1. kolokvij

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2011-12/kolokvij1.pdf

1. zadatak.

Molim provjeru, ja sam ovako riješila:

znamo:

2-norma(x) <= 1-norma(x)
2-norma(x) <= sqrt(n) * beskonačno-norma(x)

kada zbrojimo te dvije nejednakosti dobijemo:

2 * 2-norma(x) <= 1-norma(x) + sqrt(n) * beskonačno-norma(x)

kako je epsilon > 0 sigurno vrijedi:

2 * 2-norma(x) < 1-norma(x) + sqrt(n) * beskonačno-norma(x) + epsilon

sada vidimo da to vrijedi za svaki x iz R^n

e sad, jel to znači da je taj skup definiran na cijelom R^n pa iz toga zaključujemo da je skup otvoren, a znamo da je ujedino R^n zatvoren pa je taj skup zatvoren?

ps. ne znam koristit latex za norme pa sam morala ovako neuredno pisat, ispričavam se

[Phoenix]

Da, to je to. Pokažeš da je taj skup zapravo cijeli [tex]\mathbb{R}^n[/tex] i onda se pozoveš na to da je otvoren i zatvoren (znaš to ili se pozovi na potrebne propozicije).

[sasha.f]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2010-11/kolokvij1(1).pdf 1. zadatak, zanima me samo skup gomilišta i ako može objašnjenje? hvala

[Phoenix]

Skup gomilišta je [tex]\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \leq 1 \right\}[/tex].
Pošto je skup otvoren, jasno je da je [tex]A \subseteq A'[/tex]. Za preostale točke skupa dovoljno je pronaći nizove iz [tex]A[/tex] koji konvergiraju u tu točku. Recimo:
- za [tex](0,0)[/tex] traženi niz je [tex](\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1})[/tex]
- za [tex](x,0), x \neq 0[/tex] traženi niz je [tex](x,\frac{1}{x(n+1)})[/tex]
- za [tex](0,y), y \neq 0[/tex] traženi niz je [tex](\frac{1}{y(n+1)},y)[/tex]
- za [tex](x,y)[/tex] takve da je [tex]|xy| = 1[/tex] traženi niz je [tex](x,y-\mathrm{sign}(y)\frac{1}{n+1})[/tex] za [tex]|y| \geq 1[/tex], odnosno [tex](x-\mathrm{sign}(x)\frac{1}{n+1},y)[/tex] inače
(Da naglasim, [tex]n \geq 1[/tex].)
A sada da objasnim svoje rješenje.
Skicirao sam zadani skup u koordinatnoj ravnini i tražio preko slike nizove koji bi trebali biti unutar skupa, a da konvergiraju prema točki - što mi također izgleda moguće iz slike jer "naoko" to stvarno izgleda kao skup gomilišta.
Poanta je da su koordinate elemenata niza različite od [tex]0[/tex] i da su u produktu po apsolutnoj vrijednosti manje od [tex]1[/tex] (ako to zadovoljavaju, super, cijeli niz je unutar skupa). Jasno je da su različite od nule, a produkti su ili, u prva tri slučaja, brojevi manji od jedan (rezultat je razlomak s brojnikom [tex]1[/tex] i nazivnikom koji je sigurno veći od [tex]1[/tex]) ili, u posljednjem slučaju, broj koji je "blizu" [tex]1[/tex] za što veći [tex]n[/tex], ali svejedno različit od [tex]0[/tex] (zapravo sam ovdje samo namještao niz takav da ostane u istom kvadrantu, da budem siguran da neki element niza neće "pasti" na neku koordinatnu os, što bi značilo da bi tada bio izvan skupa).
I da, s iznimkom u prvom slučaju, svi nizovi u koordinatnoj ravnini zapravo idu horizontalno ili vertikalno prema ciljanoj točki. Što se vidi iz činjenice da barem jedna koordinata ne ovisi o [tex]n[/tex].

Skiciraj pa će ti biti jasna moja namjera.

[la mer]

Ja imam tehničko pitanje...
U koliko sati je kolokvij?

[Zenon]

[slonic~tonic]

u 15h

_________________
Lakše je naučiti matematiku nego raditi bez nje.