n-ti izvod (zadatak)

[uvelaruza]

Moze li mi neko pomoci da resim zadatak?

Hvala unapred...

[Nightrider]

Dat cu ti samo jedan mali savjet, koristi logaritamsku derivaciju za ovakve izraze: [dtex](\ln (f(x)))´=\frac {f´(x)}{f(x)}[/dtex]. U ovom slucaju imas[dtex](\ln (1+x)^x)´=(x\ln (1+x))´=\ln (1+x) + \frac {x}{1+x}[/dtex] pa dobijes: [dtex](\ln (1+x)^x)´=\ln (1+x) + \frac {x}{1+x}=\frac {((1+x)^x)´}{(1+x)^x}[/dtex] pa dobijes mnozenjem s nazivnikom prvu derivaciju: [dtex]f´(x)=((1+x)^x)´=(1+x)^x\ln(1+x) + x(1+x)^{x-1}[/dtex]

E sad uz pomoc ovog pravila logaritamske derivacije i osnovnih pravila deriviranja nadjes jos drugu, i eventualno trecu derivaciju i onda iz tih izraza za drugu i trecu derivaciju trebas naslutiti kako bi otprilike trebao izgledati izraz za n-tu derivaciju i onda indukcijom pokazati da je to zaista dobar izraz.

Bitno je da znas da ovo i nije nesto tesko samo je stvar u tome da dobijas izraze koji su veliki i onda treba dosta vremena da se sve to izderivira, ali princip je da su dovoljna osnovna pravila deriviranja i logaritamska derivacija.

Nisam ti nista pomogao, jelda?

[vsego]

Meni vise vuce na Taylorov razvoj od [tex]x\log(x+1)[/tex].

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Nightrider]

Ne znam je li ona ucila razvoj u Taylorov red, jer on u analizi funkcija realne varijable dolazi nakon osnovnih pravila deriviranja i logaritamske derivacije.

Added after 6 minutes:

A i recimo da ti razvijes [dtex]x\ln (1+x)=\ln(f(x))[/dtex] u Taylorov red i deriviras n puta , kako bi dosao do izraza za n-tu derivaciju od f(x) u zatvorenoj formi?

Added after 18 minutes:

uvelaruzo, mozes se i sa ovim posluzit: [dtex]((\ln (f(x)))´)´=(\frac {f´(x)}{f(x)})´=\frac {f´´(x)f(x) - (f´(x))^2}{(f(x))^2}[/dtex] i nemoj bit uvela vec procvala.

[vsego]

Nisam isao rjesavati. Ovo sto si ti predlozio se samo zakomplicira (barem ja ne vidim pravilo – izvedi, recimo, prve 3 derivacije na Wolfram|Alpha). S druge strane, Taylor daje polinom koji u nuli ima tocno jedan clan (slobodni) koji ne ide nuzno u nulu. Ovdje se trazi [tex]n[/tex]-ta derivacija, hence moj prijedlog.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Nightrider]

Ja ti opet govorim da ne znam je li ona ucila Taylorove redove. I izveo sam na Alphi prve 4 i izgledaju dosta gadno. Ali uocavas li ti da bi ti isao racunat Taylorov red od a ne od , i kad ga izracunas kako pronaci transformaciju koja red od transformira u red od , mozda da eksponenciras pa dobijes pa onda imas e na red, i sto onda? Mozda sam ja jednostavno glup pa ne razumijem tvoje argumente, ajde budi malo jasniji?

[vsego]

[Nightrider]

[uvelaruza]

Nismo ucili jos Tajlorov red... Pokusavala sam resiti sa pravilom logaritamskog deriviranja, ali nisam uspela, jer se suvise komplikuje, pa je tesko naci neko pravilo po kom bih nasla n-ti izvod (ili bar ja nisam tako uspela resiti).... Jos sam pokusavala preko Lajbnicovog pravila (nasla sam prvi izvod, pa posto je 1. izvod u vidu proizvoda, moze se primeniti Lajbnicova formula za n-ti izvod proizvoda dvije funkcije), i dobijem ja taj n-ti izvod, ali ni na osnovu cega ne mogu zakljuciti da je on deljiv sa n...

Hvala vam puno... Ja i dalje nisam dosla do resenja, pa ako se setite neke ideje, javite... Hvala jos jednom...

[goranm]

Ako se sa g(x) oznaci [tex]g(x)=\frac{x}{1+x}+\ln(1+x)[/tex], onda je [tex]f'(x)=f(x)g(x)[/tex]. Po Leibnizovoj formuli imamo
[dtex]f^{(n)}(x)=(f(x)g(x))^{(n-1)}=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}f^{(k)}(x)g^{(n-1-k)}(x).[/dtex]

Opca formula za n-tu derivaciju (n>0) od g se da naci.

[Nightrider]

[Nightrider]

I onda ostaje najgori dio, a to je da dokazes da je ta "kombinatorna" suma djeljiva sa n.

[Nightrider]

[goranm]

[Nightrider]

[goranm]

[Nightrider]

[goranm]

[Nightrider]

[uvelaruza]

Hvala vam u svakom slucaju... I ja sam koristeci Lajbnicovu formulu dosla do istog izraza, ali nikako nisam uspela dokazati tu deljivost...