dokaz simetrične razlike (zadatak)

[malalodacha]

može netko napisati kako dokazati :

A n (B (simetrična razlika) C)=(A n B) (simetrična razlika) (A n C)

[Shaman]

[kikzmyster]

S jedne strane, [tex] A \cap (B \bigtriangleup C) = A \cap ((B \setminus C) \cup (C \setminus B)) = (A \cap (B \setminus C)) \cup (A \cap (C \setminus B)) = (A \cap B \cap C^c) \cup (A \cap C \cap B^c) = (A\cap B)\setminus C \ \cup \ (A\cap C)\setminus B [/tex].

S druge strane, [tex] (A \cap B) \bigtriangleup (A\cap C) = ((A \cap B)\setminus(A \cap C)) \cup ((A\cap C) \setminus (A \cap B)) [/tex].

Sad pokazimo jedan pomocni rezultat iz kojeg ce odmah slijediti jednakost gornjih izraza.

Ako je [tex]X \subseteq Y [/tex], onda je [tex]X \setminus (Y \cap Z ) = X \setminus Z[/tex]. Naime, [tex] a \in X \setminus (Y\cap Z) \Leftrightarrow a \in X \cap {(Y\cap Z)}^c \Leftrightarrow a \in X \cap (Y^c \cup Z^c) \Leftrightarrow a \in (X \cap Y^c) \cup (X\cap Z^c) \Leftrightarrow a \in X \cap Z^c = X \setminus Z [/tex]. Zadnja ekvivalencija vrijedi jer je [tex]X \cap Y^c = \emptyset [/tex].

Sad ovo primijenimo na [tex]((A \cap B)\setminus(A \cap C)) \cup ((A\cap C) \setminus (A \cap B)) [/tex] znajuci da je [tex] A\cap B \subseteq A [/tex] i [tex] A\cap C \subseteq A[/tex], i slijedi [tex]((A \cap B)\setminus(A \cap C)) \cup ((A\cap C) \setminus (A \cap B)) =(A\cap B)\setminus C \ \cup \ (A\cap C)\setminus B[/tex]

[malalodacha]

1.47 Set za čaj se sastoji od šest šalica i šest tanjurića u tri boje. Šalice su slučajno raspoređene na tanjuriće. Kolika je vjerojatnost da ni jedna šalica nije na tanjuriću iste boje?

1.48 Bacamo par simetričnih kocaka sve dok se ne pojavi zbroj jednak 5 ili 7. Izračunajte vjerojatnost da se zbroj 5 pojavi prije.

može pomoć oko ovih zadataka, u prvom me zanima k(omega), a u drugom šta kada imam vjerojatnosti od 5 i 7

[grizly]

Prvi gledaj ovako: zamisli da su tanjurići već postavljeni u nekom redosljedu (recimo da su plave, žute i crvene boje pa stoje na način PPŽŽCC) pa na njih nekako stavljaš šalice. Sada je broj svih mogućih postavljanja broj permutacija multiskupa {P^2, Ž^2, C^2} odnosno 6!/(2!*2!*2!)=90 (nadam se da znaš te formule iz diskretne).
E sad, možda ima neko pametnije rješenje za drugi, ali ja razmišljam ovako: da ti prvi put padne zbroj 5 vjerojatnost je 4/36. ako imaš n+1 bacanja onda vjerojatnost da ti se dogodi da u n+1-vom dobiješ zbroj 5 je (26/36)^n*(4/36) (26/36 je vjerojatnost da ne dobiješ zbroj ni 5 ni 7, pa tako n puta, a 4/36 je vjerojatnost da na kraju dobiješ 5). Kako ti je za svaki n ovaj događaj dobar i za različite n-ove su oni disjunktni, onda samo sumiraš po svim n-ovima od 0 do beskonačno (dobiješ najobičniji geometrijski red) pa ti na kraju ispadne 2/5. valjda sam dobro izračunala

_________________
Nit' sam normalna nit' se s takvima družim

[malalodacha]

baš i nismo multiskupove učili još iz diskretne, pa se nisam toga sjetio. hvala

[grizly]

aha, sorry, ne znam baš koliko se to rano/kasno radi... ali logika ti je ova: ostanimo na istom skupu plavih, žutih i crvenih. Da su svi različiti bilo bi 6! načina da ih permutiraš (valjda ste to radili). E sad, kako su dvije plave, ako njih zamijeniš opet si na istom, pa dijeliš s 2, odnosno 2! (da su 3 njih permutiraš na 3! načina pa bi se time dijelilo), pa još kako su i dvije žute i dvije crvene, onda još dvaput dijeliš s 2. Kad sam se već uvalila, bar da objasnim

_________________
Nit' sam normalna nit' se s takvima družim

[malalodacha]

evo, dobila si la pohva-u za trud

[malalodacha]

2.23 U kutiji se nalazi 4 plave, 5 bijelih i 6 crnih kuglica. Izvlacimo tri kuglice,
jednu po jednu bez vracanja. Promotrimo sljedece dogadaje:
A = {sve tri kuglice su razliˇcitih boja}, B = {prva kuglica je bijela}
C = {prve dvije kuglice su razlicitih boja.}
Izracunajte P(A), P(A|B), P(A|C). Jesu li dogadaji A i B nezavisni?

[kikzmyster]

Izracunajmo prvo [tex]\mathbb{P}(A)[/tex]. Pogledajmo npr. vjerojatnost da smo izabrali redom plavu, pa bijelu, pa crnu kuglicu. Kako sve skupa ima 15 kuglica, to je vjerojatnost plava-bijela-crna jednaka [tex]\frac{4}{15}\cdot \frac{5}{14}\cdot \frac{6}{13}\cdot [/tex]. Postoji [tex]3![/tex] permutacija tih tri boja, ali uocimo da cemo za svaku permutaciju dobiti ovu gornju vjerojatnost (samo se permutiraju brojnici), pa je [tex]\mathbb{P}(A)=3! \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{15 \cdot 14 \cdot 13} [/tex]. Uoci da bi istu vjerojatnost dobili da nismo pazili na redoslijed, [tex] \displaystyle \mathbb{P}(A) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{{15 \choose 3}}[/tex] (biramo po jednu kuglicu svake boje, a sve skupa mozemo 3 kuglice izabrati na [tex]{15 \choose 3}[/tex] nacina).

Izracunajmo sad [tex]\mathbb{P}(A|B)[/tex]. Znamo da je izvucena bijela kuglica, pa je u kutiji ostalo 14 kuglica. Da bi na kraju imali 3 kuglice razlicitih boja, ili druga kuglica treba biti plava, pa treca crna, ili druga kuglica treba biti crna, pa treca plava. Dakle [tex]\mathbb{P}(A|B) = \frac{4}{14}\cdot \frac{6}{13} + \frac{6}{14} \cdot \frac{4}{13}[/tex].

Sad mozemo odrediti jesu li A i B nezavisni. Naime, A i B su po definiciji nezavisni ako vrijedi [tex]\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B)[/tex]. Ali iz toga slijedi (jer je [tex]\mathbb{P}(B) > 0[/tex]) da su A i B nezavisni ako vrijedi [tex]\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)} = \mathbb{P}(A) [/tex] odnosno [tex]\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A) [/tex]. Vidimo da to zaista vrijedi, dakle A i B su nezavisni.

Preostaje izracunati [tex]\mathbb{P}(A|C)[/tex].

Imamo [tex]\displaystyle \mathbb{P}(A|C) = \frac{\mathbb{P}(C|A) \cdot \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(C)} [/tex]. Uocimo da je [tex]\mathbb{P}(C|A) = 1 [/tex]. Dakle samo nam preostaje izracunati vjerojatnost dogadaja C. Kako prve dvije kuglice (da bi bile razlicite boje) mozemo izabrati na sljedece nacine: plava-bijela, plava-crna, bijela-crna, crna-bijela, crna-plava, bijela-plava, dobijemo [tex]\mathbb{P}(C) = \frac{4}{15}\cdot \frac{5}{14} + \frac{4}{15}\cdot \frac{6}{14} + \frac{5}{15}\cdot \frac{6}{14} + \frac{6}{15}\cdot \frac{5}{14} + \frac{6}{15}\cdot \frac{4}{14} + \frac{5}{15}\cdot \frac{4}{14} [/tex].

[pipi]

Jel mi moze netko reći u zadatku 1.33 b) sto je najmanja sigma-algebra?

[Zenon]

[pipi]

[pedro]

hm.. jesi rješio/la taj zad pa samo trebaš provjeru?

ovako ja sam dobila

a) F = {sve unije od {1,4}, {2}, {3,6}, {5}} U {prazan skup}

b) F = {sve unije od {1,3}, {2,6}, {4}, {5}} U {prazan skup}
ovo mi se čini da ne mogu na manje rastaviti, pomoć???

[pipi]