|
Popravni kolokvij iz Linearne algebre 1 23.6.2010.
1. (10 b) Neka je D = { a iz Q : a = m/2^k, m iz Z, k iz N U {0}}
Ispitajte je li (D, +) grupa.
2. (20 b) Neka su L i M potprostori vektorskog prostora R^6
zadani s L = {(x1,x2,x3,x4,x5,x6): x1+x2 = x4 = x3+x5+x6 = 0}
i M = [(1,-1,1,0,1,-2), (0,0,2,0,1,-3), (1,1,0,1,-1,0)].
Odredite dim L∩M i dim L+M.
3. (20 b) Neka je P potprostor svih antisimetričnih matrica u
M3(R). Pokažite da za svaku A iz P vrijedi: rang A < 3
i rang (A+I) = 3 (I je jedinična matrica). Izaberite po
volji neku A iz P tako da su svi njezini koeficijenti izvan
dijagonale različiti od 0 te odredite matricu (A+I)-1.
4. (20 b) Riješite zadani sustav jednadžbi ovisno o parametru t:
7x – 12y – z = 0
3x – 16y - tz = 0
18x - ty – z = 0.
5. (15 b) (a) Napišite definicije sljedećih pojmova:
(i) polje, (ii) potprostor vektorskog prostora,
(iii) linearno nezavisni podskup vekt. prostora,
(iv) direktni komplement potprostora vekt. prostora,
(v) Cramerov sustav linearnih jednadžbi.
(b) Navedite primjer vektorskog prostora dimenzije 5
i nekog njegovog potprostora dim. 3. Obrazložite.
6. (15 b) Dokažite da se svako rješenje nehomogenog sustava
linearnih jednadžbi može napisati kao zbroj jednog
(partikularnog) rješenja tog sustava i nekog rješenja
pridruženog homogenog sustava.
Popravni kolokvij iz Linearne algebre 1 23.6.2010.
1. (10 b) Neka je D = { a iz Q : a = m/2^k, m iz Z, k iz N U {0}}
Ispitajte je li (D, +) grupa.
2. (20 b) Neka su L i M potprostori vektorskog prostora R^6
zadani s L = {(x1,x2,x3,x4,x5,x6): x1+x2 = x4 = x3+x5+x6 = 0}
i M = [(1,-1,1,0,1,-2), (0,0,2,0,1,-3), (1,1,0,1,-1,0)].
Odredite dim L∩M i dim L+M.
3. (20 b) Neka je P potprostor svih antisimetričnih matrica u
M3(R). Pokažite da za svaku A iz P vrijedi: rang A < 3
i rang (A+I) = 3 (I je jedinična matrica). Izaberite po
volji neku A iz P tako da su svi njezini koeficijenti izvan
dijagonale različiti od 0 te odredite matricu (A+I)-1.
4. (20 b) Riješite zadani sustav jednadžbi ovisno o parametru t:
7x – 12y – z = 0
3x – 16y - tz = 0
18x - ty – z = 0.
5. (15 b) (a) Napišite definicije sljedećih pojmova:
(i) polje, (ii) potprostor vektorskog prostora,
(iii) linearno nezavisni podskup vekt. prostora,
(iv) direktni komplement potprostora vekt. prostora,
(v) Cramerov sustav linearnih jednadžbi.
(b) Navedite primjer vektorskog prostora dimenzije 5
i nekog njegovog potprostora dim. 3. Obrazložite.
6. (15 b) Dokažite da se svako rješenje nehomogenog sustava
linearnih jednadžbi može napisati kao zbroj jednog
(partikularnog) rješenja tog sustava i nekog rješenja
pridruženog homogenog sustava.
|
