Još jedan teoremčić u vezi s integralima

[Vincent Van Ear]

Teorem:
Pretpostavke:f,g:[a,b]->IR (R)-integrabilne , v,w@IR
Doprinos:njihova linearna kombinacija je (R)-integrabilna funkcija te vrijedi:
aSb v*f + aSb w*g
Dokaz:

f i g (R)-integrabilne => f i g omeđene => v*f+w*g omeđena funkcija

f (R)-integrabilna =>(propozicija o limesu sume koja aproksimira integral)=> posoji niz {d'_n} subidivizija takav da je aSb f(x)dx =lim_{n->oo} s(d'_n)=lim_{n->oo} S(d'_n) i S(d'_n)-s(d'_n)=0

g (R)-integrabilna =>(propozicija o limesu sume koja aproksimira integral)=> posoji niz {d''_n} subidivizija takav da je aSb g(x)dx =lim_{n->oo} s(d''_n)=lim_{n->oo} S(d''_n) i S(d''_n)-s(d''_n)=0

d_n := d'_n U d''_n
=>primjenom toga niza subdivizija na funkciju v*f+w*g=h dobivamo S(d_n;h)-s(d_n;h) -> 0
jer je ograničen linearnom kombinacijom odgovarajućih limesa

(Moja dilema:e sad ove riječi iznad me kopkaju: ja moram dobiti dakle ovo:

lim_{n->oo}d_n=v*lim_{n->oo}d'_n + lim_{n->oo}d''_n = v * aSb f(x)dx + w * aSb g(x)dx ,

kako si to _precizno_ objašnjavam(intuitivno mi je sasvim jasno,ali kada stvari treba precizno izgovoriti tu gubim moral)

=>kriterij integrabilnosti=>v*f+w*g je Reiman integrabilna


(Napomena: aSb je određeni integral u točkama od a do b)

_________________
Samo sam jedan čovjek,
samo jedan pakao.

[veky]

[Vincent Van Ear]

[veky]