2. kolokvij

[angelika]

Hvala! Ovog sa g(x,y)=0 se nikad nebi sjetila

[Phoenix]

[4017]

Molim pomoć oko 2. i 3.
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2011-12/kolokvij2.pdf
te 4.
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10/kolokvij2.pdf.

[27re]

Što bi točno trebalo značiti "Dokaži da jednadžba određuje jedinstvenu funkciju" u 4. zad
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2010-11/kolokvij1.pdf
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10/kolokvij2.pdf

[Loo]

mene zanima da li možda u 6.b) http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2010-11/kolokvij1.pdf
mora pisati maksimum, a ne minimum?
nije mi jasno zašto bi ovo moralo vrijediti jer ako na interioru kugle naletimo na bilo kakvu stacionarnu točku (a nema razloga zašto ona ne bi postojala) to će biti lokalni minimum, a možda i globalni.
npr. [tex]f(x,y)=x^2+y^2[/tex] ima sva tražena svojsva a minimum je u [tex](0,0)[/tex] što sigurno nije na sferi. jesam li nešto krivo shvatila ili?

@27re pogledaj teorem o implicitnoj funkciji

[Phoenix]

@4017: 2. Pretpostavi da za [tex]k \in \mathbb{R}[/tex] postoji takva točka i traži je (uzmi vektore normale ravnina i postavi uvjet po kojem su ti vektori paralelni). Na kraju ćeš morati diskutirati kakav [tex]k[/tex] mora biti jer, zbog određenog koraka, ipak neće za svaki realni [tex]k[/tex] postojati tražena točka.
3. Trebat će ti teorem o uvjetnom ekstremu. Primijeti da tražiš ekstreme funkcije [tex](x,y) \mapsto \sqrt{x^2+y^2}[/tex] (udaljenost točke od ishodišta), a, jer je [tex]x \mapsto \sqrt{x}[/tex] strogo rastuća realna funkcija, ekvivalentno je da tražiš ekstreme funkcije [tex](x,y) \mapsto x^2+y^2[/tex].
Očekuj malo ružnije raspisivanje u postupku traženja kandidata za ekstrem.
4. Loo je već odgovorila.

@Loo: U pravu si. Pogledaj [tex]4. b)[/tex] zadatak prošlogodišnjeg drugog kolokvija.

[pedro]

[pedro]

[student_92]

Je li netko riješio 2. zadatak iz prošlogodišnjeg kolokvija?
Točku koju ne znamo označio sam s [tex](x_0, y_0, z_0)[/tex] i postavio neke jednadžbe koje vrijede za nju, u skladu s paralelnosti ravnina i činjenicom da ona leži na plohi, pa dobivam:
[tex]y_0=1, z_0=2 \\ k\cdot e^{x_0} = -2 \Longrightarrow k<0[/tex]

I sad ne mogu odrediti [tex]x_0[/tex]. Može pomoć oko toga? Ili je ovo gotovo, u smislu da dopuštamo ovisnost o [tex]x_0[/tex]?

[Phoenix]

Nije li tada [tex]x_0=\ln \frac{-2}{k}[/tex]?
Ali da, u principu nije potrebno eksplicitno odrediti [tex]x_0[/tex] ako znaš objasniti da za takav [tex]k[/tex] zaista postoji [tex]x_0[/tex] takav da zadovoljava jednakost.
S druge strane, to je najlakše objasniti upravo s činjenicom da je [tex]x_0[/tex] gornje danog oblika...

[marsupial]

da li je netko rješavao 3. zadatak s ovog linka : http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2011-12/popravni.pdf

[Phoenix]

Ja sam ga rješavao te mislim da sam ga i riješio. Što te zanima točno?
(Možeš i u inbox ako ti je lakše, pošto nisi odmah postavila pitanje. )

[marsupial]

riješeno

[marsupial]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/z2009.pdf

da li je netko voljan riješiti/raspisati drugi zadatak? hvala!

[marsupial]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2011-12/zavrsni.pdf

u trećem zadatku.. u kojim točkama iz skupa{(x,y,z)| x^2 + y^2 + z^2 <=0} provjeravamo ekstreme?

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2010-11/kolokvij1.pdf

može netko objasnit detaljniji postupak rješavanja 4 zadatka jer to nismo obradili na vježbama

[Phoenix]

@marsupial: Taj skup je ekvivalentan skupu [tex]\left\{ (0,0,0) \right\}[/tex], stoga je trivijalni globalni ekstrem na tom skupu, i minimum i maksimum, upravo u točki [tex](0,0,0)[/tex].

@pedro: Neka je [tex]F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] definirana s [tex]F(x,y,z):=x^2+y^2+z+yz^5[/tex].
Primijetimo, ako je [tex]F(0,0,z)=0[/tex], tada nužno slijedi [tex]z=0[/tex]. Dakle, za [tex](0,0) \in \mathbb{R}^2[/tex] postoji jedinstveni [tex]z \in \mathbb{R}[/tex] takav da je [tex]F(0,0,z)=0[/tex] i taj [tex]z[/tex] je jednak nuli.
Dakle, [tex]F(0,0,0)=0[/tex].
Nadalje, [tex]F[/tex] je klase [tex]C^1[/tex], te iz [tex]\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)=1+5yz^4[/tex] slijedi [tex]\frac{\partial F}{\partial z}(0,0,0) \neq 0[/tex].
(I, ako je potrebno naglasiti, [tex]A=\mathbb{R}^3[/tex] i otvoren je skup.)
Sada iz teorema o implicitnoj funkciji postoji otvorena okolina [tex]U \subseteq \mathbb{R}^2[/tex] od [tex](0,0)[/tex], otvorena okolina [tex]V \subseteq \mathbb{R}[/tex] od [tex]0[/tex] i jedinstvena funkcija [tex]f:U \rightarrow V[/tex] klase [tex]C^1[/tex] takva da vrijedi [dtex]F(x,y,f(x,y))=0.[/dtex] Kako je iz gore pokazanog za [tex](0,0)[/tex] jedini mogući [tex]z[/tex] takav da vrijedi [tex]F(0,0,z)=0[/tex] zapravo [tex]z=0[/tex], slijedi jedinstvenost funkcije [tex]f[/tex] definiranoj na okolini od [tex](0,0)[/tex].
Sada po korolaru [tex]19.4[/tex] s predavanja računamo:
[dtex]\nabla f(x,y)=-\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,f(x,y))^{-1}D_{(x,y)}F(x,y,f(x,y)),[/dtex] pri čemu ovdje imamo matrični produkt sastavljen od pojedinih parcijalnih derivacija.
Računamo:
[tex]\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)=\begin{bmatrix} 1+5yz^4 \end{bmatrix} \Rightarrow \frac{\partial F}{\partial z}(0,0,0)=\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \frac{\partial F}{\partial z}(0,0,0)^{-1}=\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}[/tex]
[tex]D_{(x,y)}F(x,y,z)=\begin{bmatrix} 2x & 2y+z^5 \end{bmatrix} \Rightarrow D_{(x,y)}F(0,0,0)=\begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Konačno, [tex]\nabla f(0,0) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex], stoga je [tex](0,0)[/tex] stacionarna točka od [tex]f[/tex].
Općenito je [tex]\nabla f(x,y)=\frac{1}{1+5yf(x)^4}\begin{bmatrix} 2x & 2y+f(x)^5 \end{bmatrix}[/tex], naravno, kada je nazivnik različit od nule, što i jest za točku [tex](0,0,f(0,0))[/tex], odnosno [tex](0,0,0)[/tex]. Ono što preostaje jest odrediti Hesseovu matricu od [tex]f[/tex] te preko nje ispitati karakter stacionarne točke [tex](0,0)[/tex]. Postupak ostavljam nedovršen jer je to već gradivo diferencijala i parcijalnih derivacija, samo treba sve to pažljivo derivirati. Ali ovo je ukratko ideja zadataka gdje se pojavljuju implicitno definirane funkcije.

[marsupial]

krivo sam napisala

{(x,y,z)| x^2 + y^2 + z^2 <=100}

[Phoenix]

Kad bih ja tako rješavao kako ti opisuješ, tražio bih ekstreme po skupu [tex]\left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2+z^2=c \right\}[/tex] za neki fiksirani [tex]c \in \mathbb{R}[/tex]. Naime, tada je [tex]\displaystyle \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2+z^2 \leq 100 \right\} = \bigcup_{c \in \left[ 0,100 \right] } \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2+z^2=c \right\}[/tex]
Odnosno, jednom pronađeš ekstreme na pojedinačnom skupu za neki [tex]c[/tex], zatim od tih ekstrema gledaš konačne ekstreme i to su ti tražena rješenja.

A razlog zašto sam napisao "kad bih ja tako rješavao" jest zato što sam uspio pokazati da, uz oznaku [tex]S := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2+z^2 \leq 100 \right\}[/tex], vrijedi sljedeće: [tex]f(S) \subseteq \left[ 0, 300 \right][/tex], te sam pokazao i da se [tex]0[/tex] i [tex]300[/tex] postižu (te naveo i sve točke u kojima se te vrijednosti postižu).

Srećom pa je dana tako lijepa funkcija za promatranje, zar ne?

[pedro]