]
_________________
Ceterum censeo Carthaginem esse delendam.
|
|
| [Vrh] |
|
matematika88888
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 09. 2012. (13:45:03)
Postovi: (10)16
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
| Postano: 8:08 čet, 20. 9. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="matematika88888"]A što je sa greškom u nizu a3n,treba li se i točka -1 uzeti za parne n-ove??[/quote]
Da, mislim da nedostaje to da za parne [tex]n[/tex] vrijedi [tex]a3_{n} \in \left\{ -1, 0, 1 \right\}[/tex], pa je još jedno rješenje [tex](2,1,-1)[/tex] (za podniz [tex]a_{8n+4}[/tex]).
| matematika88888 (napisa): | | A što je sa greškom u nizu a3n,treba li se i točka -1 uzeti za parne n-ove?? |
Da, mislim da nedostaje to da za parne [tex]n[/tex] vrijedi [tex]a3_{n} \in \left\{ -1, 0, 1 \right\}[/tex], pa je još jedno rješenje [tex](2,1,-1)[/tex] (za podniz [tex]a_{8n+4}[/tex]).
|
|
| [Vrh] |
|
matematika88888
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 09. 2012. (13:45:03)
Postovi: (10)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
