Diofantske jednadzbe (informacija)

[Nightrider]

Neka je zadana diofantska jednadzba , pri cemu su , , traze se koji zadovoljavaju jednadzbu.

1) Koje uvjete treba postavit na tako da jednadzba ima rjesenja?

2) Ako jednadzba ima barem jedno rjesenje da li tada ima beskonacno mnogo rjesenja (kao u slucaju )?

duje?

[duje]

Cini mi se da je odgovor na 2) ne. Jer jednadzba je ekvivalentna sa
(cx+b)(cy+a) = ab+cd.
Pa ako bi imala beskonacno cjelobrojnih rjesenja (uz c<>0), onda bi cijeli broj ab+cd imao beskonacno mnogo faktora.

[Nightrider]

Onda ste sad zapravo pokazali, da bez obzira kakvi bili uvjeti pod 1) da ovakva jednadzba ima uvijek konacno mnogo cjelobrojnih rjesenja, ili se to meni samo cini?

A ovo pod 1), imaju li neki jasni opci uvjeti na a,b,c,d koji garantiraju rjesenje (pritom ne mislim na nesto poput a+b+c=d pa imamo rjesenje (1,1))?

Da li bi upalilo nesto poput gcd(a,b,c)|d kao u slucaju linearne diofantske jednadzbe kada je c=0?

[duje]

Cini mi se da jednadzba ima konacno rjesenja ako su ispunjeni uvjeti da su c i ab+cd razliciti od 0.
A za uvjete bi garantirali postojanje rjesenja, iskreno receno ne znam.

[Nightrider]

Ja se ispricavam zbog pitanja pod 1) , kad malo bolje promotrim jednadzbu ovog oblika uocavam da to i nije kvalitetno i dobro pitanje, to se vidi iz toga sto ste rijesili pitanje pod 2).

[Nightrider]

Rjesavajuci jedan problem sveo sam ga na problem nalazenja rjesenja diofantske jednadzbe koja je oblika na koji dosad nisam nikad naisao pa ako imate neki savjet kako pristupit problemu bio bih veoma zahvalan, a oblik jednadzbe slici obliku koji je postavljen u prvom pitanju samo sto se nekim cudom pojavila jos jedna varijabla ali s njom su (na svu srecu) dosla i dodatna ogranicenja na rjesenja, a problem glasi:

Da li diofantska jednadzba oblika: [dtex]axy+bx+cz=d[/dtex] ima samo konacno mnogo rjesenja, uz uvjet: [dtex]a,b,c,d\in\mathbb Z[/dtex] a uvjet na rjesenja je [dtex]x,y,z\in\mathbb N[/dtex] ?

[duje]

Ako je npr. a prirodan broj te c=-1, onda jednadzba ima beskonacno mnogo rjesenja u prirodnim brojevima x,y,z.

[Nightrider]

Onda najbolje da vam napisem kako tocno izgledaju jednadzbe koje sam dobio, mozda sam to trebao odma umjesto da glumim neku veliku pamet sa opcenitim oblikom, ovako mi izgledaju jednadzbe:

1) [dtex]12xy+x-3z=2[/dtex]

2)[dtex]12xy+5x-3z=2[/dtex]

3)[dtex]12xy+7x-3z=2[/dtex]

4)[dtex]12xy+11x-3z=2[/dtex]

uz uvjet [dtex]x,y,z\in\mathbb N[/dtex].

To su cetiri slucaja koja bi trebao "srusiti" to jest dokazati da mogu imati samo konacno mnogo rjesenja (jos bolje bi bilo kad bi bio slucaj da rjesenja ne postoje uopce) i kad bi to bilo istina onda bi rijesio i originalni problem.

[duje]

1) ima beskonacno mnogo rjesenja: x=3t+2, z=12yt+8y+t, gdje su y,t proizvoljni prirodni brojevi.
Slicno je i s ostalim jednadzbama: stavi se x=3t+1 ili x=3t+2, skrati s 3 i izracuna z.

[Nightrider]

Nisam dobro prepisao jednadzbu, ispricavam se! Biljeznica mi je puna jednadzbi pa se tesko snalazim, skoro mi je nestalo slova abecede da sve zapisem.

Greska je u tome da s desne strane ovih jednadzbi nije broj 2 vec broj 1, je li to toliko bitan detalj ili takodjer moze biti beskonacno rjesenja sa zgodnom supstitucijom kao sto ste rijesili i kad sam krivo prepisao pa stavio 2 na desnu stranu?

[duje]

To ne mijenja nista bitno, tamo gdje je prije išla supstitucija x=3t+2, sada ide x=3t+1, i obratno.

[Nightrider]

Da, sada vidim, ako se stavi x=3t+1 onda umjesto z=12yt+8y+t stavi se z=12yt+4y+t. [/b]

[Nightrider]

Sad sam malo bolje analizirao problem i uocio da nije rijec o 4 jednadzbe koje trebam proucit vec o 4 sustava jednadzbi, napisat cu vam kako sam pristupio problemu, necu napisat sva 4 sustava vec samo 1 jer su preostala 3 dosta slicna, znaci ovako:

Dobio sam sustav diofantskih jednadzbi: [dtex]12xy+x-3z=1[/dtex] [dtex]12xy+x-5w=16[/dtex] gdje su [dtex]x,y,z,w\in\mathbb N[/dtex].

Slijedece sto sam ucinio je da sam prvo taj sustav jednadzbi zbrojio pa sam ga iza oduzeo da dobijem ekvivalentan sustav: [dtex]24xy+2x-3z-5w=17[/dtex] [dtex]5w-3z=-15[/dtex].

Donja jednadzba je linearna diofantska jednazba i skup svih rjesenja je, kako sam dobio: [dtex]w=-30-3q[/dtex] [dtex]z=-45-5q[/dtex].

Sada sam te izraze ubacio u prvu jednadzbu (koju sam dobio zbrajanjem jednadzbi pocetnog sustava) i dobio jednadzbu koja je istog oblika kao one koje ste mi rjesavali u prethodnim pitanjima: [dtex]12xy+x+15q=-134[/dtex]

E sad ja nemam dobro istrenirano oko kao i vi da mogu s lakocom pronaci supstitucije koje daju skup rjesenja, ali ima jos jedan problem, jer su [dtex]z,w\in\mathbb N[/dtex] to implicira da treca varijabla sad nije prirodan broj: [dtex]q\in\mathbb Z , q←10[/dtex].

Znaci trebam rijesiti slijedecu jednadzbu: [dtex]12xy+x+15q=-134[/dtex] sa uvjetima: [dtex]x,y\in\mathbb N , q\in\mathbb Z , q←10[/dtex]

Pa ako me mozete pocastit sa nekim supstitucijama za ovu jednadzbu bio bih zahvalan.

[duje]

Jedna supstitucija za 12xy+x+15q=-134
(koja ne daje sva rješenja; imaju još 4 analogne supstitucije u ovisnosti koji ostatak pri dijeljenju s 5 daje y; možda se mogu objediniti, ali to nisam sada nabrzinu gledao):
x=15t+1, y=5s, q=-60st-4s-t-9.

[Nightrider]

Da li to otprilike znaci da ce jednadzba [dtex]axy+bx+cz=d[/dtex] uvijek imati beskonacan skup rjesenja ako ima jedno rjesenje, uz uvjet da uvjeti na a,b,c,d trivijalno ne iskljucuju rjesenja, poput a,b,c su parni a d neparan ili a,b,c su djeljivi sa m a d je prost itd...?

[duje]

Da, ako se rješenja traže u skupu cijelih brojeva.
Ako je (x0,y0,z0) jedno rješenje, onda je
x=x0+t*c, y=y0, z=z0-(a*y0+b)*t
takodjer rješenje za svaki cijeli broj t.
Ako se traže rješenja u prirodnim brojevima, onda će trebati još neki dodatni uvjet na prednake od a,b,c (tipa da su a i c različitih predznaka, ili nešto slično).

[Nightrider]

Onda ce vjerojatno isti slucaj biti i sa jednadzbama oblika: [dtex]a_1x_1x_2+a_2x_3+...+a_{n-1}x_n=a_n[/dtex]

Zelim reci uz zgodne uvjete na koeficijente i ovaj generalniji slucaj takodjer dopusta beskonacno mnogo rjesenja i vjerojatno je analiza ovakvih sustava prakticki identicna?

[Nightrider]

Na jednom forumu nasa sam da jedan korisnik tvrdi da diofantska jednadzba ima beskonacno mnogo rjesenja u prirodnim brojevima. I sad, meni to izgleda nevjerojatno, pa sam pokusao opovrgnuti tu tvrdnju, i to sam napravio na slijedeci nacin (ono sto me zanima je da li je nacin zakljucivanja na koji sam to napravio valjan, meni izgleda valjan), i ide sad:

Znaci imamo sto je ekvivalentno sa . Amo to promatrat kao kvadratnu jednadzbu po varijabli n (pretvaram se da je konstanta), rjesavanjem te kvadratne jednadzbe dobije se rjesenje za n: . E sad to ima smisla jedino ako je izraz pod korijenom kvadrat nekog prirodnog broja pa pisem pa, naravno, to promatram kao kvadratnu jednadzbu po varijabli m i dobijem rjesenje za m: . To opet ima smisla samo ako je izraz pod korijenom kvadrat nekog prirodnog broja pa pisem: sta je ekvivalentno sa a to sa pa pocetna jednazba nemoze imat beskonacno mnogo rjesenja jer bi to znacilo da broj 60 ima beskonacno mnogo faktora.

Je li ovo valjan pristup problemu?

[duje]

Greška je kod rješenja kvadratne jednadžbe: ispod korijena treba biti "64-32(1-k^2)".
Na kraju bi trebalo dobiti Pellovu jednadžbu k^2-2l^2=-1 s beskonačno mnogo rješenja.

[Nightrider]

Aaaajmee, uvik neke priproste greske radim, dobro onda ide ovako 64-32(1-k^2)=l^2 onda je to ekvivalentno sa l^2-32k^2=32 sta je ekvivalentno sa (l-sqrt(32)k)(l+sqrt(32)k)=32 i onda koliko ovo ima rjesenja (u prirodnim brojevima)?

EDIT: Idem ovo jos malo sredit, znaci imam l^2=32k^2+32=16(2k^2+2), to znaci da je l oblika l=4r za neki prirodni r pa dobijemo 16r^2=16(2k^2+2) i na kraju se to sve svede na r^2-2k^2=2