blic (zadatak)

[homoviator]

Može pomoć, ideja, pa da netko riješi i potpuno prvi zadatak na prvoj strani... ništa slično nismo radili na vježbama...



http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2011-12/Blic11112.pdf

[Phoenix]

Probaj za [tex]n=1,2,3,...[/tex] skicirati zadane krivulje u [tex]\mathbb{R}^2[/tex], dakle skiciraj [tex]y=x^2[/tex], [tex]y=\frac{1}{2}x^2[/tex], [tex]y=\frac{1}{3}x^2[/tex], dok ne skužiš kako otprilike izgleda skup [tex]A[/tex], odnosno od kojih točaka se sastoji.
Još uoči da od tebe u zadatku zapravo samo traže skup gomilišta pošto je zatvarač unija samog skupa te skupa gomilišta (teorem s predavanja).
Dodatno, ako je skup gomilišta neprazan, probaj uz pomoć svoje skice konstruirati konvergentni niz koji se traži u zadatku.

[Zenon]

Nismo još radili nizove na vježbama tako da se ne treba time opterećivati

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[frutabella]

Gomiliste je {0} ?

[Zenon]

[frutabella]

Mozes li pomoci kako da nađem ostala gomilista, i koja su?



Da li mozda svi uređeni parovi (0, i), i=0, ..., n ?

[Phoenix]

Ne baš (uostalom, što je tu [tex]n[/tex]?). Da si napisala [tex](i,0), i \in \mathbb{N}_0[/tex], da, to bi bila gomilišta. Ali to nisu sva gomilišta.

Probaj skicirati zadane krivulje za nekoliko vrijednosti broja [tex]n[/tex] (već sam spomenuo u prethodnom postu, ali možda nisi primijetila). A ako misliš da ne znaš skicirati dobro, Wolfram Alpha (ili bilo što što crta krivulje u koordinatnoj ravnini) pomaže.

[Zenon]

[frutabella]

[Phoenix]

Osim ovog što nisi uspjela dovršiti, ostalo je sve u redu.
Još bih dodao za 2. grupu blica da je u skupu gomilišta (vjerujem da si htjela uključiti [tex](0,0)[/tex] kao gomilište) sadržan i sam skup [tex]A[/tex]. Naime, skup se sastoji od neprekidnih krivulja (točnije, parabola) pa u okolini svake točke skupa sigurno imaš još neke - upravo one s iste krivulje.
No konkretno, ako je [tex](ny^2,y)[/tex] proizvoljna točka krivulje, tada je niz [tex]b_m := (n(y-\frac{1}{m})^2,y-\frac{1}{m})[/tex] niz koji je sadržan u [tex]A[/tex] i konvergiraju prema [tex](ny^2,y)[/tex]. Početna točka je bila proizvoljna, dakle [tex]A \subseteq A'[/tex].

Da bi dokazala da je skup zatvoren, trebala bi ići po definiciji: skup je zatvoren ako je komplement u metričkom prostoru otvoren. No, ti ne znaš koji je to prostor niti koja je metrika zadana, stoga ovo i nije dobar način...
No, teorem kaže da je skup zatvoren akko sadrži sva svoja gomilišta. Stoga uzmi [tex]x \in S'[/tex] i trebaš pokazati da je [tex]x \in S[/tex]. A, naravno, znaš da je [tex]\partial S \subset S[/tex]. Stoga probaj pronaći način na koji ćeš pokazati da je [tex]x \in \partial S[/tex] i slijedit će tvrdnja zadatka.

[frutabella]

A zasto onda u prvom zadatku na prvom blicu sa skupovima An, nismo ukljucili u skup gomilista sam skup A?




Zatvorenost:

ako je x€ S' ---> onda postoji otvorena okolina U koja je sadrzana u S, znaci x je iz U, koji je podskup od S ----> x € S

A buduci je S podskup od |S ----> x je iz |S ----->( |S (presjek) |(R^n\S) ) = rub je podskup od |S ----> x je iz ruba

(ovo mi je sad nekako malo cudan zakljucak, pa bih molila provjeru)

[Phoenix]

Gdje ih to "nismo uključili"? Zenonova izjava ne zvuči kao da je htio reći da su gomilišta isključivo skup koji je opisao. No možda ti je tako zazvučalo?

Zaključak ti nije dobar jer nisi dobro iskoristila definiciju gomilišta. Odnosno, iskoristila si svojstvo gomilišta koje mu ne pripada i općenito ne mora vrijediti (to da je kugla sadržana u skupu). Inače bi uvijek vrijedilo [tex]S' \subset S[/tex], što baš i nema smisla (jer, recimo, po teoremu dobivaš da su svi skupovi u danom prostoru zatvoreni).

[Zenon]

[frutabella]

Pomijesli su mi se lončići, upravu ste i sa zatvorenoscu i sa cijelim skupom A.

Hajmo ovako sa zatvorenoscu:

Iz ruba skupa S slijedi da je x€ [ |S presjek |(R\S)] sto je podskup od |S, a to sve je podskup od S (zbog: rub podskup od S).
Slijedi, x€ S.



Ovo stvarno ne mogu drukcije otpetljati, molim pomoc.

Added after 18 minutes:

2. zadatak sa drugog blica:


→ ako je S otvoren → S=IntS ----> IntS (presjek) rubS = prazan,

jer za x€IntS slijedi da postoji r t.d. K(x, r) podskup od S, tj.

K(x,r) (presjek) (X\S) = prazan ----> x nije iz |(X\S) ----> x nije iz ruba od S → x nije iz |S → a buduci je S podkup od |S → x nije iz S

Kad bi ovo bilo dobro, ja bih zaista bila sretna.

[Phoenix]

Nisam te skroz razumio, ali mislim da još nije dobro...

Stavit ću ovdje rješenje, ionako ga imam već napisanog. Ali, frutabella, pohvale na trudu i samostalnom radu, za ovo dobivaš veliku karmu +. Hvala ti na tome.

Evo i rješenja:

Pretpostavimo da vrijedi [tex]\partial S \subset S[/tex]. Pokazat ćemo da [tex]S[/tex] sadrži sva svoja gomilišta.
Neka je [tex]x \in S'[/tex]. Ako je [tex]x \in S[/tex], gotovi smo. Stoga neka je [tex]x \notin S[/tex], odnosno [tex]x \in X \backslash S[/tex], [tex]X[/tex] je početni metrički prostor.
Iz [tex]S \subseteq S \cup S' = \overline{S}[/tex] slijedi [tex]x \in \overline{S}[/tex].
Iz [tex]X \backslash S \subseteq X \backslash S \cup (X \backslash S)' = \overline{X \backslash S}[/tex] slijedi [tex]x \in \overline{X \backslash S}[/tex].
Konačno, [tex]x \in \overline{S} \cap \overline{X \backslash S} = \partial S \subset S[/tex], pa je [tex]x \in S[/tex]. Kontradikcija!
Dakle, [tex]x \in S[/tex].

[frutabella]

A={ (x,y): 1/x iz N} podskup od Rˇ2

Kako izgleda ovaj skup, ako je 1/x iz N. Onda to vrijedi samo za x=1, pa je 1 iz N. A onda valjda y moze biti bilo sta, znaci iz R.

Pa se skup sastoji od: (1, i), i€ R ?

Onda: A'=prazan, |A=A ?

Added after 4 minutes:

[Zenon]

[frutabella]

[Zenon]

Ok, sorry. Pa ako je [tex]\frac 1x\in\mathbb N[/tex], onda možemo napisati [tex]\frac 1x=n,[/tex] za neki [tex]n\in\mathbb N[/tex]. Sada riješimo tu jednadžbu po [tex]x[/tex]-u: [dtex]\frac 1x=n \ /^{-1}\Longrightarrow x=\frac 1n.[/dtex]

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[frutabella]